GRE Subject Test · GRE Physics · Tópico 37
Uma mudança de energia de primeira ordem nula pode coexistir com um estado alterado e uma mudança de ordem superior não nula.
Pré-requisitos: 5, 24.
| English | Português |
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| first-order energy shift/fɜːst ˈɔːdə ˈenədʒi ʃɪft/ | correção de primeira ordem na energia |
| degenerate perturbation theory/dɪˈdʒenəreɪt pətəˈbeɪʃn ˈθɪəri/ | teoria de perturbação degenerada |
| degenerate subspace/dɪˈdʒenəreɪt ˈsʌbspeɪs/ | Subespaço degenerado |
Seja H=H₀+λW, onde λ é um parâmetro adimensional pequeno e os autovetores de H₀ são conhecidos e normalizados. Para um nível não degenerado n, a correção de energia de primeira ordem é λ⟨n|W|n⟩. No espaço posicional, isso é λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx para um potencial multiplicativo, com integração sobre o domínio permitido. Um valor de potencial em um ponto não é um valor esperado; a densidade de probabilidade do estado pondera todo o domínio. Para um poço infinito 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). A reflexão em seu centro torna ⟨x⟩=L/2, logo um potencial adicionado fraco γx tem deslocamento γL/2 para todos os níveis de poço não degenerados à primeira ordem. γ tem unidades de energia por comprimento.
Para uma perturbação ímpar em relação ao centro, como γ(x−L/2), a densidade de probabilidade de um estado próprio do poço não perturbado é par, fazendo com que sua expectativa diagonal se anule. Uma perturbação quadrática centrada η(x−L/2)², por outro lado, resulta em um deslocamento ηL²[1/12−1/(2π²n²)], que é positivo para η>0 e depende de n. A paridade torna a integral de primeira ordem zero apenas para a simetria específica do estado e do operador. Elementos matriciais fora da diagonal ainda podem alterar a função de onda. Não transforme o cancelamento de simetria em afirmação de que toda correção de energia desaparece ou que o estado original permanece exato.
Para um estado não degenerado, a mistura dominante de outro estado sem perturbação m é proporcional a λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). Portanto, a condição útil de pequenas magnitudes compara elementos de matriz de acoplamento com as separações de nível relevantes, não apenas com um zero de energia absoluto arbitrário. À segunda ordem, a correção de energia contém Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). Para o estado não degenerado mais baixo, todos esses denominadores são negativos, logo a correção de segunda ordem é não positiva neste modelo. Próximo a uma degenerescência, um denominador pequeno invalida a expansão não degenerada; use um subespaço acoplado em vez de dividir por zero.
Se um nível de H₀ for exatamente degenerado, escolha uma base ortonormal dentro desse subespaço e forme a matriz hermitiana da perturbação ali. Seus autovalores são os deslocamentos de energia de primeira ordem, e seus autovetores especificam as combinações que diagonalizam a separação principal. Para um subespaço de dois estados com perturbação ε[[2,1],[1,2]], as combinações simétrica e antissimétrica normalizadas têm deslocamentos 3ε e ε. Ler apenas as duas entradas diagonais preveria incorretamente dois deslocamentos de 2ε. Um múltiplo escalar comum da identidade desloca ambos os estados igualmente e não divide sua degenerescência; acoplamentos fora do subespaço podem importar na ordem superior.
Um subespaço degenerado requer diagonalização matricial antes dos deslocamentos de primeira ordem. Suponha que a perturbação restrita a dois estados seja $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.
Use pesos de estado normalizados, mantenha as unidades da perturbação e diagonalize um bloco degenerado. Cancelamento de primeira ordem e invariância exata são afirmações diferentes.
deslocamento de energia de primeira ordem: Correção principal da perturbação fraca dada pelo valor esperado do estado não perturbado.
teoria de perturbação degenerada: Método que primeiramente diagonaliza a perturbação dentro de um subespaço degenerado não perturbado.
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