TS.5 · Quantum occupations and limits of equipartition

Um nível de energia fermiônico pode conter várias partículas quando possui vários estados distintos; a regra de exclusão aplica-se por estado completo.

Pré-requisitos: 20, 35, 38.

• Calcular a ocupação média por estado quântico completo para férmions e bósons
• Contar as ocupações permitidas de partículas idênticas e identificar o limite clássico diluído
• Comparar a capacidade térmica de modo quadrático clássico com a resposta de um oscilador quântico

Para partículas não interagentes em equilíbrio térmico e de troca de partículas, use potencial químico μ e x=(ε−μ)/(kBT). A ocupação média de um estado completo é n_F=1/(e^x+1) para férmions e n_B=1/(e^x−1) para bósons. A ocupação férmionica desse estado é zero ou um; sua média fica entre eles. A ocupação bosônica pode exceder um. Um nível com degenerescência g tem total médio g vezes a ocupação por estado quando seus estados compartilham a mesma energia. Conte o spin como parte de um estado completo. O denominador de Bose exige ε>μ para a expressão finita ordinária, com o limite do estado fundamental tratado separadamente. Para fótons em equilíbrio μ=0 porque o número de fótons não é conservado; não defina μ=0 para todo gás de partículas materiais.

Conte os padrões de ocupação em vez de rotular partículas idênticas. Dois férmions idênticos distribuídos entre quatro estados completos distintos têm choose(4,2)=6 padrões permitidos. Dois bósons idênticos entre esses estados têm choose(4+2−1,2)=10 padrões porque ambos podem compartilhar um mesmo estado. Duas partículas distinguíveis rotuladas teriam 4²=16 atribuições. Estes são modelos de contagem diferentes, não três respostas intercambiáveis para a mesma especificação. Se uma questão fornecer degenerescência de spin, primeiro decida se o número declarado conta estados completos ou apenas níveis orbitais. A proibição de Pauli sobre dois estados completos idênticos não proíbe férmions de spin oposto em uma mesma orbital espacial.

Quando x é grande e positivo, a ocupação é pequena e ambos os denominadores são dominados por e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), o limite diluído de Maxwell–Boltzmann. Em x=ln4, as médias são 1/5 para férmions, 1/3 para bósons e 1/4 na aproximação clássica; a diferença ainda é significativa. Um grande número total de partículas sozinho não justifica estatísticas clássicas: densidade, temperatura e estados acessíveis controlam a ocupação. Para férmions em baixa T, estados abaixo de μ tornam-se quase ocupados e aqueles acima quase vazios. Em ε=μ, um estado fermiônico tem média meio; inserir esse valor na fórmula de Bose ordinária produziria um denominador divergente e requer tratamento de limite diferente.

A equipartição clássica atribui kBT/2 de energia média a cada termo quadrático independente em um Hamiltonian em equilíbrio. Um gás ideal monoatômico tem três termos translacionais, resultando em U=3NkBT/2 e C_V=3NkB/2. Um oscilador harmônico clássico unidimensional tem termos cinéticos e potenciais, resultando em média kBT e C=kB. Para um oscilador quântico com espaçamento fixo ε=$\hbar$ω, a energia térmica acima do seu ponto zero independente de temperatura é ε/(e^x−1), agora x=ε/(kBT), e C/kB=x²e^x/(e^x−1)². Em alta T, aproxima-se do valor clássico; em baixa T, a excitação congela e C→0. Uma energia de ponto zero ε/2 desloca U mas não C. Contribuições rotacionais/vibracionais moleculares também precisam ter suas escalas de energia verificadas antes de atribuir termos quadráticos clássicos.

O número de ocupação refere-se a um único estado de partícula completa. Para $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

A aproximação diluída clássica dá $e^{-x}=1/4$; ela não é exata aqui. Um nível g-plego tem ocupação total média $g\bar n$, então um nível fermiônico pode conter mais de uma partícula enquanto cada estado completo ainda obedece à exclusão.

Exclua dois férmions de um estado completo, não de todo um nível de energia degenerado. Indique qual x é usado; ocupações de potencial químico e fórmulas de excitação de oscilador fixo são modelos diferentes.

ocupação média: Valor médio do ensemble do número de partículas em um estado quântico completo ou grupo especificado de estados.

equipartição: Regra clássica de equilíbrio que atribui kBT/2 a cada termo hamiltoniano quadrático independente.