3 · Sequences, functions and graphs

4MA1 тема 3 (спецификация Issue 2, November 2017). Строки Foundation 3.1 и 3.3 разделены с Higher; блок нотации функций 3.2 и блок дифференциального исчисления 3.4 доступны только на уровне Higher, а Higher 3.3 расширяет работу с графиками до кубических функций, обратных зависимостей, тригонометрических кривых, преобразований и точек пересечения. На экзаменационных бумагах June 2024 Higher эта секция является наиболее объемной из шести тем (около трети каждой бумаги) и содержит критерии distinctions A/A*: суммы алгебраических рядов, композитные функции, перпендикулярные прямые, пересечения прямых и кривых, а также стационарные точки.

Обязательно знать для темы 3 (на листе формул Higher приведены только правила суммирования рядов и трапеции):

Правило от члена к члену объясняет, как получить следующий член (прибавить 4: 5, 9, 13, 17, …; умножить на 2: 1, 2, 4, 8, …); правило по позиции позволяет найти член непосредственно из своего положения. Для арифметической прогрессии с первым членом $a$ и общим разностью $d$, $n$-й член равен $u_n = a + (n-1)d$: для 1, 3, 5, 7, … правило имеет вид $2n - 1$, а «n-й член равен $4n + 3$» порождает 7, 11, 15, … Проверьте предполагаемое правило на двух позициях перед тем, как доверять ему.

Высший уровень добавляет сумму арифметической прогрессии. Сопоставление первого с последним, второго со вторым с конца, … даёт $n/2$ равных парных сумм $a + u_n$:

Для $4+7+10+13+\cdots$: $a=4$, $d=3$, тогда $S_{50} = 25\,(8 + 49 \times 3) = 25 \times 155 = 3875$. Recovering $a$ and $d$ из двух членов используется формула члена как система уравнений: если $u_2 = 7$ и $u_5 = 19$, то $3d = 12$, значит $d = 4$ и $a = 7 - 4 = 3$.

Разобранный пример (1HR June 2024 Q23, адаптировано). Три последовательных члена арифметической прогрессии равны $4x-14$, $x+2$ и $7x-9$. Последовательные члены имеют общую разность, поэтому $(x+2)-(4x-14) = (7x-9)-(x+2)$, получаем $-3x + 16 = 6x - 11$, следовательно $x = 3$. Члены последовательности $-2, 5, 12, \ldots$: $a = -2$, $d = 7$. Тогда $S_{40} = 20\left[2(-2) + 39 \times 7\right] = 20 \times 269 = 5380$. Keep $a$, $d$ символически до конечной подстановки — алгебра, а не арифметика, приносит баллы.

Функция сопоставляет каждому элементу входного множества ровно один элемент выходного: запишите $f(x) = \ldots$ или $f{:}\ x \mapsto \ldots$. Область определения — множество допустимых входов; область значений — множество выходов. Исключите входы, нарушающие правило: для $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ исключите $x = 2$; для $f(x) = \sqrt{x}$ возьмите $x \ge 0$.

Составная функция $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$ применяет $g$ сначала, затем $f$ — результат работы $g$ должен быть допустимым входом для $f$. Обратная функция $f^{-1}$ отменяет действие $f$ и существует только там, где $f$ является однозначной: для $f(x) = \sqrt{x-2}$ (область определения $x \ge 2$, область значений $f \ge 0$), запись $y = \sqrt{x-2}$ и возведение в квадрат дают $x = y^2 + 2$, поэтому $f^{-1}(x) = x^2 + 2$ на области определения $x \ge 0$. Всегда проверяйте $f^{-1}(f(x)) = x$.

Разобранный пример (2HR, июнь 2024, вопрос 17, адаптировано). $f(x) = \dfrac{x}{2x-4}$ и $g(x) = 3x+1$; найдите $k$, зная $\mathrm{fg}(k) = 2$. Сначала $g(k) = 3k+1$, затем

получаем $3k+1 = 12k-4$, что дает $9k = 5$ и $k = \tfrac59$. (Лайфхак, который полезно знать: решение $f(x) = 2$ сразу дает $x = 8/3$, поэтому приравняем $g(k) = 8/3$ — тот же ответ с меньшим объемом алгебры.)

