Рассеяние, вырождение и операторы Паули
Введено| English | Значение |
|---|---|
| degeneracy/dɪˈdʒenərəsi/ | степень вырождения |
| reflection coefficient/rɪˈflekʃn ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | коэффициент отражения |
Решение перед ответом
- Квантовая волна может отражаться от потенциального ступенчатого спада, хотя классическая частица не имеет точки поворота там.
- Ваша цель: согласовать бегущие волны и потоки вероятности через конечные изменения потенциала.
Прочитайте соотношение
- Для постоянного потенциала V и энергии E>V пространственные решения имеют вид бегущих множителей exp(±ikx), где k=sqrt[2m(E−V)]/ℏ. На конечных ступенях при той же массе частицы волновая функция и ее первая производная непрерывны. В задаче рассеяния при падающей слева волне и отсутствии падающей справа волны решение в удаленной правой области содержит только правую бегущую компоненту Ae^(ikx). Если конечная яма возвращается к внешнему потенциалу, волновое число внешней прошедшей волны совпадает с падающим, несмотря на различие волновых чисел внутри ямы. Экспоненциально затухающие решения описывают области E<V, но не любую потенциальную яму.
- Подсчитайте вырожденные состояния изотропного осциллятора.
For a lossless potential step with k2=2k1, reflection probability is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
r=(1−2)/(1+2)=−1/3; R=1/9.
Используйте определяющее правило
- Для скачка от V1 к V2, когда обе области классически разрешены, запишите амплитуду падающей плюс отражённой волны в области 1 и амплитуду прошедшей волны в области 2. Условие непрерывности даёт r=(k1−k2)/(k1+k2) и t=2k1/(k1+k2). Вероятность отражения R=|r|²; пропускание T=(k2/k1)|t|², так как плотность вероятностного тока зависит от волнового числа. Следовательно, R+T=1 для безпотерянного скачка. Не прибавляйте к R необработанную квадратуру прошедшей амплитуды без множителя тока. При k2=3k1, R=1/4 и T=3/4, несмотря на нисходящий скачок.
- Вычисляйте произведения Паули и различайте антикоммутацию и равенство.
A spin-zero three-dimensional isotropic oscillator at E=(5/2)ℏω has degeneracy:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
N=1 gives triples (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
Проверьте условия
- Трёхмерный изотропный осциллятор расщепляется на моды x,y,z с неотрицательными целыми числами n_x,n_y,n_z. Его энергия равна (N+3/2)ℏω, где N=n_x+n_y+n_z. Для частицы со спином 0, различимой, пространственная вырожденность — это количество таких троек: (N+1)(N+2)/2. Это учитывает различные назначения, а не только различные неупорядоченные разбиения. Для N=2, шесть состояний — это перестановки (2,0,0) и (1,1,0). Для N=3, вырожденность составляет 10. Дополнительные ограничения спина или тождественных частиц изменили бы задачу подсчёта.
- Вычисляйте произведения Паули и различайте антикоммутацию и равенство.
На безпотерянном скачке при k2=3k1, r=−1/2 и t=1/2. R=1/4, T=3·1/4=3/4, и их сумма равна единице. Изотропный осциллятор со спином 0 при E=(9/2)ℏω имеет N=3 и вырожденность 10. Умножение σ_x на σ_y даёт diag(i,−i)=iσ_z.
For a spin-zero isotropic oscillator with N=4, spatial degeneracy is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
(N+1)(N+2)/2=5·6/2=15.
Применяйте формат задания
- Матрицы Паули: σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Каждая возводится в квадрат до единичной матрицы. Прямое умножение даёт σ_xσ_y=iσ_z и σ_yσ_x=−iσ_z, поэтому различные матрицы Паули антикоммутируют. Циклические произведения x→y→z дают положительное i; изменение порядка меняет знак. Общая формула: σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Порядок матриц важен: σ_xσ_z=−iσ_y, а не iσ_y или просто σ_y. Эти безразмерные матрицы становятся операторами спина S_i=ℏσ_i/2, приобретая физические единицы и множители.
- Вычисляйте произведения Паули и различайте антикоммутацию и равенство.
Вероятность пропускания требует отношения токов через волновые числа. Вырождение осциллятора считает упорядоченные тройки мод. Не меняйте порядок матриц Паули без изменения знака.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Соотнести бегущие волны и потоки при конечных потенциальных скачках
Distinct Pauli matrices commute with each other.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Their products change sign on reversing order; they anticommute.
Сохраняйте различия
- коэффициент отражения — Доля отраженного потока вероятности относительно падающего тока.
- вырождение — Количество независимых состояний, имеющих указанную энергию.
- Сопоставить бегущие волны и потоки через конечные потенциальные барьеры.
- Подсчитайте вырожденные состояния изотропного осциллятора.
- Вычисляйте произведения Паули и различайте антикоммутацию и равенство.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.