Область применения и требования
На основе фреймворка Digital SAT. Эти задания на бумаге не являются адаптивными и не предсказывают скорректированный балл.
- Сравните среднее арифметическое, медиану, размах и стандартное отклонение качественным образом
- Предскажите эффект от прибавления или умножения каждого значения данных
- Читайте информацию о частоте, не путая значения и их количество
Предварительные требования: упорядоченные данные; частота; среднее арифметическое и медиана.
Объясните и выберите метод
Среднее арифметическое вычисляется как сумма всех наблюдений, деленная на их количество; медиана — это среднее значение упорядоченных наблюдений. Частота означает повторение значения: если 2 встречается три раза, а 8 — один раз, среднее равно (3·2+8)/4=3.5, а не (2+8)/2. Горизонтальные позиции на дисплее соответствуют значениям, а частоты определяют количество наблюдений, которые они представляют.
Размах равен максимуму минус минимум; стандартное отклонение описывает типичные расстояния от среднего. Не обязательно запоминать полную формулу для сравнения простых симметричных распределений: данные, сгруппированные близко к среднему, имеют меньшее стандартное отклонение, чем данные, равномерно отдалённые от него. Выброс может значительно изменить среднее и разброс, оставив медиану стабильной.
Прибавление c к каждому наблюдению увеличивает среднее и медиану на c, но не изменяет размах и стандартное отклонение, поскольку межпарные расстояния остаются прежними. Умножение каждого наблюдения на положительное k умножает среднее, медиану, размах и стандартное отклонение на k. В более общем случае разброс масштабируется на |k|, а отрицательный множитель меняет порядок следования.
При сравнении графиков осматривайте масштаб и количество наблюдений перед оценкой кажущейся ширины. График, растянутый по горизонтали, может выглядеть более изменчивым, не представляя других значений. Утверждение об равенстве стандартных отклонений требует знания самих распределений, а не просто равенства размахов или средних.
Частота отражает количество повторений наблюдений. Значения 1, 3, 7 с частотами 2, 1, 1 представляют четыре наблюдения: 1, 1, 3, 7. $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. Медиана равна $(1+3)/2=2$; она может не совпадать со средним значением.
Worked example. A={4,5,6} and B={0,5,10} both have mean and median 5, but B has greater spread. Adding 7 gives A+7={11,12,13}, mean 12 and the same standard deviation as A. Multiplying A by 2 gives {8,10,12}; its mean is 10 and its range and standard deviation double. Equal range alone does not guarantee equal standard deviation.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Values 2, 5, 8 have frequencies 3, 2, 1. Find mean, median and range.
Рассуждение. Данные упорядочены: 2,2,2,5,5,8. $\bar x=(3(2)+2(5)+1(8))/6=4$. Медиана — среднее между позициями 3 и 4, то есть $(2+5)/2=3.5$. Диапазон $R=8-2=6$.
Практика 2
Каждое наблюдение изменено на $z=3x-4$. Найдите новое среднее, медиану и диапазон. Укажите, как изменится стандартная ошибка, не производя вычислений.
Рассуждение. Среднее $\bar z=3\bar x-4=3(4)-4=8$. Медиана равна $3(3.5)-4=6.5$. Диапазон составляет $3(6)=18$. Стандартная ошибка утраивается; вычитание 4 не изменяет расстояния от среднего.
Практика 3
Сравните A = {0, 0, 10, 10} и B = {0, 5, 5, 10}. Оба набора имеют диапазон 10. Должны ли их стандартные ошибки совпадать? Обоснуйте ответ.
Reasoning. Both means are 5. Every A observation is 5 from its mean; B distances are 5,0,0,5. B therefore has smaller mean squared deviation and smaller standard deviation. Equal range alone is insufficient.
Ограничения и дальнейшее применение
Не усредняйте различные метки категорий при неравных частотах и не путайте сдвинутое распределение с более рассеянным.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.