MM.1 · Coordinate operators, separated modes and stable updates

Запись лапласиана радиальной функции как f″ опускает член; оператор принадлежит координатам, а не символу.

Предварительные требования: алгебра, дифференцирование и векторные компоненты.

• Используйте дивергенцию и лапласиан в системе координат, выбранной по симметрии
• Решите простую задачу для раздельной моды с граничными условиями
• Проверьте сходимость, единицы измерения и устойчивость оригинального численного обновления

Выбирайте координаты по симметрии перед записью операторов. Для радиальной функции в сферических координатах ∇²f=f″+(2/r)f′, а дивергенция радиального поля A=A_r r̂ равна (1/r²)d(r²A_r)/dr. Проверка: A=k r̂/r² имеет дивергенцию (1/r²)dk/dr=0 вне начала координат, и f=1/r удовлетворяет ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 вне начала координат. Декартовы формы применимы только к декартовым зависимостям.

Разделение переменных превращает задачу с граничными условиями в обычные моды. Для струны, закрепленной с обоих концов, запишите u=X(x)T(t); волновое уравнение дает X″/X=(1/c²)T″/T=−k², закрепленные концы требуют X=sin(nπx/L), а разрешенные частоты равны ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Каждая мода должна удовлетворять граничным условиям до любой суммы по модам.

Явный эйлеровский шаг для y′=−λy имеет вид y_{n+1}=(1−λh)y_n, ограниченный при |1−λh|≤1, т. е. 0<h≤2/λ for λ>0; асимптотическое затухание требует 0<h<2/λ. При λ=10 /с, h не должно превышать 0.2 с; при h=0.25 с множитель равен −1.5 на каждом шаге, что приводит к расходимости со сменой знака. Устойчивость — свойство рекуррентной формулы, а не точного решения.

Check a numerical answer three ways before trusting it: units of every term (λh must be dimensionless), convergence under refinement (halve h and compare; explicit Euler error is first order), and a limiting case with a known exact answer. For y′=−4y with y0=8 and h=0.2, five steps give 8×0.2⁵=0.00256 versus exact 8e^(−4)≈0.1465: stable but inaccurate, so refine.

Сферическое радиальное поле имеет дивергенцию

Для $A_r=Cr$ оно дает 3C, а не C. Закрепленные концы струны требуют $X(0)=X(L)=0$, поэтому $X_n=\sin(n\pi x/L)$ с положительным целым n. Эйлер для $\dot y=-\lambda y$ дает $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. Для положительного h ограниченная абсолютная устойчивость допускает $h\leq2/\lambda$; затухание к нулю требует строгого неравенства $0<h<2/\lambda$. На верхней границе числовое решение колеблется без затухания. Устойчивость не гарантирует точность.

Применение декартова лапласиана к радиальной функции, суммирование мод, нарушающих граничные условия, или объявление ограниченного процесса сходимым без уточнения шага. Соотнесите оператор, границы и условие устойчивости с реальной задачей.

разделение переменных: Решение дифференциального уравнения в частных производных путем представления неизвестной функции как произведения функций одной переменной.

условие устойчивости: Ограничение на величину шага, предотвращающее нарастание ошибок в численной рекуррентной формуле.