5 · Vectors and transformation geometry

Tema 4MA1 5 (especificação Emissão 2, Novembro 2017). O Fundamento 5.2 abrange as quatro transformações com descrições completas; 5.1 (vetores) é apenas Superior e vai de notação para resultantes, magnitudes e provas geométricas simples. No Junho 2024 Superior, a questão de vetores (2HR Q25) é o clássico finalizador A/A*: uma cadeia de pontos expressos em $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$, então uma razão desconhecida $k$ encontrada por expressar o mesmo vetor de duas formas independentes.

Conhecimento essencial para o tópico 5:

Um vetor possui magnitude e direção (um escalar tem apenas tamanho). Escreva-o em negrito $\mathbf{a}$, sublinhado ou como $\overrightarrow{OA}$; como um vetor coluna $\dbinom{3}{-5}$ — para a direita, depois para cima. Múltiplos escalares alongam: $2\mathbf{a}$ é o dobro comprido e paralelo; $-\mathbf{a}$ inverte a direção; $\tfrac12\mathbf{a}$ reduz à metade.

Adição é ponta-cauda: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ — o trajeto importa, não as paradas. Inverter um vetor por negação: $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. O vetor resultante de vários segmentos é o único vetor inicial-final: com $\overrightarrow{OA} = 3\mathbf{a}$, $\overrightarrow{AB} = 2\mathbf{b}$ e $\overrightarrow{BC} = 2\mathbf{c}$ (o exemplo da própria especificação),

O módulo (magnitude) de $\dbinom{x}{y}$ é seu comprimento pelo Teorema de Pitágoras: $\sqrt{x^2 + y^2}$, então $\left\lvert \dbinom{3}{-5} \right\rvert = \sqrt{34} \approx 5.83$. Column-vector arithmetic is componentwise: $\dbinom{2}{5} + \dbinom{-1}{3} = \dbinom{1}{8}$.

Provas vetoriais demonstram relações de paralelismo ou metade de comprimento escrevendo o MESMO vetor de duas maneiras.

ponto médio da diagonal $OABC$. Prove que as diagonais se bissectam mutuamente. $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ e $\overrightarrow{OC} = \mathbf{c}$; $M$ é o ponto médio da diagonal $OB$. Prove que as diagonais se bissectam mutuamente.

Diagonal: $\overrightarrow{OB} = \mathbf{a} + \mathbf{c}$ (trajeto $O \to A \to B$, já que $\overrightarrow{AB} = \mathbf{c}$ em um paralelogramo). Portanto $\overrightarrow{OM} = \tfrac12(\mathbf{a} + \mathbf{c})$. De $A$: $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OM} = -\mathbf{a} + \tfrac12(\mathbf{a} + \mathbf{c}) = \tfrac12(\mathbf{c} - \mathbf{a})$. Mas a outra diagonal tem $\overrightarrow{AC} = -\mathbf{a} + \mathbf{c} = \mathbf{c} - \mathbf{a}$, logo $\overrightarrow{AM} = \tfrac12\overrightarrow{AC}$: $M$ é o ponto médio de $AC$ também. Ambas as diagonais compartilham o ponto médio — bissectadas. ✓

A família de questões 2HR Junho 2024 Q25 pede duas coisas: um vetor como $\tfrac85\mathbf{a} + \tfrac35\mathbf{b}$ na forma mais simples, seguido por um desconhecido $k$ para um ponto numa linha, encontrado escrevendo um vetor de duas formas independentes e igualando os coeficientes de $\mathbf{a}$ e de $\mathbf{b}$. Aqui está o método completo num exemplo original.

Exemplo resolvido: encontrar uma razão desconhecida. No triângulo $OAB$, $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ e $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. $P$ encontra-se sobre $AB$ com $AP : PB = 1 : 2$, e $M$ é o ponto médio de $OB$. As retas $OP$ e $AM$ se encontram em $Q$. Encontre $OQ : OP$.

Primeiro, $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$, logo $\overrightarrow{OP} = \mathbf{a} + \tfrac13(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \tfrac23\mathbf{a} + \tfrac13\mathbf{b}$. $Q$ is on $OP$, logo $\overrightarrow{OQ} = k\left(\tfrac23\mathbf{a} + \tfrac13\mathbf{b}\right)$ para algum $k$.