Декартовы координаты обозначают точки во всех четырех квадрантах; середина отрезка усредняет координаты конца: $M = \left(\tfrac{x_1+x_2}{2}, \tfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. Угловой коэффициент прямой линии равен изменению $y$, делённому на изменение $x$: через $(1,7)$ и $(2,9)$ угловой коэффициент равен $2$. Прямая $y = mx+c$ имеет угловой коэффициент $m$ и пересекает ось $y$ в точке $(0,c)$ — для $y = 3x+5$, угловой коэффициент 3 и отрезок на оси y $(0,5)$. Особые случаи: $x = k$ является вертикальной (нет конечного углового коэффициента), $y = c$ горизонтальной (угловой коэффициент 0). Графики перевода Интерпретация реальных графиков входит в этот блок: на графике зависимости пути от времени угловой коэффициент равен

скорости; на графике зависимости скорости от времени угловой коэффициент равен ускорению, а площадь под графиком равна пройденному расстоянию. Практика построения охватывает заполнение таблиц значений для прямых линий пройденного расстояния. Практика построения графиков охватывает заполнение таблиц значений для прямых линий (включая формы $ax + by = c$) и квадратичных функций, проведение плавной кривой через отмеченные точки — никогда не ломаных линий между ними.

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Перпендикулярные прямые имеют угловые коэффициенты, произведение которых равно $-1$: перпендикулярная к $m$ имеет $-1/m$. Прямая, проходящая через $(x_1, y_1)$ с угловым коэффициентом $m$, задается уравнением $y - y_1 = m(x - x_1)$.

Разобранный пример (2HR June 2024 Q21, адаптировано). $ABCD$ — квадрат со сторонами $A(-5, 2)$ и $B(3, 5)$; найдите уравнение $BC$ в виде $ax + by + c = 0$. Соседние стороны квадрата перпендикулярны. Угловой коэффициент $AB$ равен $\tfrac{5-2}{3-(-5)} = \tfrac38$, поэтому угловой коэффициент $BC$ равен $-\tfrac83$. Проходит через $B(3,5)$: $y - 5 = -\tfrac83(x-3)$, следовательно $3y - 15 = -8x + 24$, получаем $8x + 3y - 39 = 0$. Раскройте скобки в конце, чтобы $a$, $b$, $c$ были целыми числами, как требуется.

Высший 3.3 требует распознавания и построения трёх семейств кривых помимо квадратичных: кубических $y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ (любые знаки; $y = x^3 - 4x$ возрастает–убывает–возрастает), обратных $y = A/x$, $y = A/x^2$, $y = A/x^3$ (две ветви, асимптоты, не пересекают оси) и тригонометрических графиков $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$ для углов любого размера в градусах — синус и косинус колеблются между $-1$ и $1$ с периодом 360°; тангенс повторяется каждые 180° и разрывается при $90° + 180°n$. Окружность с центром в начале координат имеет $x^2 + y^2 = r^2$ — окружность входит в этот курс как вторая кривая пересечения вопроса.

Требуется четыре преобразования $y = f(x)$ для линейной, квадратичной, синусоидальной и косинусоидальной функций:

The inside forms act "backwards" on $x$ and only on $x$. For $f(x) = x^2$: $y = f(x-2)+5 = (x-2)^2 + 5$ moves the minimum from $(0,0)$ to $(2, 5)$; $y = f(2x) = 4x^2$ halves the значения $x$, делая параболу уже, но не выше. Для $y = \sin 2x$ период уменьшается вдвое до 180°. Прочитайте нарисованное преобразование с графика (куда переместилась точка экстремума?) и запишите это алгебраически — оцениваются оба направления.

Угловые коэффициенты кривых: проведите касательную в точке и примите её угловой коэффициент за rise/run — измеряется проведенная прямая, а не сама кривая. Точные угловые коэффициенты кривых требуют дифференциального исчисления (следующий раздел).

Пересечения: значения $x$, при которых линейное $y_1$ пересекает нелинейное $y_2$, являются решениями уравнения $y_2 - y_1 = 0$. Координаты точек пересечения $y = 2x+1$ и $y = x^2 + 3x - 2$ находятся из уравнения $x^2 + x - 3 = 0$; для $y = 5$ и $y = x^3 - 3x^2 + 7$ решите уравнение $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$.

