3 · Sequences, functions and graphs

4MA1 tópico 3 (edição de especificação 2, Novembro 2017). Linhas Básicas 3.1 e 3.3 são compartilhadas com Avançado; o bloco de notação funcional 3.2 e o bloco de cálculo 3.4 são exclusivos do Avançado, e Nível Superior 3.3 estende o trabalho com gráficos para cúbicas, recíprocas, curvas trigonométricas, transformações e interseções. Nas provas de Nível Superior de junho 2024, esta área é a mais pesada dos seis tópicos (cerca de um terço de cada prova) e carrega os discriminadores A/A*: somas de séries algébricas, funções compostas, retas perpendiculares, interseções de reta e curva e pontos estacionários.

Essencial para o tema 3 (Folha de fórmulas Avançada oferece apenas as regras da série e do trapézio):

Uma regra termo-a-termo diz como obter o próximo termo (some 4: 5, 9, 13, 17, …; multiplique por 2: 1, 2, 4, 8, …); uma regra posição-para-termo fornece um termo diretamente de sua posição. Para uma progressão aritmética com primeiro termo $a$ e razão comum $d$, o $n$-ésimo termo é $u_n = a + (n-1)d$: para 1, 3, 5, 7, … a regra é $2n - 1$, e "termo n-ésimo é $4n + 3$" gera 7, 11, 15, … Verifique uma proposta de regra em duas posições antes de confiá-la.

Avançado adiciona a soma de uma série aritmética. Agrupar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, … resulta em $n/2$ pares iguais cujas somas são $a + u_n$:

Para $4+7+10+13+\cdots$: $a=4$, $d=3$, então $S_{50} = 25\,(8 + 49 \times 3) = 25 \times 155 = 3875$. Recovering $a$ and $d$ a partir de dois termos usa a regra do termo como equações simultâneas: se $u_2 = 7$ e $u_5 = 19$, então $3d = 12$, logo $d = 4$ e $a = 7 - 4 = 3$.

Exemplo resolvido (1HR Junho 2024 Q23, adaptado). Três termos consecutivos de uma série aritmética são $4x-14$, $x+2$ e $7x-9$. Termos consecutivos possuem uma diferença comum, portanto $(x+2)-(4x-14) = (7x-9)-(x+2)$, resultando $-3x + 16 = 6x - 11$, logo $x = 3$. Os termos são $-2, 5, 12, \ldots$: $a = -2$, $d = 7$. Então $S_{40} = 20\left[2(-2) + 39 \times 7\right] = 20 \times 269 = 5380$. Keep $a$, $d$ simbólico até a substituição final — a álgebra, não a aritmética, obtém os pontos.

Uma função mapeia cada entrada de um conjunto para exatamente uma saída de outro: escreva $f(x) = \ldots$ ou $f{:}\ x \mapsto \ldots$ O domínio é o conjunto de entradas permitidas; as entradas; a imagem (ou contradomínio) é o conjunto das saídas. Exclua entradas que violam a regra: para $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ exclua $x = 2$; para $f(x) = \sqrt{x}$ utilize $x \ge 0$.

A função composta $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$ aplica primeiro $g$, depois $f$ — a saída de $g$ deve ser uma entrada válida de $f$. A função inversa $f^{-1}$ desfaz $f$ e existe apenas onde $f$ é injetiva: para $f(x) = \sqrt{x-2}$ (domínio $x \ge 2$, imagem $f \ge 0$), escrever $y = \sqrt{x-2}$ e elevar ao quadrado resulta em $x = y^2 + 2$, logo $f^{-1}(x) = x^2 + 2$ no domínio $x \ge 0$. Sempre verifique $f^{-1}(f(x)) = x$.

Exemplo resolvido (2HR Junho 2024 Q17, adaptado). $f(x) = \dfrac{x}{2x-4}$ e $g(x) = 3x+1$; encontre $k$ dado $\mathrm{fg}(k) = 2$. Primeiro $g(k) = 3k+1$, depois

logo $3k+1 = 12k-4$, resultando em $9k = 5$ e $k = \tfrac59$. (Atalho útil: resolver $f(x) = 2$ primeiro dá $x = 8/3$, então defina $g(k) = 8/3$ — mesma resposta com menos álgebra.)

