2 · Equations, formulae and identities

4MA1 topic 2 (specification Issue 2, November 2017). Foundation rows 2.1–2.4, 2.6–2.8 are compartilhadas com o Superior; a proporção (2.5) é exclusiva do Superior, e o Superior estende a manipulação para índices fracionários, expansões triplas, frações algébricas, completar quadrados, provas, pares linear-quadráticos e inequações quadráticas. Nos exames Higher de Junho 2024, tópico novamente traz os discriminadores A/A*: equação de índice, prova de decimal periódico, divisão de fração algébrica, completar quadrado com mínimo transformado e uma desigualdade quadrática.

Conhecido obrigatório para o tópico 2 (a folha de fórmulas Higher fornece apenas a fórmula quadrática):

Símbolos representam números desconhecidos em equações ou variáveis em expressões e fórmulas; expressões algébricas seguem as regras generalizadas da aritmética. Uma equação pergunta quais entradas funcionam; uma identidade vale para toda entrada permitida. Notação de índice cobre potências positivas, negativas e zero: $a^3 = a \times a \times a$, $a^0 = 1$, $a^{-1} = \tfrac1a$, e Higher adiciona potências fracionárias: $x^{1/2} = \sqrt{x}$, $x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$, $x^{2/3} = (\sqrt[3]{x})^2$. As leis de índice combiná-las: $x^m \times x^n = x^{m+n}$, $x^m \div x^n = x^{m-n}$, $(x^m)^n = x^{mn}$ — multiplicar significa somar os índices; dividir significa subtrair.

Worked example (2HR June 2024 Q7, adapted). $\dfrac{3^{n-2} \times 3^{n+5}}{3^{3n+10}} = 1$. Same base throughout, so the indices combine: $(n-2) + (n+5) - (3n+10) = 0$, que é $-n - 7 = 0$. Logo $n = -7$. Nunca multiplique os 3s — as bases são iguais, portanto apenas os índices se movem.

Substituição avalia expressões (incluindo valores negativos e fracionários); agrupando termos semelhantes, multiplicando um único termo sobre um parêntese, retirando fatores comuns (factorizar $x^2 + 10x + 24 = (x+6)(x+4)$) e expandir o produto de dois lineares expressões ($(x+8)(x-5) = x^2 + 3x - 40$) fazem parte do kit de ferramentas da Base. Nível Superior amplia a expansão para três parênteses: $(x+2)(x+3)(x-1) = (x^2+5x+6)(x-1) = x^3 + 4x^2 + x - 6$ — expandir primeiro, depois multiplicar e verificar com $x = 0$ (termo independente $-6$).

Use fórmulas de matemática e outros contextos, converta regras descritas em símbolos e deduzir expressões a partir de uma situação. Isolar variável aplica a mesma operação a ambos os lados até que a letra escolhida fique sozinha: de $A = \pi r^2$, $r = \sqrt{A/\pi}$ (raiz positiva — um comprimento); de $v = u + at$, $t = \tfrac{v-u}{a}$.

Casos de Nível Superior posicionam o tema mais profundamente na fórmula. De $V = \tfrac43 \pi r^3$: multiplique por 3, divida por $4\pi$, depois extraia a raiz cúbica: $r = \sqrt[3]{\tfrac{3V}{4\pi}}$. De $T = 2\pi\sqrt{l/g}$: eleve ao quadrado primeiro — $T^2 = \tfrac{4\pi^2 l}{g}$ — então $l = \tfrac{gT^2}{4\pi^2}$. Quando o tema aparece duas vezes, agrupe seus termos antes de fatorizar: $4a + 3 = 5(a - r)$ expande para $4a + 3 = 5a - 5r$, logo $a = 5r + 3$. Verifique toda permutação substituindo números em ambas as versões.

Proporcionalidade (Superior): $y \propto x^n$ significa $y = kx^n$ para uma constante $k$; proporcionalidade inversa $y \propto 1/x^n$ significa $y = k/x^n$. Se $y \propto x^3$ e $y = 24$ quando $x = 2$, então $k = 3$, logo $y = 3x^3$ e $y = 81$ quando $x = 3$. Graficamente, $y = kx$ é uma reta passando pela origem; $y = k/x$ é uma hipérbole — a álgebra e o gráfico devem indicar a mesma história.

