4 · Geometry and trigonometry

Tópico 4MA1 4 (especificação Issue 2, novembro 2017) é o maior tópico: linhas Foundation 4.1–4.11 cobrem fatos angulares, polígonos, medidas, construções, linguagem circular, Pitágoras e trigonometria 2D, mensuração e semelhança; Higher adiciona as propriedades das cordas intersectantes, o programa completo de raciocínio sobre teoremas circulares, ângulo obtuso e propriedades da corda, o programa completo de raciocínio sobre teoremas circulares, ângulo obtuso e trigonometria de triângulos não retângulos, problemas 3D, setores, cones, esferas e a $k^2/k^3$ razões de semelhança. Nas provas de Nível Superior de junho 2024, esta área forneceu o AO multi-step 3 baseadas em raciocínio: uma dedução com teoremas circulares, área de hexágono composto, um ângulo da regra do cosseno 3D e uma equação de sólidos semelhantes $k^3$.

Conceito essencial para o tópico 4 (A folha de fórmulas Higher inclui as regras do seno/cosseno, ½ab sen C, e as fórmulas de volume e superfície do cone/esfera):

Ângulos classificam-se como agudo ($< 90°$), reto, obtuso ($90°$–$180°$) e reflexo ($> 180°$). Ângulos sobre uma linha reta somam 180°, ao redor de um ponto 360°, verticalmente opostos são iguais, e linhas paralelas geram ângulos correspondentes iguais e ângulos alternos (ângulos associados somam 180°). O ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos remotos, e a soma dos ângulos é 180°; um triângulo isósceles tem dois lados iguais e ângulos de base iguais, um equilátero três de cada um em 60°.

polígonos recebem nomes conforme a contagem de lados; um quadrilátero tem soma de ângulos de 360°, e a soma dos ângulos internos de cada polígono é $(n-2) \times 180°$. Um polígono regular tem todos os lados e ângulos iguais: ângulo externo $= 360°/n$, interno $= 180° - 360°/n$ — um pentágono regular tem ângulos internos de 108°. Os quadriláteros especiais aninhados: paralelogramo (lados e ângulos opostos iguais, diagonais se bissectam), retângulo (também com ângulos retos), losango (também todos os lados iguais, diagonais perpendiculares), quadrado, papailho, trapézio (um par de lados paralelos). Duas figuras são congruentes quando idênticas em forma e tamanho (condições LLL, LAL, ALA, RHL); figuras semelhantes têm ângulos iguais com lados correspondentes em proporção.

A linha de simetria de uma figura reflete-a sobre si mesma; sua ordem de simetria rotacional é o número de coincidências consigo mesma em uma volta completa (um retângulo: 2 linhas, ordem 2; um hexágono regular: 6 linhas, ordem 6).

Leia as escalas dos instrumentos com sensibilidade e faça estimativas antes de calcular; intervalos de tempo funcionam em relógios de 12 e 24 horas. Uma medida angular inclui direções de três algarismos: medido no sentido horário a partir do norte, escrito como três dígitos — 040°, não 40°. O rumo de retorno inverte-se: se Q tem rumo 040° de P, então P tem rumo 220° de Q (some 180°, taking the resposta mod 360).

pressão é força dividida pela área — todos pertencem à família das medidas compostas: pressão é força sobre área — toda uma família de medidas compostas: fixar o vocabulário de unidades (km/h, g/cm³, N/m²) e converter cuidadosamente. Um carro percorrendo 234 km em 2 h 36 min tem velocidade média $234 \div 2.6 = 90$ km/h.

Medir e traçar linhas com precisão de milímetro; construir triângulos a partir de LLL, LAI ou ALA com régua e esquadro. Com régua e compasso construir (i) a mediatriz de um segmento de reta e (ii) a bissetriz de um ângulo; estes também construem ângulos específicos (60° por construção de arco equilátero, 90° por perpendicular, 45° por bisseção). Construções respondem a questões de lugar geométrico: o conjunto de pontos a uma distância fixa de um ponto (círculo), de uma reta (paralelas), equidistantes de dois pontos (mediatriz) ou de duas retas (bissetriz) — sombreie a região que satisfaz várias condições simultaneamente.

Desenhos em escala e mapas possuem uma razão (1 : 50 000): converta a distância no mapa para a distância real através do fator de escala, mantendo as unidades explícitas.

Vocabulário circular: centro, raio, diâmetro, corda, circunferência, tangente (toca em um ponto, perpendicular ao raio ali), arco, setor, segmento. Fundamental usa propriedades de corda e tangente informalmente; Superior exige o programa completo com razões padrão. O quadrilátero cíclico possui ângulos opostos somando 180°; o ângulo no centro é o dobro do ângulo na circunferência no mesmo arco; ângulos no mesmo segmento são iguais; o ângulo em um semicírculo (apoiado em um diâmetro) é reto; e o ângulo entre uma tangente e uma corda é igual ao ângulo no segmento alternado (teorema do segmento alternado). Propriedades da corda: a perpendicular do centro bisseca a corda; duas cordas secantes satisfazem $AE \times EB = CE \times ED$, e as versões interna/externa potencializam esta família.