Разобранный пример (2HR Июнь 2024 Вопрос22, адаптировано). Найдите точки пересечения прямой $y = 3x - 1$ с кривой $x^2 + y^2 = y + 11$. Подставьте выражение прямой в уравнение кривой:

получается $x = -\tfrac35$ или $x = \tfrac32$, откуда при подстановке в $y = 3x-1$ получаем значения $y = -\tfrac{14}{5}$ или $y = \tfrac72$. Искомые точки имеют координаты $\left(-\tfrac35, -\tfrac{14}{5}\right)$ и $\left(\tfrac32, \tfrac72\right)$ — подставьте их обратно во второе уравнение для проверки: $\tfrac94 + \tfrac{49}{4} = \tfrac{58}{4} = 14.5 = \tfrac72 + 11$. ✓

Угловой коэффициент кривой меняется вдоль неё: это переменная скорость изменения. Дифференцирование дает его точно: для целых степеней переменной $x$,

для $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ результат равен $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 16x - 12$. Стационарная точка имеет значение производной $\dfrac{dy}{dx} = 0$: здесь это $3x^2 - 16x - 12 = (3x+2)(x-6)$, следовательно, $x = -\tfrac23$ или $x = 6$. Различайте максимум и минимум по форме графика: кубическая функция с положительным с положительным $x^3$ коэффициентом возрастает–убывает–возрастает... здесь $y \to -\infty$ как $x \to -\infty$, поэтому левая стационарная точка $x = -\tfrac23$ является максимумом ($y = \tfrac{247}{27} \approx 9.1$) and the right one is the minimum ($y(6) = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$).

Разобранный пример (1HR Июнь 2024 Q19, адаптировано). $C$ имеет уравнение $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ и ровно две стационарные точки $A$ и $B$ с $x_A > x_B$; найдите $A$. Продифференцируйте и приравняйте к нулю: $(3x+2)(x-6) = 0$, а больший корень равен $x = 6$. Подставив в уравнение кривой: $y = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$, следовательно $A = (6, -139)$. Баллы начисляются последовательно — дифференцирование (минимум два верных члена), приравнивание к нулю, решение квадратного уравнения, обратная подстановка.

Кинематика: если перемещение составляет $s$ метров через $t$ секунд, скорость является скоростью изменения перемещения, а ускорение — скоростью изменения скорости: $v = \dfrac{ds}{dt}$, $\quad a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$. Для $s = t^3 - 24t$ (метры, $0 \le t \le 20$): $v = 3t^2 - 24$ м/с и $a = 6t$ м/с². Частица мгновенно покоится там, где $v = 0$: $t = \sqrt{8} = 2.83$ с (3 зн. цифр).

• Генерировать последовательности по правилам от члена к члену и от позиции к члену; найти правило целочисленной последовательности (F 3.1 A–B).
• Суммировать арифметическую прогрессию с использованием $u_n = a + (n-1)d$, включая алгебраические члены (H $a$ C; Июнь $d$ 3.1HR Q3.1).
• Вычислить сумму арифметической прогрессии с $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$, включая алгебраические члены (H 3.1 C; июнь 2024 1HR Q23).
• Использовать нотацию $f(x)$ и $f{:}\,x\mapsto$; указывать области определения с исключениями и множества значений (H 3.2 A–C).
• Построить $\mathrm{fg}(x)$ → $g$ сначала — и найти $f^{-1}$ на однозначной области определения (H 3.2 D; июнь 2024 2HR Q17).
• Читать, строить и интерпретировать графики во всех квадрантах: середины отрезков, графики конвертации, графики расстояния/скорости–времени, таблицы значений (F 3.3 A–I).
• Градиенты по двум точкам; $y = mx + c$; уравнения параллельных и перпендикулярных прямых, проходящих через точку (H 3.3 G–H, H 3.3 F–G; Июнь 2024 2HR Q21).
• Распознавать и чертить кубические функции, гиперболы, $\sin/\cos/\tan$ и окружность с центром в начале координат $x^2+y^2=r^2$ (H 3.3 A).
• Применять и считывать четыре преобразования $f(x)+a$, $f(x+a)$, $af(x)$, $f(ax)$ (H 3.3 B–C).
• Оценивать градиент кривой, проводя касательную (H 3.3 D).
• Решать пересечения линейных и нелинейных функций методом $y_2 - y_1 = 0$ и проверять подстановкой (H 3.3 E; Июнь 2024 2HR Q22).
• Дифференцировать целые степени; находить стационарные точки; классифицировать максимум/минимум по форме графика (H 3.4 A–D; Июнь 2024 1HR Q19).
• Применять математический анализ к движению: $v = ds/dt$, $a = dv/dt$, а «покой» означает $v = 0$ (H 3.4 E).

Ограничения программы: геометрическая прогрессия и сумма до бесконечности исключены на этом уровне (нет геометрических рядов в 4MA1 3.1); дифференцирование ограничено целыми степенями $x$ — правило сложной, произведения и частного исключены; радианная мера исключена (используются только градусы). Кандидаты уровня Foundation изучают только 3.1 и 3.3. Разобранные примеры выше адаптированы из проверенной пары Higher за Июнь 2024 (см. доказательство оценки в мета-данных); все остальные вопросы на листах являются оригинальными.