Resolva equações lineares com a incógnita de um ou ambos os lados, coeficientes inteiros ou fracionários coeficientes — os passos são sempre expandir, agrupar, dividir: $7(x+3) = 5x + 8$ fornece em $7x + 21 = 5x + 8$, logo $2x = -13$ e $x = -6.5$; a forma fracionária $\tfrac45 x + 3 = \tfrac23$ multiplica tudo por 15: $12x + 45 = 10$, logo $x = -\tfrac{35}{12}$. Monte equações a partir dos dados fornecidos: os três ângulos $a^\circ, (a+10)^\circ, (a+20)^\circ$ de um triângulo somam 180, logo $3a + 30 = 180$ e $a = 50$. Verifique por substituição e mantenha soluções plausíveis para o contexto (uma contagem não pode ser negativa ou fracionária).

Dois sistemas lineares simultâneos resolvem-se exatamente por eliminação ou substituição: para $2x + 3y = 17$ e $3x - 5y = 35$, triple a primeira e dobre a segunda: $6x + 9y = 51$, $6x - 10y = 70$; subtraindo obtém-se $19y = -19$, logo $y = -1$ e $x = 10$. Verifique na outra equação: $3(10) - 5(-1) = 35$. ✓ Graficamente cada equação é uma reta e a solução comum é seu ponto de interseção.

Uma expressão quadrática tem a forma $ax^2 + bx + c$ com $a \ne 0$. Nível Fundamental fatoriza $x^2 + bx + c$; Nível Superior fatoriza qualquer: $6x^2 - 5x - 6 = (3x+2)(2x-3)$ — verifique por expansão ($6x^2 - 9x + 4x - 6$ ✓). Diferença de quadrados: $4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)$.

Frações algébricas: fatorize primeiro, depois cancele fatores inteiros, nunca partes de termos. Simplifique $\dfrac{x^2 + 3x - 10}{x^2 + x - 2} = \dfrac{(x+5)(x-2)}{(x+2)(x-1)}$ — não cancellation here (no shared factor); but $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \dfrac{x-2}{x+3}$. A adição usa um denominador comum; dividir equivale a multiplicar pelo inverso.

Exemplo resolvido (2HR Junho 2024 Q26, adaptado). Escreva $4 - (3x-5) \div \dfrac{3x^2 + x - 10}{4x - 1}$ como uma única fração. Primeiro fatorize o quadrático: $3x^2 + x - 10 = (3x-5)(x+2)$. Dividir por uma fração inverte-a, e o $(3x-5)$ cancela:

Demonstrações (Nível Superior) usam álgebra, não exemplos. A clássica dízima periódica: seja $x = 0.306306\ldots$; então $1000x = 306.306\ldots$, e subtraindo, $999x = 306$, logo $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$. Afirme o que $x$ equivale, multiplique por uma potência de dez que desloque um bloco periódico completo, subtraia, simplifique (Junho 2024 2HR Q18).

Completando o quadrado reescreve $ax^2 + bx + c = a(x + b')^2 + c'$: metade do O coeficiente $x$ indica o deslocamento, dentro do parêntese, com seu sinal invertido. O vértice a forma expõe o mínimo (para $a > 0$) imediatamente: o gráfico de $y = a(x+b')^2 + c'$ é $y = ax^2$ transladado por $(-b', c')$.

Exemplo resolvido (1HR Junho 2024 Q20, adaptado). (a) Escreva $2x^2 - 11x + 9$ na forma $a(x+b)^2 + c$: factorize 2 dos termos de $x$, metade de $-\tfrac{11}{2}$ é $-\tfrac{11}{4}$, portanto

(b) O gráfico de $y = f(x - 3)$ desloca-se $f$ três unidades para a direita, logo o mínimo move-se de $\left(\tfrac{11}{4}, -\tfrac{49}{8}\right)$ to $\left(\tfrac{23}{4}, -\tfrac{49}{8}\right) = (5.75, -6.125)$. Inside the bracket acts on $x$, e o inverso.

Resolvendo equações quadráticas: por fatoração ($x^2 + x - 30 = (x+6)(x-5) = 0$ resulta em $x = -6$ ou $5$); pela fórmula quadrática $x = \tfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ao fatorar falha — para $2x^2 + 6x - 1 = 0$, $x = \tfrac{-6 \pm \sqrt{36+8}}{4} = \tfrac{-3 \pm \sqrt{11}}{2}$; ou completando o quadrado, que resolve e dá o vértice imediatamente. Forme equações a partir do contexto (área, Pitágoras, estilo projétil $h = at^2 + bt + c$), manter respostas exatas, a menos que se diga o contrário, e rejeitar raízes que o contexto proíbe.

