A.7 · Fatoração LU e nulidade de composições

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Operações elementares, sistemas triangulares e posto-nulidade.

• Resolver um sistema linear fatorado por substituição direta e regressiva
• Aplicar permutações de linhas consistentemente quando o pivô exige
• Limitar a dimensão do núcleo de uma composição usando interseções imagem-núcleo

substituição direta: Resolver um sistema triangular inferior partindo da primeira equação para baixo.

nulidade: A dimensão do núcleo de uma aplicação linear.

Uma factorização A=LU expressa uma matriz quadrada como triangular inferior L e triangular superior U. Com diagonal unitária em L, a substituição direta é especialmente simples. Uma matriz invertível pode não admitir esta forma sem trocas de linhas: um pivô principal nulo pode exigir uma permutação. Para PA=LU, resolva Ly=Pb, depois Ux=y. A permutação atua tanto no lado direito quanto na matriz de coeficientes. Pivôs principais não nulos justificam a eliminação usual sem troca, não apenas a invertibilidade sozinha.

Em Ly=b, calcule y de cima para baixo, subtraindo termos já conhecidos; divida pelo elemento diagonal atual a menos que seja um. Em Ux=y, calcule x de baixo para cima. Para cada equação, substitua de volta na linha original como verificação. Reutilizar LU para muitos lados direitos evita repetir a eliminação: a factorização densa requer trabalho de ordem cúbica na dimensão, enquanto cada resolução triangular requer trabalho de ordem quadrática. A aritmética exata pode verificar exemplos pequenos; o pivô numérico reduz alguns problemas de arredondamento, mas não elimina a mal-condição inerente.

Para B:V→W e A:W→Z, ker B está contido em ker(A∘B), mas o último pode ser maior. Vetores extras são aqueles mapeados por B para dentro de ker A. Restrinja B a ker(A∘B): sua imagem é im B∩ker A e seu núcleo é ker B. Rank-nullity nesta aplicação restrita dá dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A). A interseção, não todo o núcleo de A, determina a nulidade extra.

Para endomorfismos de R⁶ com nulidade A=2 e nulidade B=3, posto B=3 e a dimensão da interseção pode variar de 0 a 2. Assim a nulidade de A∘B varia de 3 a 5. Limites dependem do espaço intermediário comum: para subespaços de dimensões r e s em um espaço de dimensão m, sua interseção tem dimensão entre max(0,r+s−m) e min(r,s). Inverter a composição pode alterar sua nulidade, mesmo que AB e BA estejam ambos definidos. Escolha espaços compatíveis antes de aplicar estas fórmulas.

Seja L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]], U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]], e b=(−1,−1,12). Substituição direta dá y=(−1,1,8). Substituição retroativa dá x₃=2, x₂=(1−4)/3=−1, e x₁=(−1−(−1)+2)/2=1. Portanto x=(1,−1,2). Multiplicar Ux dá y e multiplicar Ly dá b, verificando independentemente a ordem da fatoração.

Resolva com L primeiro e U segundo, e permute b se PA=LU. A nulidade de uma composição não é automaticamente a soma das duas nulidades; apenas a interseção imagem-núcleo adiciona à nulidade B.

Sejam $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$, $U=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ e $b=(5,12)^T$. Resolva LUx=b e verifique na matriz produto. Para PA=LU, onde P atua ao resolver Ax=b?

Solução resolvida

Primeiro resolva Ly=b: $y_1=5$, $2y_1+y_2=12$, logo $y_2=2$. Então Ux=y resulta em $x_2=1$ e $3x_1+1=5$, portanto $x_1=4/3$. A matriz produto é $A=\begin{pmatrix}3&1\\6&4\end{pmatrix}$; aplicá-la a $(4/3,1)^T$ resulta em $(5,12)^T$. Se PA=LU, multiplique a equação original por P e resolva Ly=Pb, seguido de Ux=y. Omitir P em b resolve um sistema diferente.

Sejam A e B endomorfismos de $\mathbb R^5$ com nulidades dois e três, respectivamente. Encontre todas as possíveis nulidades de AB e justifique tanto o limite quanto sua atingibilidade.

Verificar após tentar

O posto de B é dois. Restrinja B a $\ker(AB)$ para obter

Os dois subespaços na interseção têm dimensão dois em cinco dimensões, então a dimensão da interseção pode ser zero, uma ou duas. Assim, a nulidade é 3, 4 ou 5. Para realizar cada caso, tome $\ker A=\operatorname{span}(e_1,e_2)$ e a imagem de B como $\operatorname{span}(e_3,e_4)$, $\operatorname{span}(e_1,e_3)$ ou $\operatorname{span}(e_1,e_2)$. Escolha qualquer B de posto dois sobre essa imagem. Essas construções provam a atingibilidade, não apenas um limite frouxo.