1 · Numbers and the number system

4MA1 tópico 1 (Questão de especificação 2, Novembro 2017) é o núcleo numérico da qualificação: Linhas Fundamentais 1.1–1.11 abrangem inteiros e as quatro regras através de frações, decimais, índices, conjuntos, percentuais, razão, limites e notação científica até trabalho numérico cotidiano; Superior adiciona conversão de decimal periódico, radicais, conjuntos algébricos, alteração percentual repetida e problemas de limite. Nos papers de Junho 2024 esta linha forneceu porcentagem reversa (2HR Q8), notação científica (2HR Q9), a demonstração de decimal periódico (2HR Q18), multiplicação de limite superior (2HR Q19), racionalização de radicais (1HR Q17 família) e fatores primários com regiões de Venn (1HR Q11 família).

Conceitos obrigatórios para o tópico 1:

Inteiros incluem positivos, negativos e zero; posição decimal indica o valor de cada algarismo. Números orientados aparecem em contextos práticos (temperatura, dívida, nível do mar); ordenar coloca-os na reta numérica. As quatro operações com negativos: sinais iguais somam, diferentes subtraem, dois negativos resultam positivo. Parênteses, depois expoentes, depois dividir/multiplicar, depois somar/subtrair (BIDMAS): $3 + 4 \times 2^2 = 3 + 16 = 19$, enquanto $(3 + 4) \times 2 = 14$. Ímpares, pares, números primos (exatamente dois fatores), fatores e múltiplos classificam números inteiros; fatores comuns e múltiplos comuns levam ao MDC e MMC.

Equivalent fractions cancel or extend: $\tfrac{8}{12} = \tfrac23$. Números mistos e frações ordinárias convertem-se por divisão com resto. Um denominador comum permite ordenar, comparar, somar e subtrair frações: $\tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{4}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{7}{12}$. Uma fração DE uma quantidade multiplica: $\tfrac34$ de 48 é 36; expressar um número como fração de outro divide ($7$ como fração de $28$ é $\tfrac14$). Multiplicar frações multiplica numeradores e denominadores; dividir multiplica pelo inverso recíproco — frações unitárias como inversos multiplicativos ($\tfrac13$ desfaz $3$). Frações convertem para decimais (divisão) e percentuais (multiplicação por 100).

Decimais periódicos (Superior) convertem-se por álgebra: seja $x = 0.306306\ldots$; então $1000x = 306.306\ldots$; subtraindo, $999x = 306$, logo $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$ (Junho 2024 2HR Q18). Um decimal terminante é uma fração com denominador potência de dez.

O valor posicional decimal segue décimos, centésimos, milésimos; a ordenação compara os dígitos de maior valor primeiro. Quadrados perfeitos ($1, 4, 9, \ldots$), cubos perfeitos ($1, 8, 27, \ldots$), suas raízes e notação exponencial com the multiplication and division laws for positive integer powers: $2^3 \times 2^4 = 2^7$ and $2^7 \div 2^3 = 2^4$. Every integer factors into primes: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$; Junho 2024 1HR Q11 fatores familiares decompõem números grandes em primos e leem produtos de regiões de um diagrama de Venn ($19600 = 2^4 \times 5^2 \times 7^2$). O MDC assume o menor expoente de cada primo comum; o **MMC assume o maior expoente de todo primo: para $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ e $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$, MDC $= 2^2 \cdot 3 = 12$ e MMC $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$.

Um radical é uma raiz irracional exata como $\sqrt2$. Simplifique extraindo quadrados: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$, usando $\sqrt{ab} = \sqrt a\, \sqrt b$. Adding needs like surds: $3\sqrt2 + 5\sqrt2 = 8\sqrt2$, but $\sqrt2 + \sqrt3$ não se simplifica.

Racionalizar o denominador remove a raiz multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado — uma diferença de quadrados a elimina exatamente. Exemplo resolvido: $\dfrac{5}{3 - \sqrt2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{(3 - \sqrt2)(3 + \sqrt2)} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{9 - 2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{7}$; and $\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. Junho 2024 1HR Q17 família racionaliza um denominador construído a partir de $2 - \sqrt3$ até à resposta da família $\tfrac{7(2 + \sqrt3)}{4}$ — pois $(2 - \sqrt3)(2 + \sqrt3) = 1$, o fator $(2 + \sqrt3)$ elimina a irracionalidade exatamente.

Um conjunto é uma coleção de elementos: $A = \{2, 4, 6, 8\}$. Notação: $\cup$ (união, em qualquer conjunto), $\cap$ (interseção, em ambos), $\in$ e $\notin$ (pertença). O conjunto universal $\mathcal{E}$ contém tudo em discussão; o conjunto vazio $\emptyset$ não tem elementos; o complementar $A'$ inclui tudo em $\mathcal{E}$ fora de $A$. **Diagramas de Venn desenham as regiões — no nível Superior com conjuntos algébricos, subconjuntos ($B \subset A$: todo elemento de $B$ está em $A$), a contagem de elementos $n(A)$, e aplicações práticas (sondagens, regiões de fatores primos). Junho 2024 1HR Q11 família posiciona os fatores primos de dois números num diagrama de Venn de dois conjuntos e lê produtos como $AB$, $A^2$ e $B^2$ de regiões combinadas — o MDC é o produto da interseção, o MMC é o produto de tudo.