Exemplo resolvido: 1HR Junho 2024 Q13, adaptado. $A$, $B$, $C$, $D$ estão sobre um círculo centro $O$ com $\angle BCD = 128°$; encontre $\angle OBD$. Ângulos opostos do quadrilátero soma do quadrilátero é 180°, logo $\angle BAD = 180 - 128 = 52°$. O ângulo no centro é o dobro do ângulo na circunferência no mesmo arco: $\angle BOD = 104°$. Triângulo $OBD$ é isósceles ($OB = OD$, raios), logo $\angle OBD = \tfrac{180 - 104}{2} = 38°$. Cada passo numérico indica sua razão — é isso que a lista de pontos paga.

Pythagoras' theorem: $a^2 + b^2 = c^2$ in right-angled triangles (6-8-10 is uma terna de números inteiros; 5-12-13 outra). SOH CAH TOA fornece $\sin\theta = \tfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$, $\cos\theta = \tfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$, $\tan\theta = \tfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$ — usado diretamente para lados e inversamente (Shift-sin) para ângulos. O ângulo de elevação sobe da horizontal, o ângulo de depressão desce dela (ângulos alternos o levam ao triângulo).

A trigonometria estende as razões para ângulos obtusos: $\sin 130° = \sin 50°$ (o seno permanece positivo), $\cos 130° = -\cos 50°$ (o cosseno torna-se negativo). Qualquer triângulo agora pode ser resolvido usando a lei dos senos $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ (uma razão — lado sobre ângulo oposto — mais um termo) ou a lei dos cossenos $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (dois lados e o ângulo compreendido, ou três lados), e a fórmula de área $\tfrac12 ab\sin C$ funciona ao contrário: área 15 com $a = 6$, $b = 10$ resulta em $\sin C = \tfrac{2 \times 15}{60} = 0.5$, logo $C = 30°$ (ou $150°$ se o diagrama mostrar um ângulo obtuso).

Exemplo resolvido: lei dos senos. No triângulo $ABC$, $\angle A = 40°$, $\angle B = 65°$ e $a = BC = 8$ cm. Encontre $b = AC$. Use o par lado/oposto-ângulo duas vezes:

Exemplo resolvido: lei dos cossenos com ângulo obtuso. Dois lados $7$ cm e $9$ cm encontram-se em $110°$. Encontre o terceiro lado $a$:

Como $\cos 110°$ é negativo, o último termo é somado; o lado oposto a um ângulo obtuso é o mais longo. Verifique se a calculadora está em modo graus.

Problemas 3D são problemas 2D dentro de um sólido: identifique o triângulo retângulo, então aplique Pitágoras ou trigonometry as usual. In a cuboid with base 6 cm × 8 cm and height 10 cm, the base $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ cm; o ângulo entre a diagonal do $\sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{200} \approx 14.1$ cm; o ângulo entre a diagonal espacial e a diagonal da base satisfaz $\tan\theta = \tfrac{10}{10}$, logo $\theta = 45°$.

Exemplo resolvido (6HR Junho 8 Q10, adaptado). Pontos 10, 200, 45 em uma caixa sólida

Exemplo resolvido: 1HR Junho 2024 Q22, adaptado. Pontos $B$, $M$, $P$ em uma caixa sólida possuem $BM = \sqrt{200}$, $BP = \sqrt{244}$ e $MP = 10$ (cada comprimento encontrado por triângulo $BMP$: triângulo $BMP$:

seu próprio teorema de Pitágoras), depois aplique a lei dos cossenos ou dos senos, mantendo o ângulo desejado em seu próprio Teorema de Pitágoras), aplique a lei dos cossenos ou senos, mantendo o ângulo desejado em o centro da notação.

Conversões métricas: linear cm↔m por 100, área por $100^2$, volume por $100^3$ (1 m³ = 10⁶ cm³). Perímetros e áreas partem de triângulos ($\tfrac12 bh$), retângulos, paralelogramos ($bh$) e trapézios ($\tfrac12(a+b)h$); o círculo tem circunferência $2\pi r$ e área $\pi r^2$ (semicírculos incluídos). Figuras compostas são divididas nessas partes.

