A integração por partes vem da regra do produto: ∫u dv=uv−∫v du. Para integrais definidas, inclua o termo de fronteira em ambas as extremidades. Com I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt, escolha u=(ln t)^n e dv=dt. Para n≥1, o limite inferior se anula, resultando em I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). Um sinal mais violaria a identidade diferenciada. Mantenha o mesmo limite inferior em uma recorrência; alterá-lo muda as constantes.
Para integrais impróprias, aplique primeiro a identidade em extremidades finitas, depois justifique o limite de fronteira e a integral restante. Se ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π, defina u=x e dv=x e^(−x²)dx para ∫x²e^(−x²)dx. Como v=−e^(−x²)/2 e x e^(−x²)→0 em ambos os infinito, o momento completo é √π/2. A paridade fornece o momento do semieixo positivo √π/4. A fronteira que se anula faz parte do argumento, não uma propriedade automática de toda integral imprópria.
Para inverter ∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx, descreva o triângulo 0≤x≤y≤1, reescreva-o como ∫₀¹integral de 0 até y F(x,y)dx dy. Tanto o intervalo externo quanto os limites internos mudam; trocar apenas os símbolos altera a região. Para F=e^(y²), integrar em x primeiro resulta em ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2. A continuidade neste triângulo compacto torna a inversão de ordem válida; casos singulares ou condicionalmente convergentes exigem maior cuidado.
Se uma função integrável em [a,b] satisfaz f(a+b−x)=−f(x), a reflexão torna sua integral igual à sua negativa, logo zero. Para sin(2mx)/sin x em [0,π] com m inteiro positivo, a reflexão x↦π−x inverte o sinal do numerador e preserva o denominador. As supostas singularidades nas extremidades são removíveis: os limites são 2m em zero e −2m em π. Verifique esses limites antes de invocar simetria; cancelamento não substitui a integrabilidade.
