1 · Numbers and the number system

4MA1 тема 1 (спецификация Issue 2, ноябрь 2017) является сердцем количества квалификации: строки Foundation от 1.1–1.11 охватывают целые числа и четыре правила через дроби, десятичные дроби, степени, множества, проценты, отношения, границы и стандартный вид до повседневной работы с числами; Higher добавляет перевод периодических дробей, корни, алгебраические множества, повторяющееся процентное изменение и задачи на границы. На работах за июнь 2024 этот раздел предоставил обратный процент (2HR Q8), стандартный вид (2HR Q9), доказательство периодической дроби (2HR Q18), умножение верхней границы (2HR Q19), рационализацию корней (1HR Q17 семейство) и простые множители с областями Венна (1HR Q11 семейство).

Обязательно знать для темы 1:

Целые числа включают положительные, отрицательные и ноль; разрядное значение определяет стоимость каждой цифры. Направленные числа встречаются в практических ситуациях (температура, долг, уровень моря); упорядочивание помещает их на числовой прямой. Четыре правила с отрицательными числами: одинаковые знаки складывают, разные знаки вычитают, два минуса дают плюс. Скобки, затем степени, затем деление/умножение, затем сложение/вычитание** (BIDMAS): $3 + 4 \times 2^2 = 3 + 16 = 19$, тогда как $(3 + 4) \times 2 = 14$. Нечётные, чётные, простые числа (ровно два делителя), делители и кратные классифицируют целые числа; общие делители и общие кратные приводят к НОД и НОК.

Эквивалентные дроби сокращаются или расширяются: $\tfrac{8}{12} = \tfrac23$. Смешанные числа и обыкновенные дроби преобразуются делением с остатком. Общий знаменатель позволяет упорядочивать, сравнивать, складывать и вычитать дроби: $\tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{4}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{7}{12}$. Дробь Дробь от количества умножает: $\tfrac34$ от 48 равно 36; выражение одного числа как дроби другого делит ($7$ как дробь от $28$ равно $\tfrac14$). Умножение дробей умножает числители и знаменатели; деление умножает на обратную величину — единичные дроби как мультипликативные обратные ($\tfrac13$ отменяет $3$). Дроби преобразуются в десятичные (делением) и проценты (умножением на 100).

Периодические дроби (повышенный уровень) переводятся в алгебраическую форму: пусть $x = 0.306306\ldots$; then $1000x = 306.306\ldots$; subtracting, $999x = 306$, so $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$ (июнь 2024 2HR Q18). Окончательная десятичная дробь — это дробь со знаменателем, являющимся степенью десяти.

Разрядное значение десятичной дроби включает десятые, сотые, тысячные; упорядочивание сравнивает сначала наиболее значащих цифр сначала. Квадратные числа ($1, 4, 9, \ldots$), кубы чисел ($1, 8, 27, \ldots$), их корни и показательная запись с the multiplication and division laws for positive integer powers: $2^3 \times 2^4 = 2^7$ and $2^7 \div 2^3 = 2^4$. Every integer factors into primes: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$; Июнь 2024 1HR Q11 разлагает большие числа на простые множители и читает произведения областей из диаграммы Венна ($19600 = 2^4 \times 5^2 \times 7^2$). Это НОД берёт наименьшую степень каждого общего простого множителя; НОК берёт наибольшую степень каждого простого множителя: для $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ и $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$, НОД $= 2^2 \cdot 3 = 12$ и НОК $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$.

Иррациональный корень — это точный иррациональный корень, например $\sqrt2$. Упрощается путём извлечения квадратов: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$, используя $\sqrt{ab} = \sqrt a\, \sqrt b$. Adding needs like surds: $3\sqrt2 + 5\sqrt2 = 8\sqrt2$, but $\sqrt2 + \sqrt3$ не упрощается.

Избавление от иррациональности в знаменателе убирает корень умножением числителя и знаменателя на сопряжённое выражение — разность квадратов устраняет его полностью. Разобранный пример: $\dfrac{5}{3 - \sqrt2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{(3 - \sqrt2)(3 + \sqrt2)} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{9 - 2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{7}$; and $\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. Июнь 2024 1HR Q17 семейство задач по избавлению от иррациональности в знаменателе построено из $2 - \sqrt3$ до ответа семейства $\tfrac{7(2 + \sqrt3)}{4}$ — поскольку $(2 - \sqrt3)(2 + \sqrt3) = 1$, множитель $(2 + \sqrt3)$ устраняет корень точно.

Множество — это совокупность элементов: $A = \{2, 4, 6, 8\}$. Обозначение: $\cup$ (объединение, элементы любого из множеств), $\cap$ (пересечение, элементы обоих множеств), $\in$ и $\notin$ (принадлежность). Универсальное множество $\mathcal{E}$ содержит всё, что обсуждается; пустое множество $\emptyset$ не содержит элементов; ** дополнение $A'$ включает всё из $\mathcal{E}$ вне $A$. Диаграммы Венна отображают области — на повышенном уровне с алгебраическими множествами, подмножества ($B \subset A$: каждый элемент $B$ принадлежит $A$), количество элементов $n(A)$, и практическое применение (опросы, области простых множителей). Июнь 2024 1HR Q11 семья размещает простые множители двух чисел в диаграмму Венна с двумя множествами и считывает произведения, например, $AB$, $A^2$ и $B^2$ из объединённых областей — НОК является произведением пересечения, а НОК произведением всех элементов.