Exemplo resolvido: 2HR Junho 2024 Q10, adaptado. Hexágono $ABCDEF$ tem $AB \parallel FC \parallel ED$ with $AB = 11$, $ED = FC = 23$, the perpendicular distance between $FC$ e $ED$ igual a 4.7 (cm) e o lado oblíquo $BC = 5$ formando $30°$ com $FC$. A faixa entre $FC$ e $ED$ é um retângulo; acima dele, a altura do trapézio $ABCF$ é $5\sin 30° = 2.5$. Dividir: retângulo $23 \times 4.7 = 108.1$ mais trapézio $\tfrac12(11 + 23) \times 2.5 = 42.5$, logo a área é $150.6\ \text{cm}^2$ (exato $\tfrac{753}{5}$). Desenhe as linhas de divisão antes de calcular.

Nível superior adiciona setores: arco $= \tfrac{\theta}{360} \times 2\pi r$, área do setor $= \tfrac{\theta}{360} \times \pi r^2$ — for $r = 9$, $\theta = 40°$: arc $= 2\pi \approx 6.28$, area $= 9\pi \approx 28.3$. O perímetro do setor soma os dois raios. Sólidos: prismas $V = \text{cross-section} \times \text{length}$ (paralelepípedo, cilindro $V = \pi r^2 h$, superfície $2\pi r^2 + 2\pi rh$); o cone $V = \tfrac13 \pi r^2 h$ com superfície curva $\pi r l$ ($l$ a geratriz); a esfera $V = \tfrac43\pi r^3$, superfície $4\pi r^2$. Um cone $r = 3$, $h = 4$ tem $l = 5$ (Pitágoras), $V = 12\pi$, superfície curva $15\pi$.

Figuras semelhantes têm comprimentos correspondentes em uma razão fixa $k$ (o fator de escala ): então as áreas escalam por $k^2$ e os volumes por $k^3$ — e inversamente, uma razão de área $4 : 9$ significa uma razão de comprimento $2 : 3$. Mapas e modelos usam $k$ diretamente.

Exemplo resolvido: 2HR Junho 2024 Q24 família, adaptado. Sólido $B$ é semelhante ao sólido $A$ com cada comprimento $k$ vezes $A$. Os volumes então escalam por $k^3$: o papel's par cone-hemisfério resulta em $k^3 = \tfrac{125}{8}$, logo $k = \sqrt[3]{\tfrac{125}{8}} = \tfrac52 = 2.5$. A second pair with length ratio $4$ has volume ratio $4^3 = 64$ — o sólido maior contém 64 vezes o menor. Estabeleça a razão primeiramente nas comprimentos, depois eleve ao quadrado ou ao cubo uma vez. ou cúbica uma vez.

Exemplo resolvido: área para volume. Duas garrafas semelhantes têm áreas de superfície $180\ \text{cm}^2$ e $405\ \text{cm}^2$. A menor contém $320\ \text{cm}^3$. Encontre o volume da maior. Passe pelo fator de escala linear:

O erro comum é multiplicar o volume pela razão das áreas $2.25$ (resultando em $720\ \text{cm}^3$).

• Classifique ângulos; use fatos sobre linha, ponto, linha paralela e triângulo, incluindo soma do ângulo externo e polígonos com ângulos internos/externos de polígonos regulares (F 4.1, 4.2).
• Use rumos, velocidade/distância/tempo, densidade e pressão como medidas compostas (F 4.3).
• Use rumos, velocidade/distância/tempo, densidade e pressão como medidas compostas (F 4.4).
• Construa triângulos, bissetrizes e perpendiculares; responda questões de lugar geométrico e desenho em escala (F 4.5, F 4.11 B).
• Use linguagem circular e propriedades de corda/tangente; Superior: quadriláteros cíclicos, ângulos no centro/circunferência, cordas secantes — cada passo com sua razão padrão (F 4.6–4.7, H 4.6–4.7; Junho 2024 1HR Q13).
• Teorema de Pitágoras e SOH CAH TOA em 2D com elevações e depressões; razões obtusas, lei dos senos, lei dos cossenos e ½ab sin C incluindo inversões (F 4.8, H 4.8 A–C, E).
• Resolva problemas 3D extraiendo triângulos retângulos; lei dos cossenos no triângulo extraído (H 4.8 D, F; Junho 2024 1HR Q22).
• Perímetros e áreas incluindo trapézios, círculos e setores; áreas superficiais e volumes de prismas, cilindros, cones e esferas com conversão de unidades (F 4.9–4.10, H 4.9, H 4.10; Junho 2024 2HR Q10).
• Razões de comprimento : área : volume $k : k^2 : k^3$, usadas em ambas as direções (F 4.11, H 4.11; Junho 2024 2HR Q24 família).

Notas de fronteira: rumos têm três algarismos; construções são avaliadas pelos arcos visíveis (mantenha-os); radianos estão excluídos — apenas graus; o caso ambíguo da lei dos senos e 3Trabalho com círculo está fora da lista. Nível Básico atende apenas às linhas de Fundamento 4.1–4.11. Exemplos resolvidos são adaptados do par Superior revisado de Junho 2024 (veja as evidências de avaliação do meta); questões da folha são originais, exceto quando rotuladas.