Область применения и требования
На основе фреймворка Digital SAT. Эти задания на бумаге не являются адаптивными и не предсказывают скорректированный балл.
- Вычислять вероятности события и противоположного ему события по частотам
- Использовать выборкуolsing group as the denominator
- Различать независимость и взаимную исключительность
Предварительные требования: Дроби; итоговые значения таблиц; событие и дополнение.
Объясните и выберите метод
Вероятность, основанная на равновероятных наблюдениях, равна числу благоприятных исходов, делённому на соответствующий итог. В двумерной таблице в ячейках указаны совместные частоты, по краям — итоговые значения групп, а также общий итог. Определите, спрашивает ли задача о совместном событии, любом из событий или одном событии при условии другого, прежде чем выбрать знаменатель.
Для P(A при B) ограничьте внимание группой B и разделите число исходов A и B на итог группы B. Это не равносильно P(B при A), поскольку условия различны. Дробь с правильным числителем, но неверной совокупностью всё ещё отвечает на неправильный вопрос.
Вероятность дополнения равна 1-P(A). Для «A или B» сложение отдельных вероятностей удваивает пересечение, поэтому вычтите P(A и B). Несовместные события не имеют пересечения; независимые события удовлетворяют условию P(A и B)=P(A)P(B). Два события с положительной вероятностью не могут быть независимыми, так как наступление одного исключает другое.
При выборке без возвращения обновляйте как оставшееся число благоприятных исходов, так и общее количество на каждом шаге. При независимых повторных выборах вероятности перемножаются без такого обновления. Укажите предположения о выборке перед расчётом. Таблица наблюдаемых относительных частот подтверждает эмпирические вероятности для данной совокупности, но не гарантирует результат каждого будущего испытания.
Условная вероятность ограничивает знаменатель. Из 40 членов клуба 12 ездят на велосипеде; среди этих велосипедистов шлем носят 8. $P(H\mid C)=n(H\cap C)/n(C)=8/12=2/3$. Группа — велосипедисты, поэтому 40 не является этим знаменателем.
Worked example. Original counts: bus users—18 carry a packed lunch, 12 do not; non-bus users—12 carry lunch, 8 do not. Total 50. P(lunch)=30/50=0.6; P(lunch given bus)=18/30=0.6; P(bus given lunch)=18/30=0.6 in this particular balanced table. Change one cell and these need not stay equal. P(bus and lunch)=18/50=0.36, equal here to 0.6·0.6, so the table shows independence of these categories.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
В опросе зафиксировано 12 любителей чая и 8 нелюбителей среди 20 велосипедистов; среди 30 пешеходов зафиксировано 9 любителей чая и 21 нелюбителей. Найдите $P(tea)$, $P(tea\mid cyclist)$ и $P(cyclist\mid tea)$.
Обоснование. Общее число пьющих чай равно 21 из 50, то есть $P(T)=21/50$. Среди велосипедистов — $P(T\mid C)=12/20=3/5$. Среди пьющих чай — $P(C\mid T)=12/21=4/7$. Различные знаменатели делают условные вероятности неравными.
Практика 2
В том же опросе являются ли увлечение чаем и езда на велосипеде независимыми? Являются ли они несовместными? Используйте числа для обоих ответов.
Обоснование. Они не являются независимыми, так как $P(T\mid C)=3/5\ne21/50=P(T)$. Они не являются взаимно исключающими, так как 12 респондентов совмещают оба признака: $P(T\cap C)=12/50>0$.
Практика 3
Один респондент выбирается равномерно. Найдите вероятность того, что он пешеход или пьёт чай, включая тех, кто делает и то, и другое.
Reasoning. Use inclusion–exclusion. $P(W\cup T)=(30+21-9)/50=42/50=21/25$. The 9 tea-drinking walkers must not be counted twice. Equivalently exclude the 8 cyclists who do not drink tea.
Ограничения и дальнейшее применение
Равные условные ответы в одной таблице являются совпадением или структурой, которую нужно проверить, а не универсальным правилом. Сначала условие, затем подсчет.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.