C.4 · Стоячие волны и резонанс

Full guide C.4 scope (Standing waves and resonance), first assessment 2025. Read directly from the Physics guide, pages 48–49. Prerequisites: C.1 (oscillation vocabulary) and C.3 (superposition).

Это оригинальные учебные примеры, а не фактические измерения или завершенные оценочные исследования учеников.

Две одинаковые волны, движущиеся навстречу друг другу — обычно волна и её отражение — образуют стоячую волну: паттерн остаётся неподвижным, в то время как среда колеблется внутри него. Там, где две волны всегда взаимно уничтожаются, находится узел (нулевое смещение); там, где они всегда усиливают друг друга, находится пучность (максимальная амплитуда). Две точки между соседними узлами колеблются в фазе; точки по разные стороны от узла находятся в противофазе — в отличие от бегущей волны, фаза здесь не распространяется вдоль среды.

Концы определяют допустимые длины волн. Закреплённый конец струны (или закрытый конец трубы) должен быть смещением узлом; свободный конец струны (или открытый конец трубы) должен быть пучностью. Трубы описываются только через смещения (узлы давления не требуются, и нет поправок на концах).

The lowest-frequency mode is the first harmonic (the terms "fundamental" and "overtone" are not used in this course). Determining the wavelength and frequency of the $n$th harmonic from the length and wave speed is a required skill.

Worked check (string). A string of length 0.60 m carries waves at 240 m/s. First harmonic: $\lambda_1 = 2L = 1.2\ \mathrm{m}$, $f_1 = v/2L = 240/1.2 = 200\ \mathrm{Hz}$; the second harmonic doubles to 400 Hz, the third to 600 Hz.

Worked check (closed–open pipe). A pipe closed at one end, open at the other, length 0.40 m, air at 340 m/s: $f_1 = v/4L = 340/1.6 = 213\ \mathrm{Hz}$; the next harmonic is the third, $f_3 = 3f_1 = 638\ \mathrm{Hz}$ — even harmonics cannot form.

Worked check (open–open pipe). The same pipe opened at both ends: $f_1 = v/2L = 340/0.80 = 425\ \mathrm{Hz}$, an octave above the closed–open first harmonic, and every harmonic is allowed.

Каждая упругая система имеет собственную частоту — скорость колебаний, когда она оставлена сама себе. Приведите её в движение периодической силой, и отклик зависит от частоты вынуждающей силы: когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте, амплитуда резко возрастает — резонанс. Энергия поступает ровно с той скоростью, которую система может поглощать, поэтому амплитуда на резонансе ограничена лишь тем, насколько быстро энергия рассеивается.

Затухание — удаление энергии колебаний — изменяет отклик системы: оно снижает максимальную амплитуду, смещает резонансный пик немного ниже собственной частоты и расширяет его.

• Слабое затухание — высокий, острый пик; большая резонансная амплитуда (качели, толкаемые в такт их естественной частоте).
• Критическое затухание — колебания затухают за минимальное время без прохождения точки равновесия; резонансный пик практически исчезает (подвеска автомобиля).
• Сильное затухание — медленный, вялый возврат к положению равновесия; система слабо реагирует на любую вынуждающую частоту (тяжелый доводчик двери).

Резонанс желателен и используется намеренно (музыкальные инструменты, настройка радиоприемника, МРТ) и нежелателен или разрушителен (мост Такома-Нарроуз, вибрация станков, солдаты, идущие маршем по мосту) — руководство требует рассмотреть обе стороны вопроса.

1. Опишите, как формируется стоячая волна, и объясните, почему узлы остаются неподвижными, а среда между ними движется.
2. Две точки на стоячей волне находятся по разные стороны от узла, каждая на расстоянии 0.15 м от него. Укажите разность фаз этих точек.
3. Струна, закрепленная с обоих концов, имеет длину 0.75 м и распространяет волны со скоростью 150 м/с. Вычислите частоты первой и второй гармоник.
4. Explain why a closed–open pipe produces only odd harmonics.
5. Труба длиной 0.50 м открыта с обоих концов; скорость звука в воздухе составляет 340 м/с. Вычислите частоту первой гармоники и длину волны второй гармоники.
6. Нарисуйте или опишите, как меняется кривая резонанса слабого затухающего системы при увеличении затухания.
7. Приведите один полезный и один разрушительный эффект резонанса, указав физическую причину каждого явления.

Answers: 1 two identical waves travelling in opposite directions superpose; at a node their displacements always cancel, so it never moves, while between nodes the superposition oscillates; 2 antiphase — 180° (π rad) apart; 3 $f_1 = v/2L = 150/1.5 = 100\ \mathrm{Hz}$, $f_2 = 200\ \mathrm{Hz}$; 4 the closed end must be a node and the open end an antinode, so only an odd number of quarter-wavelengths fits — even harmonics cannot meet both conditions; 5 $f_1 = v/2L = 340/1.0 = 340\ \mathrm{Hz}$; $\lambda_2 = L = 0.50\ \mathrm{m}$; 6 the peak falls, broadens, and shifts slightly below the natural frequency; 7 useful — a radio circuit tuned to resonance picks one station out of many because it responds only near its natural frequency; destructive — driving at the natural frequency feeds energy in faster than it dissipates, so the amplitude grows until the structure fails.