QM.1 · Scattering, degeneracy and Pauli operators

Квантовая волна может отражаться от потенциального барьера, направленного вниз, даже если у классической частицы нет точки разворота в этом месте.

Предварительные требования: 5.

• Сопоставлять бегущие волны и потоки вероятности на конечных потенциальных ступенях
• Подсчитывать вырожденные состояния изотропного осциллятора
• Вычислять произведения Паули и различать антикоммутацию и равенство

Для постоянного потенциала V и энергии E>V пространственные решения представляют собой бегущие волны exp(±ikx), где k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. На конечных шагах при той же массе частицы волновая функция и её первая производная непрерывны. В задаче рассеяния с падающей слева волной и отсутствием падающей справа, решение в дальней правой области содержит только правобегущий множитель Ae^(ikx). Если конечная потенциальная яма возвращается к исходному внешнему потенциалу, внешний волновой число переданной волны совпадает с падающим, несмотря на различие внутреннего волнового числа. Решения, экспоненциально затухающие, описывают области E<V, а не любую потенциальную яму.

Для скачка от V1 до V2, когда обе области классически разрешены, запишите амплитуду падающей плюс отражённой волны в области 1 и амплитуду переданной волны в области 2. Непрерывность даёт r=(k1−k2)/(k1+k2) и t=2k1/(k1+k2). Вероятность отражения R=|r|²; передача T=(k2/k1)|t|², поскольку плотность вероятностного тока зависит от волнового числа. Таким образом, R+T=1 для безпотерянного скачка. Не добавляйте квадрат амплитуды переданной волны к R без множителя тока. При k2=3k1, R=1/4 и T=3/4, несмотря на нисходящий скачок.

Трёхмерный изотропный осциллятор расщепляется на моды x,y,z с неотрицательными целыми числами n_x,n_y,n_z. Его энергия равна (N+3/2)$\hbar$ω, где N=n_x+n_y+n_z. Для частицы со спином 0, различимой и одиночной, пространственная вырожденность — это число таких троек: (N+1)(N+2)/2. Это учитывает различные присвоения, а не только различные упорядоченные разложения. Для N=2 шесть состояний являются перестановками (2,0,0) и (1,1,0). Для N=3 вырожденность составляет 10. Дополнительные ограничения по спину или тождественности частиц изменили бы задачу подсчёта.

Матрицы Паули: σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Каждая в квадрате даёт единичную матрицу. Прямое умножение даёт σ_xσ_y=iσ_z и σ_yσ_x=−iσ_z, поэтому различные матрицы Паули антикоммутативны. Циклические произведения x→y→z дают положительное i; реверсация порядка меняет знак. Общее тождество: σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Порядок матриц имеет значение: σ_xσ_z=−iσ_y, а не iσ_y или просто σ_y. Эти безразмерные матрицы становятся операторами спина S_i=$\hbar$σ_i/2, приобретая физические единицы и множители.

На конечном потенциальном скачке необходимо согласовать волновую функцию и её производную для одной и той же массы частицы.

Вероятность передачи рассчитывается через ток, а не только через амплитуду. Для $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. Отражение происходит даже при нисходящем скачке. Знак фазы исчезает при вычислении вероятности.

*R + T = 1, где R = 0 при k₂ = k₁; уровень N имеет (N + 1)(N + 2)/2 состояний

Вероятность пропускания требует отношения токов через волновые числа. Вырождение осциллятора считает упорядоченные тройки мод. Не меняйте порядок матриц Паули без изменения знака.

коэффициент отражения: Доля отражённого вероятностного тока относительно падающего тока.

вырождение: Количество независимых состояний, имеющих указанную энергию.