As coordenadas cartesianas nomeiam pontos em todos os quatro quadrantes; um ponto médio é a média das coordenadas finais: $M = \left(\tfrac{x_1+x_2}{2}, \tfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. A declividade de uma reta é a variação em $y$ dividida pela variação em $x$: através de $(1,7)$ e $(2,9)$, a declividade é $2$. Uma reta $y = mx+c$ tem declividade $m$ e intercepta o eixo $y$ em $(0,c)$ — para $y = 3x+5$, declividade 3 e interseção $(0,5)$. Casos especiais: $x = k$ é vertical (sem declividade finita), $y = c$ é horizontal (declividade 0). Gráficos de conversão (moeda, temperatura) são lidos da mesma forma.

A interpretação de gráficos reais faz parte deste bloco: num gráfico distância-tempo, a declividade é velocidade; num gráfico velocidade-tempo, a declividade é aceleração e a área sob o gráfico é distância percorrida. A prática de plotagem cobre preencher tabelas de valores para retas (incluindo formas $ax + by = c$) e quadráticas, desenhando uma curva suave pelos pontos plotados — nunca segmentos de reta entre eles.

Retas paralelas compartilham a mesma declividade. Retas perpendiculares têm declividades cujos produtos resultam em $-1$: perpendicular a $m$ é $-1/m$. A reta que passa por $(x_1, y_1)$ com declividade $m$ é $y - y_1 = m(x - x_1)$.

Exemplo resolvido (2HR junho 2024 Q21, adaptado). $ABCD$ é um quadrado com $A(-5, 2)$ e $B(3, 5)$; encontre a equação de $BC$ na forma $ax + by + c = 0$. Lados adjacentes do quadrado são perpendiculares. A declividade de $AB$ é $\tfrac{5-2}{3-(-5)} = \tfrac38$, logo a declividade de $BC$ é $-\tfrac83$. Passing through $B(3,5)$: $y - 5 = -\tfrac83(x-3)$, therefore $3y - 15 = -8x + 24$, fornecendo $8x + 3y - 39 = 0$. Multiplique no final para que $a$, $b$ e $c$ sejam inteiros, conforme solicitado.

O Exame Superior de 3.3 exige reconhecimento e plotagem de três famílias de curvas além das quadráticas: cúbicas $y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ (qualquer sinal; $y = x^3 - 4x$ sobe-desce-sobe), recíprocas $y = A/x$, $y = A/x^2$, $y = A/x^3$ (duas ramos, assíntotas, nunca cruzam os eixos) e gráficos trigonométricos $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$ para ângulos de qualquer magnitude em graus — seno e cosseno oscilam entre $-1$ e $1$ com período 360°; tangente repete-se a cada 180° e apresenta descontinuidade em $90° + 180°n$. Um círculo centrado na origem tem $x^2 + y^2 = r^2$ — o círculo ingressa neste curso como a segunda curva de uma interseção pergunta.

Quatro transformações de $y = f(x)$ são exigidas, para funções lineares, quadráticas, senoidais e cossenoides:

The inside forms act "backwards" on $x$ and only on $x$. For $f(x) = x^2$: $y = f(x-2)+5 = (x-2)^2 + 5$ moves the minimum from $(0,0)$ to $(2, 5)$; $y = f(2x) = 4x^2$ halves the Valores de $x$, tornando a parábola mais estreita, não mais alta. Para $y = \sin 2x$, o período é reduzido à metade até 180°. Leia uma transformação desenhada no gráfico (para onde foi o ponto de inversão?) e escreva-a algebricamente — ambas as direções são avaliadas.

Declives de curvas: trace uma tangente no ponto e use seu declive como elevação/avanço — mede-se a linha desenhada, não a curva. Declives exatos de curvas exigem cálculo (próxima seção).

Interseções: os valores de $x$ em que uma reta linear $y_1$ encontra uma curva não-linear $y_2$ correspondem às soluções de $y_2 - y_1 = 0$. Pontos de interseção entre $y = 2x+1$ e $y = x^2 + 3x - 2$ resolvem $x^2 + x - 3 = 0$; entre $y = 5$ e $y = x^3 - 3x^2 + 7$, resolva $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$.