Porcentagem significa partes por 100: $35\% = 0.35 = \tfrac{7}{20}$. Porcentagens atuam como multiplicadores: aumentar em $12\%$ significa $\times 1.12$; diminuir em $20\%$ significa $\times 0.8$. Porcentagem reversa divide o valor final pelo multiplicador — junho 2024 2HR Q8: uma geladeira vendida por 6225 rupees após uma redução de $17\%$ custava originalmente $\tfrac{6225}{0.83} = 7500$ rupees. Juros compostos e depreciação aplicam o multiplicador repetidamente: $A = P\left(1 \pm \tfrac{r}{100}\right)^n$ — £2000 a 3% compostos por 4 anos crescem para $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$; um carro valendo £12000 depreciando 15% ao ano por 3 anos cai para $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

Razão compara partes: simplifique dividindo ($45 : 60 = 3 : 4$); divida por $\tfrac{\text{parts}}{\text{total}} \times \text{amount}$ — £350 dividido na razão $2 : 5$ resulta em $\tfrac27 \times 350 = £100$ e $\tfrac57 \times 350 = £250$. Proporção escala dentro ou entre quantidades: o método unitário encontra uma unidade primeiro (7 canetas custam £4.20, então uma caneta custa £0.60 e 12 canetas custam £7.20); quantidades em proporção direta escalam da mesma forma ($y = kx$). Problemas verbais misturam razão com frações e porcentagens — mantenha as unidades explícitas e verifique se a resposta faz sentido.

Arredonde inteiros para potências de dez e decimais para algarismos significativos ou casas decimais lugares: $3.4617 \to 3.5$ (2 s.f.) e $3.46$ (2 d.p.). Um valor preciso possui limites — 19 até o inteiro mais próximo significa $18.5 \le v < 19.5$ — o limite superior é 19.5 km (18.5 c.s.). 1 s.f. first: $\tfrac{4.12 \times 29.8}{0.187} \approx \tfrac{4 \times 30}{0.2} = 600$. Bound problems (Higher) choose the extremes the question needs — June 2024 2HR LS 19) e tempo $=$ h até $\times$ c.d. (portanto LS $19$): o limite superior da distância UB $19.5$) and time $1.5$ h to 1 d.p. (so UB $1.55$): the upper bound of the distance is $19.5 \times 1.55 = 30.2$ km (3 s.f.).

Standard form writes $a \times 10^n$ with $1 \le a < 10$: $604000 = 6.04 \times 10^5$ and $0.00007 = 7 \times 10^{-5}$ (June 2024 2HR Q9). Indices add e subtraem-se ao longo da multiplicação e divisão de números em notação científica, e a calculator's $\times 10^{\wedge}$ key keeps the working exact.

Números cotidianos — dinheiro, horários, leituras — usam a mesma aritmética com unidades calculadora científica aplica corretamente a ordem das operações — mas o arredondamento precoce (seconds to years, 12- and 24-hour clocks), and the conversions between them ($1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2$; $1\ \text{litre} = 1000\ \text{cm}^3$). A calculadora científica aplica corretamente a ordem das operações — mas o arredondamento precoce perde precisão: mantenha a precisão completa nos cálculos e arredonde apenas o resultado final resposta, à precisão solicitada.

• Inteiros, ordenação, números direcionados, quatro operações, BIDMAS, ímpar, par, primo, fatores e múltiplos (F 1.1 A–H).
• Frações equivalentes, números mistos, denominadores comuns, fração de uma quantidade, inversos, conversões FPD (F 1.2 A–H).
• Dízimas periódicas para frações por álgebra (H 1.3 A; Junho 2024 2HR Q18).
• Decimais: valor posicional, ordenação, dízimas terminais como frações (F 1.3 A–E).
• Quadrados, cubos, raízes, leis dos expoentes, fatoração prima, MDC e MMC (F 1.4 A–E; Família Junho 2024 1HR Q11).
• Radicais: simplificação, adição de radicais semelhantes, racionalização com conjugados (H 1.4 A–B; Família Junho 2024 1HR Q17).
• Conjuntos: notação, universal/vazio/complemento, diagramas de Venn; subconjuntos Avançados, n(A), conjuntos algébricos e práticos (F 1.5 A–E, H 1.5 A–D).
• Porcentagens: multiplicadores, porcentagem de, aumento/declínio, inverso, juros compostos e depreciação (F 1.6 A–G, H 1.6 A–B; Junho 2024 2HR Q8).
• Razão na forma mais simples, repartição, proporção direta, problemas de texto (F 1.7 A–E).
• Arredondamento para potências de dez, s.f. e d.p.; identificação de limites e problemas de limites escolhendo os extremos adequados; estimativa por 1 s.f. (F 1.8 A–D, H 1.8 A; Junho 2024 2HR Q19).
• Conversões e aritmética em notação científica (F 1.9 A, H 1.9 A; Junho 2024 2HR Q9).
• Números cotidianos, unidades padrão e conversões, cálculos de tempo, disciplina com calculadora (F 1.10 A–C, F 1.11 A).

Notas de fronteira: expoentes fracionários, negativos e zero além das leis de multiplicação e divisão pertencem ao tema 2; gráficos de proporção pertencem aos temas 2 e 4; grandezas compostas (velocidade, densidade, pressão) pertencem ao tema 4. Candidatos do nível Básico atendem apenas às linhas Básicas. Exemplos resolvidos são adaptados dos exames de Junho 2024 revisados ou originais; questões da folha são originais, exceto quando rotuladas.