Область применения и требования
На основе фреймворка Digital SAT. Эти задания на бумаге не являются адаптивными и не предсказывают скорректированный балл.
- Использовать пропорциональные соотношения, сохраняя единицы измерения
- Конвертировать скорости и различать прямые и обратные зависимости
- Вычислять последовательные изменения и процентные сравнения, используя правильную базу
Предварительные требования: Дроби; перевод единиц; процентная база.
Объясните и выберите метод
Отношение сравнивает величины в выбранном порядке. Если красный:синий=3:5, а общее количество равно 64, то восемь равных частей содержат по восемь единиц каждая; значит, красного 24, а синего 40. Отношение 3/5 описывает красное относительно синего; 3/8 — красное относительно общего количества. Считайте требуемый знаменатель, а не первый попавшийся в дроби.
Единичная скорость делит количество на соответствующее время, расстояние или число. Запишите коэффициенты преобразования так, чтобы ненужные единицы сокращались: 72 км/час умножить на 1000 м/км и разделить на 3600 с/час, чтобы получить 20 м/с. При преобразовании площади и объема длина умножается на квадрат или куб.
При прямой пропорциональности y=kx удвоение x удваивает y; при обратной пропорциональности xy=k удвоение x уменьшает y вдвое. Постоянная работа, выполненная одинаковыми рабочими, даёт модель обратной зависимости времени только при фиксированной производительности и условиях. Фиксированная начальная плата, добавленная к ставке, образует аффинную линейную модель, а не прямую пропорциональность через начало координат.
Процентное изменение делит разницу на первоначальную базовую величину. Последовательные процентные изменения перемножаются: скидка в 20% за следствием ростом на 20% дает $0.8\times1.2=0.96$ от исходного значения. Различайте процентные пункты и относительный процент: переход с 30% на 36% составляет шесть пунктов, но это относительный рост на 20%.
Отношение сравнивает величины с их единицами измерения. $v=d/t=(90\,\mathrm{km})/(1.5\,\mathrm{h})=60\,\mathrm{km/h}$. Переводите с использованием сокращения единиц: $v=(60\,\mathrm{km/h})(1000\,\mathrm{m/km})/(3600\,\mathrm{s/h})=50/3\,\mathrm{m/s}$. Не переводите только числитель сложной ставки.
Разбор примера. Цена в 250 единиц со скидкой в 20% становится равной 200; увеличение этой суммы на 20% дает 240, что на четыре процента меньше 250. Насос перекачивает 18 литров за 3 минут, следовательно, его производительность составляет 6 л/мин или 0.1 л/с. При постоянной скорости для перекачивания 45 литров потребуется 7.5 минут. Если акция растет с 40% до 50%, прирост составляет 10 процентных пунктов и является относительным ростом на 25% по отношению к старой цене акции.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Смешайте красную и синюю краску в соотношении 4:7, чтобы получить 33 литров. Найдите количество каждой. Красная краска стоит 18 юаней за литр, синяя — 12. Найдите общую стоимость.
Обоснование. Имеется 11 частей, следовательно, каждая часть составляет 3 л. Объём красного раствора — $V_r=33(4/11)=12\,\mathrm{L}$; синего — $V_b=33(7/11)=21\,\mathrm{L}$. Стоимость — $C=p_rV_r+p_bV_b=(18\,\mathrm{yuan/L})(12\,\mathrm{L})+(12\,\mathrm{yuan/L})(21\,\mathrm{L})=468\,\mathrm{yuan}$.
Практика 2
Предмет за 400 юаней дешевеет на 15%, затем дорожает на 10%. Найдите конечную цену и общий процентный итог.
Обоснование. Используйте последовательные множители. $P=P_0(1-0.15)(1+0.10)=(400\,\mathrm{yuan})(0.85)(1.10)=374\,\mathrm{yuan}$. Относительное изменение равно $r=(P-P_0)/P_0=(374-400)/400=-0.065$, что соответствует снижению на 6.5%.
Практика 3
Насос подает 0.15 литров в секунду. Сколько времени потребуется для 54 литров? Если сторона квадрата равна 30 см, укажите его площадь в квадратных метрах.
Рассуждение. $t=V/q=(54\,\mathrm{L})/(0.15\,\mathrm{L/s})=360\,\mathrm{s}=6\,\mathrm{min}$. Преобразуйте сторону перед возведением в квадрат: $A=s^2=(0.30\,\mathrm{m})^2=0.09\,\mathrm{m^2}$; коэффициент преобразования площади равен 10000, а не 100.
Ограничения и дальнейшее применение
Укажите, какая величина является базой для расчета процента, и явно сокращайте единицы измерения. Равные положительные и отрицательные процентные изменения используют разные базы.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.