Координатная геометрия и касательные · Повышенный уровень
Введено| English | Значение |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | Угловой коэффициент |
Как наклон пути превращается в уравнение?
- Путь поднимается на 6 метров при горизонтальном смещении на 3 метров. Его градиент связывает диаграмму с уравнением.
- Этот урок посвящён градиенту: изменению y, делённому на соответствующее изменение x.
Выберите математическую структуру
- Прямая через (x₁, y₁) с градиентом m имеет уравнение y-y₁=m(x-x₁). Параллельные прямые имеют равные градиенты. Конечные перпендикулярные градиенты в произведении дают -1. Уравнение окружности: (x-a)²+(y-b)²=r².
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Две непараллельные прямые перпендикулярны. Что верно для их угловых коэффициентов?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Перпендикулярные угловые коэффициенты удовлетворяют условию m₁m₂=-1: каждый является противоположным обратным значением другого. Равные угловые коэффициенты дают параллельные прямые.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Через точку (2,5) с угловым коэффициентом 3: y-5=3(x-2), откуда y=3x-1. Перпендикуляр, проходящий через ту же точку, имеет уравнение y-5=-(x-2)/3. Уравнение окружности (x-2)²+(y+1)²=25 имеет центр (2,-1) и радиус 5.
Координатная геометрия и касательные
Прямая, проходящая через точку (x₁,y₁) с угловым коэффициентом m, задаётся уравнением y-y₁=m(x-x₁).
Сравните модель с разобраным примером и объясните одно изменение.
Найдите наклон через точки (1,2) и (4,8).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Градиент = (8 - 2) / (4 - 1) = 6 / 3 = 2.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Вертикальная прямая не имеет конечного градиента; не пытайтесь привести её к виду y=mx+c. Внимательно следите за знаками координат центра окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Перпендикулярные непараллельные вертикальным прямым всегда имеют одинаковые градиенты. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или допущение оно нарушает.
Найдите точку пересечения с осью y для уравнения y-5=3(x-2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Раскройте y - 5 = 3(x - 6), получаем y = 3x - 1; точка пересечения с осью Oy равна -1.
Перпендикулярные непараллельные вертикали прямым линиям всегда имеют равные угловые коэффициенты.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Вертикальная прямая не имеет конечного углового коэффициента; не пытайтесь представить её в виде y=mx+c. Внимательно следите за знаками координат центра окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Интерпретируйте новую ситуацию
- Перед решением задачи о пересечении прямой и окружности предскажите, будет ли ноль, один или два пересечения. Метод подстановки даёт квадратное уравнение, дискриминант которого подтверждает прогноз.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Найдите радиус окружности (x-2)²+(y+1)²=25.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Радиус равен положительному квадратному корню из 25, а именно 5.
Соотнесите каждый элемент функции y=mx+c с его значением.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Угловой коэффициент определяет крутизну, а точка пересечения — положение; прямые с одинаковыми угловыми коэффициентами и разными точками пересечения никогда не пересекаются.
Примените это в своем курсе
- 4MA1 · Higher · 3. Соотнесите целевой уровень и спецификацию перед назначением дополнительных заданий.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Изменение y, делённое на соответствующее изменение x. Установите связь, покажите метод, проверьте допущения и интерпретируйте результат.