Область применения и требования
На основе фреймворка Digital SAT. Эти задания на бумаге не являются адаптивными и не предсказывают скорректированный балл.
- Интерпретируйте наклон и свободный член подобранной модели в контексте задачи
- Вычислите остаток и различайте интерполяцию и экстраполяцию
- Выберите линейную или экспоненциальную модель по данным с равным шагом
Предварительные требования: Линейные функции; вычитание со знаками; подписи на точечной диаграмме.
Объясните и выберите метод
Точечная диаграмма связывает две количественные переменные, каждая пара наблюдений представлена одной точкой. Подогнанная линия обобщает тенденцию, а не соединяет каждую точку. В модели y=a+bx коэффициент b предсказывает изменение y при увеличении x на одну единицу; его единицы — единицы y на единицу x. Свободный член a предсказывает значение y при x=0, что может выходить за пределы диапазона данных.
Остаток равен наблюдаемому значению y минус предсказанное значение y. Положительный остаток означает, что наблюдение лежит выше модели; отрицательный — ниже. Перед вычитанием подставьте наблюдаемое значение x в модель. Большой остаток указывает на плохое предсказание для данной точки, но не обязательно на ошибку измерения или отсутствие тенденции.
Интерполяция даёт прогноз внутри диапазона наблюдаемых значений x; экстраполяция выходит за его пределы и требует большей осторожности, так как зависимость может измениться. Учитывайте также контекстное применение модели, а не только её алгебраическую форму. Отрицательное предсказанное время пути, например, может свидетельствовать о неоправданной экстраполяции, а не о физически возможном результате.
При равных шагах входных значений почти постоянные разницы выходных значений указывают на линейную модель; почти постоянные отношения — на экспоненциальную. Разброс данных может делать обе закономерности приблизительными. Ассоциация не определяет причину: обе переменные могут отражать влияние третьего фактора. Подогнанная тенденция является доказательством для прогноза, но сама по себе не служит доказательством эффекта вмешательства.
Остаток — это наблюдаемое значение минус предсказанный результат. Модель путешествия $T=5+2d$ использует минуты для $T$ и километры для $d$. $T(4)=5\,\mathrm{min}+(2\,\mathrm{min/km})(4\,\mathrm{km})=13\,\mathrm{min}$. Для наблюдаемого времени 16 минут, $e=T_{obs}-T_{pred}=16\,\mathrm{min}-13\,\mathrm{min}=3\,\mathrm{min}$.
Worked example. For study time x hours and predicted practice score y=12+3x, the slope is 3 score points/hour. At x=2 the prediction is 18. If the observed score is 21, residual=21-18=3. With x-values observed from 1 to 5, predicting at x=3 interpolates and x=12 extrapolates. Outputs 5,10,20,40 at equal input steps suggest factor-two exponential growth.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Подогнанная модель доставки составляет $T=8+1.5d$ минут для наблюдаемых расстояний 2–10 км. Интерпретируйте оба параметра. При расстоянии 6 км наблюдаемое время равно 15 минутам; найдите его остаток.
Обоснование. Свободный член предсказывает 8 минут при нулевом расстоянии; ноль находится вне диапазона наблюдений, поэтому эта интерпретация является экстраполяцией. Наклон предсказывает дополнительно 1.5 минуту на каждый километр. $T(6)=8\,\mathrm{min}+(1.5\,\mathrm{min/km})(6\,\mathrm{km})=17\,\mathrm{min}$. Остаток $e=15\,\mathrm{min}-17\,\mathrm{min}=-2\,\mathrm{min}$, расположен ниже линии.
Практика 2
Запрошены прогнозы при расстояниях 7 км и 20 км. Классифицируйте каждый и объясните, почему подогнанный наклон не доказывает, что расстояние само по себе вызывает все вариации во времени.
Обоснование. Семь находится внутри диапазона 2–10, значит, это интерполяция. Двадцать находится вне его, значит, это экстраполяция с меньшей надёжностью. Движение, загруженность и другие условия могут влиять на время; подогнанная связь не изолирует их влияние.
Практика 3
При равномерно распределённых входах 0,1,2,3 выходные значения составляют 6,18,54,162. Выберите простое линейное или экспоненциальное правило и сделайте прогноз при 4, указав предположение.
Обоснование. Все отношения равны 3, тогда как разности различаются. Экспоненциальное правило — это $y=6(3)^x$. При продолжающемся росте с множителем три получим $y(4)=6(3)^4=486$. Это модельная экстраполяция, а не гарантированное следующее наблюдение.
Ограничения и дальнейшее применение
Сохраняйте порядок «наблюдаемое минус предсказанное». Не превращайте наклон модели в причинный эффект лечения.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.