Процент означает части на 100: $35\% = 0.35 = \tfrac{7}{20}$. Проценты действуют как множители: увеличение на $12\%$ означает $\times 1.12$; уменьшение на $20\%$ означает $\times 0.8$. Обратный процент делит конечное значение на множитель — июнь 2024 2HR Q8: холодильник стоимостью 6225 рупий после снижения цены на $17\%$% первоначально стоил $\tfrac{6225}{0.83} = 7500$ рупий. Сложные проценты и амортизация применяются повторно к множителю: $A = P\left(1 \pm \tfrac{r}{100}\right)^n$ — £2000 при ставке 3% сложный процент за 4 лет возрастает до $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$; автомобиль стоимостью £12000 амортизируется на 15% ежегодно в течение 3 лет и снижается до $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

Отношение сравнивает части: упрощается делением ($45 : 60 = 3 : 4$); разделение по $\tfrac{\text{parts}}{\text{total}} \times \text{amount}$ — £350, разделённых в соотношении $2 : 5$, даёт значения $\tfrac27 \times 350 = £100$ и $\tfrac57 \times 350 = £250$. Пропорция масштабирует величины внутри или между ними: метод единицы находит стоимость одной единицы сначала (7 ручек стоят £4.20, значит одна ручка стоит £0.60, а 12 ручек стоят £7.20); величины в прямой пропорции изменяются одинаково ($y = kx$). Текстовые задачи сочетают отношения с дробями и процентами — сохраняйте единицы измерения явно и проверяйте, чтобы ответ был разумным.

Округляйте целые числа до степеней десяти и десятичные дроби до значащих цифр или знаков после места: $3.4617 \to 3.5$ (2 з.ч.) и $3.46$ (2 д.п.). Точное значение имеет границы — 19 до ближайшего целого означает $18.5 \le v < 19.5$ — верхняя граница 19.5 и нижняя граница 18.5. Оценочные вычисления округляют каждое число до 1 s.f. first: $\tfrac{4.12 \times 29.8}{0.187} \approx \tfrac{4 \times 30}{0.2} = 600$. Задачи на границы (повышенный уровень) выбирают экстремумы, требуемые вопросом — Июнь 2024 2HR Q19: расстояние $=$ скорость $\times$ время со скоростью $19$ км/ч до ближайшего целого (так что ВГ $19.5$) и временем $1.5$ ч до 1 д.п. (так что ВГ $1.55$): верхняя граница расстояния равна $19.5 \times 1.55 = 30.2$ км (3 зн.ч.).

Стандартный вид записывает $a \times 10^n$ через $1 \le a < 10$: $604000 = 6.04 \times 10^5$ and $0.00007 = 7 \times 10^{-5}$ (Июнь 2024 2HR Q9). Показатели степени складываются и вычитание при умножении и делении чисел в стандартной форме, а также клавиша $\times 10^{\wedge}$ калькулятора сохраняет точность вычислений.

Повседневные числа — деньги, расписания, показания приборов — используют ту же арифметику с присоединёнными единицами стандартными: масса (кг, г), длина (км, м, см, мм), площадь, объём, время (от секунд до лет, часы с 12- и 24-часовыми циклами) и переводы между ними; научный ($1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2$; $1\ \text{litre} = 1000\ \text{cm}^3$). A калькулятор правильно применяет порядок операций, но раннее округление теряет точность: сохраняйте полную точность на протяжении всего вычисления и округляйте только финальный ответ до требуемой точности.

• Целые числа, упорядочивание, направленные числа, четыре правила, BIDMAS, нечётные, чётные, простые, делители и кратные (F 1.1 A–H).
• Эквивалентные дроби, смешанные числа, общий знаменатель, дробь от величины, обратные числа, преобразования между дробями, десятичными и процентами (F 1.2 A–H).
• Периодические десятичные дроби в обыкновенные дроби с помощью алгебры (H 1.3 A; Июнь 2024 2HR Q18).
• Десятичные дроби: разрядное значение, упорядочивание, конечные десятичные дроби как обыкновенные (F 1.3 A–E).
• Квадраты, кубы, корни, законы показателей, разложение на простые множители, НОД и НОК (F 1.4 A–E; Июнь 2024 1HR Q11 family).
• Иррациональные числа: упрощение, сложение подобных иррациональных чисел, рационализация с сопряжёнными (H 1.4 A–B; Июнь 2024 1HR Q17 family).
• Множества: нотация, универсальное/пустое/дополнение, диаграммы Эйлера-Венна; множества для продвинутого уровня, n(A), алгебраические и практические множества (F 1.5 A–E, H 1.5 A–D).
• Проценты: множители, процент от величины, увеличение/уменьшение, обратная задача, сложные проценты и амортизация (F 1.6 A–G, H 1.6 A–B; Июнь 2024 2HR Q8).
• Пропорция в наименьших целых числах, распределение, прямая пропорциональность, текстовые задачи (F 1.7 A–E).
• Округление до степеней десятки, значащих цифр и знаков после запятой; определение границ и решение задач с границами при выборе крайних значений; оценка по 1 значащим цифрам (F 1.8 A–D, H 1.8 A; Июнь 2024 2HR Q19).
• Переводы и арифметика в стандартном виде (F 1.9 A, H 1.9 A; Июнь 2024 2HR Q9).
• Повседневные вычисления, стандартные единицы и переводы, расчёты времени, дисциплина при работе с калькулятором (F 1.10 A–C, F 1.11 A).

Граничные замечания: дробные, отрицательные и нулевые показатели за рамками законов умножения и деления относятся к теме 2; графики пропорции относятся к темам 2 и 4; составные величины (скорость, плотность, давление) относятся к теме 4. Кандидаты базового уровня выполняют только строки базового уровня. Разобранные примеры адаптированы из проверенных материалов по экзаменам Июня 2024 или являются авторскими; вопросы листов — оригинальные, если не указано иное. или оригинал; вопросы на листах являются оригинальными, если не помечены иначе.