CM.4 · Constraints, variational equations and cyclic coordinates

A tração de um pêndulo muda durante o balanço, mas sua equação angular pode ser derivada sem resolver para a tração.

Pré-requisitos: 1, 47.

• Derivar o movimento de Euler–Lagrange após impor uma restrição holonômica
• Usar uma coordenada cíclica para identificar o momento canônico conservado
• Linearizar um equilíbrio estável e verificar a frequência resultante

Uma restrição remove uma coordenada independente antes de formar a energia cinética. Para um pêndulo de comprimento fixo, escolha θ a partir da vertical descendente: x=l sinθ e y=−l cosθ. Diferenciar ambas as coordenadas dá v²=l²θdot², não l² sin²θ θdot². Logo, T=ml²θdot²/2 e V=mgl(1−cosθ), com potencial zero no fundo. O comprimento fixo é uma restrição holonômica: é uma relação entre coordenadas e possivelmente tempo. Uma restrição de velocidade de rolagem precisa de análise própria; não trate automaticamente toda restrição como substituição de coordenada.

Para restrições ideais e sistemas conservativos usuais, a equação de ação estacionária é d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 com L=T−V. As variações se anulam nos dois extremos temporais. Um pêndulo dá ∂L/∂θdot=ml²θdot e ∂L/∂θ=−mgl sinθ, então ml²θddot+mgl sinθ=0. A derivada do momento age sobre todo fator dependente do tempo: para raio variável, d(mr²θdot)/dt contém 2mr rdot θdot. O método variacional não significa que a energia mecânica seja conservada em um sistema dependente do tempo.

Para movimento central plano, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). O ângulo θ é cíclico porque L não tem dependência explícita de θ, mesmo que L dependa de θdot. Seu momento canônico pθ=mr²θdot é constante. A equação radial é m rddot=mrθdot²−dV/dr. O primeiro termo é parte da aceleração da coordenada, não uma nova força real externa em um referencial inercial. A conservação de pθ faz a velocidade angular aumentar conforme r diminui; velocidade angular constante é uma situação diferente, acionada externamente.

Perto de um equilíbrio estável q0, expandir V até segunda ordem e usar inércia local constante M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Então a frequência de deslocamento pequeno é sqrt(V″/M). Para um pêndulo sinθ≈θ em radianos, ω=sqrt(g/l); a aproximação requer amplitude pequena. Um V″ negativo dá instabilidade, não uma oscilação com frequência imaginária mensurável. Verifique a equação não linear completa primeiro, depois declare a aproximação e compare unidades: V″/M deve ter unidades de inverso do quadrado do tempo.

Para um comprimento de pêndulo fixo l, use theta a partir da vertical descendente: x = l sin theta, y = -l cos theta. Ambas as velocidades cartesianas resultam em $T=ml^2\dot\theta^2/2$ e $V=mgl(1-\cos\theta)$. A equação de Euler-Lagrange é

Divida por $ml^2$ antes de linearizar: A aproximação usa radianos. As variações dos pontos finais anulam-se na derivação da ação estacionária.

Uma coordenada cíclica está ausente em L em si; sua velocidade não precisa estar ausente. Não descarte a derivada temporal de um fator r² variável.

restrição holonômica: Uma restrição escrita como uma relação entre coordenadas e tempo.

coordenada cíclica: Ausente do L próprio, então seu momento canônico é conservado.