Exemplo resolvido (2HR Junho 2024 Q22, adaptado). Encontre onde a reta $y = 3x - 1$ intersecta a curva $x^2 + y^2 = y + 11$. Substitua a reta na curva:

portanto $x = -\tfrac35$ ou $x = \tfrac32$, com $y = 3x-1$ resultando em $y = -\tfrac{14}{5}$ ou $y = \tfrac72$. Os pontos são $\left(-\tfrac35, -\tfrac{14}{5}\right)$ e $\left(\tfrac32, \tfrac72\right)$ — substitua de volta na outra equação para verificar: $\tfrac94 + \tfrac{49}{4} = \tfrac{58}{4} = 14.5 = \tfrac72 + 11$. ✓

O declive de uma curva varia ao longo dela: uma taxa de variação variável. A derivação fornece isso exatamente: para potências inteiras de $x$,

Para $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 16x - 12$. Um ponto estacionário tem $\dfrac{dy}{dx} = 0$: aqui $3x^2 - 16x - 12 = (3x+2)(x-6)$, logo $x = -\tfrac23$ ou $x = 6$. Diferencie máximo de mínimo pela forma do gráfico: um cúbico com coeficiente positivo $x^3$ sobe–desce–sobe... aqui $y \to -\infty$ como $x \to -\infty$, portanto, o ponto estacionário à esquerda $x = -\tfrac23$ é o máximo ($y = \tfrac{247}{27} \approx 9.1$) and the right one is the minimum ($y(6) = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$).

Exemplo resolvido (1HR Junho 2024 Q19, adaptado). $C$ tem equação $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ e possui exatamente dois pontos estacionários $A$ e $B$ com $x_A > x_B$; encontre $A$. Derive e igualando a zero: $(3x+2)(x-6) = 0$, e a raiz maior é $x = 6$. Substituindo na curva: $y = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$, logo $A = (6, -139)$. Os pontos seguem a sequência — derivar (pelo menos dois termos corretos), igualar a zero, resolver a quadrática e substituir de volta.

Cinemática: com deslocamento $s$ em metros após $t$ segundos, a velocidade é a taxa de variação do deslocamento e a aceleração é a taxa de variação da velocidade: $v = \dfrac{ds}{dt}$, $\quad a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$. Para $s = t^3 - 24t$ (metros, $0 \le t \le 20$): $v = 3t^2 - 24$ m/s e $a = 6t$ m/s². O partícula está instantaneamente em repouso onde $v = 0$: $t = \sqrt{8} = 2.83$ s (3 c.s.).

• Gerar sequências a partir de regras termo-a-termo e posição-a-termo; encontrar a regra de uma sequência inteira (F 3.1 A–B).
• Usar $u_n = a + (n-1)d$ para progressões aritméticas; encontrar $a$ e $d$ a partir de quaisquer dois termos (F 3.1 C, H 3.1 A–B).
• Somar uma série aritmética com $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$, incluindo termos algébricos (H 3.1 C; Junho 2024 1HR Q23).
• Usar notação $f(x)$ e $f{:}\,x\mapsto$; declarar domínios com exclusões e imagens (H 3.2 A–C).
• Construa $\mathrm{fg}(x)$ — $g$ primeiro — e encontre $f^{-1}$ em um domínio de um para um (H 3.2 D; junho 2024 2HR Q17).
• Leia, trace e interprete gráficos em todos os quadrantes: pontos médios, gráficos de conversão, gráficos de distância/velocidade–tempo, tabelas de valores (F 3.3 A–I).
• Gradientes a partir de dois pontos; $y = mx + c$; equações de retas paralelas e perpendiculares por um ponto (F 3.3 G–H, H 3.3 F–G; junho 2024 2HR Q21).
• Reconhecer e esboçar cúbicas, curvas recíprocas, $\sin/\cos/\tan$, e a circunferência centrada na origem $x^2+y^2=r^2$ (Nível Superior 3.3 A).
• Aplique e leia as quatro transformações $f(x)+a$, $f(x+a)$, $af(x)$, $f(ax)$ (H 3.3 B–C).
• Estime o gradiente de uma curva traçando uma tangente (H 3.3 D).
• Resolver interseções linear-não-linear via $y_2 - y_1 = 0$ e verificar por substituição (Nível Superior 3.3 E; junho 2024 2HR Q22).
• Derive potências inteiras; encontre pontos estacionários; classifique máx/mín pela forma do gráfico (H 3.4 A–D; junho 2024 1HR Q19).
• Aplique cálculo ao movimento: $v = ds/dt$, $a = dv/dt$ e "em repouso" significa $v = 0$ (H 3.4 E).

Notas de limite: série geométrica e soma até infinito são excluídas neste nível (nenhuma sequências geométricas em 4MA1 3.1); a diferenciação limita-se a potências inteiras de $x$ — cadeia, regra do produto e regra do quociente são excluídas; medida em radianos é excluída (graus em toda parte). Candidatos Foundation atendem apenas 3.1 e 3.3. Os exemplos resolvidos acima são adaptados da par Higher revisada de junho 2024 (veja as evidências de avaliação do meta); todas as outras questões em as folhas são originais.