S · Moments

AQA A-level Mathematics 7357, secção S (Momentos), versão 1.3 (primeira avaliação 2018). Notas de ensino originais.

Pré-requisitos: forças e leis de Newton da secção R.

Estes são exemplos originais de ensino, não material oficial da AQA.

A pergunta

• Uma chave longa afrouxa uma porca apertada que uma chave curta não consegue mover, com exatamente o mesmo empurrão. De onde vem o efeito de giro extra?
• Antes de ler adiante, diga em que depende o efeito de giro de uma força e por que dobrar o comprimento da alavanca dobra esse efeito.

O método

• O momento de uma força em relação a um ponto é a força multiplicada pela DISTÂNCIA PERPENDICULAR do ponto à linha de ação da força, em N m. Uma força que passa pelo ponto tem distância zero e momento zero — não pode girar o corpo em torno desse ponto.
• Um corpo está em equilíbrio apenas quando AMBAS as condições são satisfeitas: a soma das forças é zero (sem translação) E os momentos em relação a qualquer ponto são zero (sem rotação). Ao calcular momentos em torno do pivô de uma força desconhecida, esta é eliminada da equação, pois sua distância é zero — uma equação, uma incógnita.
• momento: Força × distância perpendicular do ponto à linha de ação da força, em N m; equilíbrio: Estado com força resultante nula e momento resultante nulo, sem translação nem rotação; pivô: Ponto em torno do qual os momentos são calculados ou um corpo gira.

Verificando seu trabalho

• Escolha o ponto para calcular momentos de modo que a incógnita mais complicada passe por ele. Para uma viga sobre dois apoios, calcule momentos em torno de um apoio para encontrar a reação no outro, depois use ΣF = 0 para a primeira.
• A distância mede-se até a LINHA da força, não até onde ela é desenhada: uma força aplicada a 40° em uma barra de 3 m tem distância perpendicular de 3 sin 40°, não 3 m.

Caso resolvido

• Dados: uma viga leve de 4 m repousa sobre apoios A e B nas extremidades, com carga de 260 N a 1 m de A. Momentos em A: R_B × 4 = 260 × 1, logo R_B = 65 N. Forças verticais: R_A + R_B = 260, logo R_A = 195 N. A verificação R_A + R_B = 260 ✓ e os momentos em B (195 × 4 = 260 × 3 = 780 ✓) confirmam.

Exemplo:

Uma prancha uniforme de 6 m com peso 200 N repousa sobre apoios nas extremidades, e uma caixa de 400 N está posicionada 2 m de uma das extremidades. Encontre ambas as reações, usando a mesma sequência: momentos em torno de um apoio → ΣF = 0 → verifique em torno do outro. (Resposta: momentos em torno do apoio próximo dão 6R_distante = 400 × 2 + 200 × 3 = 1,400, logo R_distante ≈ 233 N e R_perto = 600 − 233 ≈ 367 N.)

Limites e armadilhas

• Tire momentos em relação a UM SEGUNDO ponto como verificação: um erro de sinal na primeira equação aparecerá imediatamente. Ambas as reações de uma viga apoiada devem ser positivas — uma reação negativa significa que a viga se levantaria desse apoio e o modelo teria mudado.

Atenção:

Força resultante nula é suficiente para equilíbrio. Esta afirmação é falsa: duas forças iguais e opostas em pontos diferentes (um binário) resultam em força resultante nula, mas ainda assim fazem o corpo girar. O equilíbrio exige também momento resultante nulo — é por isso que o comprimento da chave importa mesmo quando o empurrão permanece inalterado.

Chave:

Momentos: momento = força × distância perpendicular em N m; o equilíbrio exige ΣF = 0 E ΣM = 0; tire momentos em relação a uma força desconhecida para eliminá-la, e verifique retomando os momentos em relação a um segundo ponto.