C.3 · Явления волн

Полный раздел C.3 (Волновые явления), включая блок AHL, первая контрольная работа 2025. Прочитайте непосредственно в руководстве по физике, страницы 47–48. Предварительные требования: C.2 (v = fλ, поперечные и продольные волны) и базовая тригонометрия.

Это оригинальные учебные примеры, а не фактические измерения или завершенные оценочные исследования учеников.

В двумерном и трехмерном пространстве волна изображается двумя способами: волновыми фронтами — линиями, соединяющими точки в одинаковой фазе (в шаге), расположенными через одну длину волны, и лучами — стрелками, перпендикулярными волновым фронтам и показывающими направление распространения. Эскизы в этой теме ограничены падающими, отраженными и преломленными волнами.

На границе раздела двух сред волна совершает одно или несколько из трех действий:

• Отражение — волновой фронт возвращается от границы (угол падения равен углу отражения, оба угла измеряются от нормали).
• Преломление — часть волны проходит во вторую среду.
• Преломление — преломленная волна меняет направление, так как меняется её скорость: к нормали при входе в более медленную среду, от неё при входе в более быструю. Частота определяется источником и остается неизменной; длина волны изменяется пропорционально скорости.

Правило преломления в виде отношения:

где $n$ — показатель преломления каждой среды, а $\theta$ — угол между лучом и нормалью. Эквивалентно $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$; больший показатель преломления означает меньшую скорость в данной среде.

При переходе из более медленной среды в более быструю (стекло в воздух, $n_1 > n_2$) существует угол, превысив который ни один луч не сможет выйти наружу: при критическом угле преломленный луч идет вдоль границы,

а при больших углах весь свет полностью отражается обратно в среду — полное внутреннее отражение (TIR), принцип оптоволокна.

Решенная проверка (преломление в стекле). Воздух в стекло, $n_{air} = 1.0$, $n_{glass} = 1.5$, угол падения $40°$: $\sin\theta_2 = (n_1/n_2)\sin\theta_1 = (1.0/1.5)(0.643) = 0.429$, следовательно $\theta_2 = 25°$ — луч отклоняется к нормали, как и следовало ожидать при входе в более медленную среду. Скорости соотносятся тем же образом: $v_{glass} = c/1.5 = 2.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$.

Решенная проверка (критический угол). То же стекло против воздуха: $\sin\theta_c = 1.0/1.5 = 0.667$, значит $\theta_c = 42°$. Любой луч внутри стекла, падающий на стенку под углом больше $42°$ к нормали, будет полностью внутренне отражен.

Волна, встречающая препятствие или отверстие, не движется строго прямо: она огибает его и рассеивается — это дифракция. Рассеивание наиболее выражено, когда размер отверстия сопоставим с длиной волны или меньше её, поэтому звук огибает дверные проемы (длины волн порядка метров), тогда как свет (сотни нанометров) кажется идущим прямо. Диаграмма волновых фронтов и лучей показывает плоские волновые фронты, входящие в щель и выходящие в виде изогнутых, расширяющихся фронтов.

Когда две волны встречаются в точке, их смещения складываются — это суперпозиция. Для получения устойчивой картины источники должны быть когерентными: иметь одинаковую частоту и постоянную разность фаз. Тогда результат зависит от разности хода от двух источников:

при $n$ — целое число. Конструктивная интерференция образует максимум (два гребня достигают точки одновременно); деструктивная приводит к минимуму (гребень встречается с впадиной).

Проверочный пример. Два когерентных источника в фазе, длина волны 0.50 м. Точка находится на расстоянии 3.00 м от одного источника и 3.75 м от другого; разность хода составляет 0.75 м $= 1.5\lambda = (1 + \tfrac{1}{2})\lambda$ — деструктивная: минимум. Перемещая точку до тех пор, пока разность хода не станет равна 1.00 м $= 2\lambda$, можно восстановить максимум.

Свет проходит через одну узкую щель, затем через две узкие щели (когерентные по конструкции) и образует на экране яркие и тёмные полосы — интерференцию, что является доказательством волновой природы света. Расстояние между полосами равно

где $d$ — расстояние между щелями, а $D$ — расстояние от щелей до экрана.

Worked check (measuring a wavelength). Slits 0.20 mm apart, screen 2.4 m away, and 12 bright fringes counted across 55 mm (11 gaps, so $s = 55/11 = 5.0\ \mathrm{mm}$): $\lambda = sd/D = (5.0\times10^{-3})(0.20\times10^{-3})/2.4 = 4.2\times10^{-7}\ \mathrm{m}$ — violet-blue light.

