Последовательности, ряды и рекуррентность · Углублённый уровень
Введено| English | Значение |
|---|---|
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | Общий знаменатель |
Изменение складывается или умножается?
- План накопления добавляет ¥30 каждую неделю; модель роста населения увеличивается на 5% ежегодно. Равные разности и равные отношения требуют разных моделей.
- Этот урок посвящён общему отношению: постоянному множителю между последовательными членами геометрической прогрессии.
Выберите математическую структуру
- Для арифметической прогрессии u_n=a+(n-1)d и S_n=n(2a+(n-1)d)/2. Для геометрической прогрессии u_n=ar^(n-1) и S_n=a(1-r^n)/(1-r). Бесконечная геометрическая сумма существует только если |r|<1.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Бесконечная геометрическая прогрессия имеет конечную сумму только при выполнении какого условия?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Члены ar^(n-1) стремятся к нулю только тогда, когда |r|<1, поэтому сумма сходится к a/(1-r). При |r|≥1 члены не убывают, и сумма расходится.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Для a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 и S_8=8(10+21)/2=124. Для a=12, r=1/2, сумма бесконечного ряда S_∞=12/(1-1/2)=24. Для рекуррентности u_(n+1)=2u_n+1 при u_1=1, следующие члены равны 3,7,15.
Последовательности, ряды и рекуррентность
Для арифметической прогрессии u_n=a+(n-1)d и S_n=n(2a+(n-1)d)/2
Сравните модель с разобраным примером и объясните одно изменение.
При a=5, d=3 найдите u_8.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₈=5+(8-1)×3=26.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Первый член имеет индекс 1, поэтому показатель степени равен n-1. Последовательность — это список; ряд — это сумма. Геометрическая последовательность может чередовать знаки и при этом сходиться.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Каждый геометрический ряд имеет конечную сумму бесконечности. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или допущение оно нарушает.
Найдите сумму первых 8 членов при a=5, d=3.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
S₈=8[2×5+7×3]/2=124.
Каждый геометрический ряд имеет конечную сумму к бесконечности.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Первый член имеет индекс 1, поэтому показатель степени равен n-1. Последовательность — это список; ряд — это сумма. Геометрическая последовательность может чередовать знаки и всё равно сходиться.
Интерпретируйте новую ситуацию
- Объясните, оправдывает ли контекст аддитивные или мультипликативные изменения. В финансах различайте единый взнос и поток взносов перед выбором формулы суммы.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Найдите бесконечную сумму при a=12, r=0.5.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Поскольку |r|<1, S∞=12/(1-0.5)=24.
Соотнесите каждую формулу с величиной, которую она определяет.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Арифметические последовательности прибавляют постоянную разность; геометрические умножают на постоянный коэффициент; лишь убывающий коэффициент дает конечную бесконечную сумму.
Примените это в своем курсе
- 4MA1 · Higher · 3. Соотнесите целевой уровень и спецификацию перед назначением дополнительных заданий.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Постоянный множитель между последовательными членами геометрической последовательности. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.