Sinais de desigualdade $<, >, \le, \ge$ (formas de duas pontas como $1 < x \le 5$ incluídas) descrever intervalos; círculos abertos e fechados em uma reta numérica marcam excluídos e incluídos extremidades. Resolver uma desigualdade linear espelha movimentos de equação — exceto ao multiplicar ou dividir por um negativo inverte a direção: $7 - x \le 5$ resulta em $-x \le -2$, logo $x \ge 2$.

Desigualdades quadráticas (Nível Superior) exigem os valores críticos, depois o sinal de a parábola entre eles: uma quadrática positiva está acima de zero fora de suas raízes.

Exemplo resolvido (2HR Junho 2024 Q20, adaptado). Resolva $6x^2 - 7x - 20 > 0$. Fatorando: $(3x + 4)(2x - 5) > 0$, logo os valores críticos são $x = -\tfrac43$ e $x = \tfrac52$. A parábola abre para cima — positiva fora das raízes — então $x < -\tfrac43$ ou $x > \tfrac52$, marcados na reta numérica com círculos abertos (os próprios valores fornecem $0$, não $> 0$). Esboce a parábola primeiro; a imagem decide dentro vs. fora.

Pares linear-quadráticos (Superior): substitua a equação linear na quadrática. Para $y = 2x - 11$ com $x^2 + y^2 = 25$: $x^2 + (2x-11)^2 = 25$ resulta em $5x^2 - 44x + 96 = 0$, and by formula $x = \tfrac{44 ± \sqrt{1936 - 1920}}{10} = \tfrac{44 ± 4}{10} = 4.8$ or $4$, giving $(4.8, -1.4)$ and $(4, -3)$; ambos satisfazem o círculo. Para $y = 11x - 2$ com $y = 5x^2$: $5x^2 - 11x + 2 = (5x - 1)(x - 2) = 0$, logo $\left(\tfrac15, 0.2\right)$ e $(2, 20)$. Mantenha ambas as soluções, a menos que o contexto elimine uma.

Regiões (F 2.8 D–E, casos difíceis Superior): numa grade cartesiana, cada desigualdade linear delimita um semiplano; teste um ponto por fronteira (a origem é prática, a menos que desigualdade delimita um semiplano; teste um ponto por fronteira (a origem é prática a menos que ela está em uma fronteira), então sombree a região que satisfaz cada condição — por exemplo $x \ge 0$, $y \ge 1$, $x + y \le 5$ resulta no interior de um triângulo com vértices $(0,1)$, $(0,5)$, $(4,1)$.

• Use símbolos, leis de expoentes (inteiros, depois fracionários/negativos/zero — Nível Superior) e combine expoentes sobre uma mesma base (F 2.1, H 2.1; Junho 2024 2HR Q7).
• Substitua, agrupe termos, expanda parênteses simples e duplos — e Avançado, parênteses triplos — fatore fatores comuns e quadráticos (F 2.2, H 2.2 A–B).
• Derivar, usar e rearranjar fórmulas, incluindo casos de mudança de assunto e potências; montar e resolver proporção direta/inversa (F 2.3, H 2.3, H 2.5).
• Resolver equações lineares a partir de dados e pares exatos simultâneos por eliminação, interpretando o par como retas concorrentes (F 2.4, F/H 2.6).
• Manipular frações algébricas: fatorar, simplificar, denominadores comuns, inverter para dividir (H 2.2 C; Junho 2024 2HR Q26).
• Construir provas algébricas, incluindo conversão de decimais periódicos (H 2.2 E; Junho 2024 2HR Q18).
• Completar o quadrado, ler a forma do vértice e resolver quadráticas por fatoração, fórmula ou quadrado — inclusive a partir de contexto (H 2.2 D, H 2.7 A–C; Junho 2024 1HR Q20).
• Resolver desigualdades lineares e quadráticas com conjuntos solução na reta numérica; identificar regiões delimitadas por desigualdades lineares (F 2.8, H 2.8; Junho 2024 2HR Q20).
• Resolver pares simultâneos linear-quadráticos por substituição, mantendo ambos os pontos (H 2.7 D).

Notas de fronteira: o discriminante como ferramenta e teorema dos fatores estão fora do 4MA1 lista — a resolução usa fatoração, fórmula ou completar o quadrado; radical racionalização aparece no Nível Superior (racionalizar denominadores estilo $\tfrac{7}{4(2-\sqrt3)}$) multiplicando numerador e denominador pelo conjugado, p. ex., para $\tfrac{14+7\sqrt3}{4}$). Nível Básico atinge 2.1–2.4, 2.6–2.8 apenas. Os exemplos resolvidos acima são adaptados da avaliação do par Nível Superior de Junho 2024 (consulte as evidências de avaliação dos metadados); as questões da folha são originais, exceto quando rotuladas.