$Q$ também está sobre $AM$, onde $\overrightarrow{AM} = \tfrac12\mathbf{b} - \mathbf{a}$, logo $\overrightarrow{OQ} = \mathbf{a} + \lambda\left(\tfrac12\mathbf{b} - \mathbf{a}\right) = (1 - \lambda)\mathbf{a} + \tfrac{\lambda}{2}\mathbf{b}$ for some $\lambda$.

Igualando os coeficientes: $\mathbf{a}$: $\tfrac23 k = 1 - \lambda$, e $\mathbf{b}$: $\tfrac13 k = \tfrac12\lambda$, logo $\lambda = \tfrac23 k$. Então $\tfrac23 k = 1 - \tfrac23 k$, giving $k = \tfrac34$ (and $\lambda = \tfrac12$). So $OQ : OP = 3 : 4$, e $Q$ também é o ponto médio de $AM$. Nunca assuma que um ponto é ponto médio: atribua-lhe uma letra ($k$, $\lambda$) e iguale.

Uma rotação precisa de centro, ângulo e direção (anti-horário positivo, horário negativo); uma reflexão precisa de uma reta espelho ($x = 1$, $y = 2$, $y = x$, $y - x = 0$); uma translação precisa de distância e direção, escrita como o vetor coluna $\dbinom{a}{b}$. Rotações, reflexões e translações preservam comprimentos e ângulos, logo a imagem é congruente à original.

Regras de coordenadas para os casos rápidos: refletir no eixo $x$: $(x, y) \to (x, -y)$; no eixo $y$: $(x, y) \to (-x, y)$; em $y = x$: $(x, y) \to (y, x)$; girar $90°$ anti-horário em torno de $O$: $(x, y) \to (-y, x)$; girar $180°$: $(x, y) \to (-x, -y)$; transladar por $\dbinom{a}{b}$: $(x, y) \to (x+a, y+b)$. Rastreamento o papel faz o resto — mas a DESCRIÇÃO deve nomear todos os elementos necessários.

Exemplo resolvido: duas transformações como uma. Triângulo $T$ tem vértices $(1, 1)$, $(3, 1)$ e $(1, 2)$. Reflita $T$ em $y = x$, depois reflita a imagem no eixo $x$. Descreva a única transformação que realiza ambas as operações.

Siga um ponto genérico: $(x, y) \to (y, x)$ em $y = x$, depois $(y, x) \to (y, -x)$ no eixo $x$. Assim, $(1, 1) \to (1, -1)$, $(3, 1) \to (1, -3)$ e $(1, 2) \to (2, -1)$. A regra $(x, y) \to (y, -x)$ é uma rotação de $90°$ no sentido horário em torno de $(0, 0)$. Todas as três partes (rotação, ângulo com direção, centro) são necessárias para nota completa; "girado" ou "movido" não obtém pontos.

Uma ampliação é especificada por um centro de ampliação e um fator de escala positivo (incluindo frações, com ou sem o centro marcado): $(x, y) \to (kx, ky)$ em relação à origem. As ampliações preservam ângulos, mas NÃO comprimentos — a imagem é semelhante, não congruente. Uma descrição completa nomeia o transformação e cada parâmetro: "rotação, $90°$ anti-horário em torno de $(0, 1)$"; "reflexão na reta $y = x$"; "translação por $\dbinom{3}{-2}$"; "ampliação, fator de escala 2, centro $(1, 1)$". Omissão do centro ou direção resulta em perda de pontos.

• Usar notação vetorial, vetores coluna, múltiplos escalares e adição/subtração componente a componente (H 5.1 A–D).
• Encontrar resultantes ao longo de um trajeto; inverter negando (H 5.1 F).
• Calcular módulos pelo teorema de Pitágoras (H 5.1 E; exemplo específico (3, −5) → √34).
• Provar fatos de ponto médio, paralelismo e razão escrevendo um vetor de duas formas independentes — nunca assumir um ponto médio (H 5.1 G; Junho 2024 2HR Q25).
• Girar, refletir e transladar, usando vetores coluna para translações; afirmar preservação da congruência (F 5.2 A–I).
• Ampliar com centro e fator de escala (incluindo frações); descrever qualquer transformação completamente (F 5.2 J–M).

Notas sobre limites: vetores neste nível estão em duas dimensões com fatores de escala positivos apenas; fatores de ampliação negativos pertencem a estudos posteriores. Candidatos do Foundation encontram-se 5.2 apenas. Exemplos trabalhados são adaptados do papel Higher revisado de junho 2024 ou originais (consulte as evidências de avaliação dos meta's); questões das folhas são originais, exceto quando rotuladas.