Дифракция одной щели: свет длины волны $\lambda$ проходит через одну прямоугольную щель шириной $b$ (монохроматический, нормальное падение) и расширяется, образуя широкий центральный максимум со слабыми боковыми полосами. Первый минимум расположен под углом

поэтому более узкая щель сильнее рассеивает свет — дифракция усиливается по мере уменьшения апертуры до размеров, близких к длине волны. Влияние ширины щели на интенсивность носит качественный характер: центральный пик доминирует, а уравнение описывает именно его ширину.

Реальные двойные щели представляют собой две отдельные щели, поэтому тонкие интерференционные полосы двойной щели накладываются на более широкую картину дифракции одной щели: картина дифракции одной щели модулирует интерференционную картину двойной щели — высота полос следует огибающей дифракции одной щели.

Множество параллельных щелей — дифракционная решётка с периодом $d$ — превращает каждый максимум в яркую узкую линию под углом

где $n = 0, 1, 2, \ldots$ — порядок спектра. Поскольку для каждой длины волны существует свой угол, белый свет, проходящий через решётку, распадается на спектр каждого порядка (фиолетовый ближе всего к прямому направлению), а количество видимых порядков ограничено условием $\sin\theta \le 1$.

Проверочный пример (одна щель). $b = 0.10\ \mathrm{mm}$, $\lambda = 500\ \mathrm{nm}$: $\sin\theta = 5.0\times10^{-7}/1.0\times10^{-4} = 5.0\times10^{-3}$, значит $\theta = 0.29°$. Увеличение ширины щели до $0.40\ \mathrm{mm}$ уменьшает угол в четыре раза: $\theta = 0.072°$ — картина сжимается по мере роста апертуры.

Проверочный пример (порядки решётки). Решётка содержит 600 линий на миллиметр: $d = 1.0\times10^{-3}/600 = 1.7\times10^{-6}\ \mathrm{m}$. При $\lambda = 600\ \mathrm{nm}$: порядок 1 находится под углом $\sin\theta = 0.36$ ($\theta = 21°$), порядок 2 — под углом $\sin\theta = 0.72$ ($\theta = 46°$), а порядок 3 потребовал бы угла $\sin\theta = 1.08$ — невозможно, поэтому видны только два порядка. Для $400\ \mathrm{nm}$ (фиолетовый) порядок 1 расположен под углом $\sin\theta = 0.24$ ($14°$): одна решётка, один вспышка белого света, и первый порядок спектра простирается от $14°$ до $21°$.

1. Объясните понятие волнового фронта и связь луча с ним.
2. Луч переходит из воздуха в воду ($n = 1.3$) под углом $50°$ к нормали. Вычислите угол преломления.
3. Назовите условие полного внутреннего отражения и объясните, почему аквариум может зеркально отображать объекты при скользящих углах.
4. Сравните дифракцию звука и света при прохождении через дверной проём, приведя причину.
5. Два когерентных источника находятся на расстоянии 0.040 м друг от друга и излучают волны длиной 0.060 м в фазе. Точка расположена на расстоянии 0.30 м от одного источника вдоль линии, перпендикулярной линии источников; определите тип разности хода (конструктивная или деструктивная), если она находится на расстоянии 0.33 м от другого источника.
6. В установке с двумя щелями расстояние между щелями уменьшено вдвое, а экран отодвинули в два раза дальше. Что происходит с расстоянием между интерференционными полосами?
7. A double-slit experiment with green light gives fringes 4.0 mm apart. Estimate the new separation if blue light of half the wavelength is used with the same geometry.

Answers: 1 a line of points in phase, one wavelength apart; the ray is everywhere perpendicular to the wavefronts and shows travel direction; 2 $\sin\theta_2 = (1.0/1.3)\sin 50° = 0.588$, $\theta_2 = 36°$; 3 travel from a slower (higher-$n$) medium toward a faster one at more than the critical angle — then no transmission exists; beyond the critical angle the inside of the glass surface acts as a mirror; 4 sound (wavelengths of metres, comparable with the doorway) diffracts strongly around the opening, light (wavelengths hundreds of nanometres, far smaller) spreads negligibly and appears to travel straight; 5 path difference 0.03 m $= \tfrac{1}{2}(0.060\ \mathrm{m})$ — destructive; 6 $s = \lambda D/d$ doubles from $D$ and doubles again from $d$ — four times wider; 7 $s \propto \lambda$, so 2.0 mm.