진동

간단한 조화 운동(SHM)은 주기적 운동의 특수한 경우입니다. 다음 두 가지 조건이 모두 만족될 때 나타납니다: 평형점에서 순력이 0이며, 물체를 변위시키면 복원력이 작용한다는 점입니다. 복원력은 평형점으로 향하며 그 크기가 변위에 비례합니다:

뉴턴의 제2법칙은 정의하는 미분방정식을 제공합니다:

해는 사인/코사인 함수 형태를 띠며, $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$입니다. 이 해를 증명할 필요는 없으며, 방정식을 인식할 수 있어야 합니다. "$\ddot{x}=-\omega^2x$"이라는 방정식을 따르는 모든 운동은 재료가 무엇이든 간에 단순 조화 진동자입니다. (수직 스프링에 매달린 질량도 동일한 원리입니다: 중력은 평형점만 이동시킬 뿐, 그 주변의 진동은 변하지 않습니다.)

각주파수 $\omega$는 주파수와 진동수를 결정합니다:

두 가지 표준 시스템에 대해:

두 가지 고전적인 개념적 함정이 있습니다: SHM의 주기는 진폭에 절대 의존하지 않으며, 각 시스템마다 명백한 변수 하나를 무시합니다. 진자의 주기에 질량은 포함되지 않으며, 스프링의 주기에 $g$(질량)는 포함되지 않습니다. (스프링-블록 진동자는 궤도에서도 완벽한 시간을 유지하지만, 진자 시계는 그렇지 않습니다).

$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$를 두 번 미분합니다:

따라서 흔들림의 끝($x=\pm A$)에서는 속도가 0이고 가속도가 가장 큽니다. 평형을 지나갈 때($x=0$)는 가속도가 0이고 속도가 가장 큽니다, $v_{\max}=A\omega$. 진폭 $A$과 위상 상수 $\phi$은 초기 조건, 즉 물체의 시작 위치와 속도에서 유래합니다. $t$을 소거하거나(아래의 에너지 방법 사용)하여 위치별 속도를 구할 수 있습니다:

풀이 예제. $0.50\ \text{kg}$ 질량이 $k=200\ \text{N/m}$ 스프링에 매달려 있습니다: $\omega=\sqrt{k/m}=20\ \text{rad/s}$, $T=2\pi/\omega=0.31\ \text{s}$. $A=0.10\ \text{m}$일 때: 평형에서 $v_{\max}=A\omega=2.0\ \text{m/s}$이며, $x=0.050\ \text{m}$에서의 속도는 $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}=20\sqrt{0.10^2-0.050^2}=1.7\ \text{m/s}$입니다.

진동자의 총에너지는 합 $E=U+K$이며, 마찰이 없으면 일정합니다 – 에너지는 스프링의 포텐셜 에너지와 질량의 운동에너지 사이를 오가며 교환됩니다:

끝($K=0$인 지점)에서는 모든 에너지가 포텐셜 에너지이며, 평형($U$이 최소인 지점)에서는 모든 에너지가 운동에너지입니다. $E\propto A^2$이므로 진폭을 두 배로 늘리면 에너지는 네 배가 됩니다.

풀이 예제. 에너지가 균등하게 분배되는 지점은 어디인가? $\tfrac12kx^2=\tfrac12E=\tfrac14kA^2$를 설정하면, $x=A/\sqrt2\approx0.71A$이 됩니다 – 끝쪽보다 중간에 훨씬 더 가깝습니다. 위의 시스템($A=0.10\ \text{m}$)의 경우: $x=0.071\ \text{m}$입니다.

외부 힘 없이 놓이면 시스템은 자체 고유진동수($k$와 $m$에 의해 결정됨: $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$)로 진동합니다. 그 같은 주기의 주기적 힘으로 구동하면 진폭이 급격히 증가하는데, 이를 공명이라고 합니다. 타이밍이 맞는navbarpush가 감쇠가 에너지를 잃게 하는 것보다 빠르게 에너지를 추가하므로, 구동 주파수가 $f_0$(타이밍에 맞춰 흔드는 Swing, 바람에 흔들리는 다리)과 일치할 때 구동 진폭이 날카롭게 정점을 이룹니다.

물리진자는 고정된 축 주위를 흔들리는 모든 경체입니다. 각도 $\theta$만큼 변위시키면, 중심에서 축까지 거리 $d$ 떨어진 중심에 작용하는 중력이 복원 토크를 제공합니다.

작은 각도에 대해 소각 근사 $\sin\theta\approx\theta$와 회전 형태의 뉴턴 제2법칙($\tau=I\alpha$)을 적용합니다:

이는 이전의 "$\ddot\theta=-\omega^2\theta$" 패턴과 동일합니다 – 이를 인식하는 것이 바로 유도 과정입니다. 단진자는 가벼운 줄에 매달린 질점의 특수한 경우입니다: $I=m\ell^2$과 $d=\ell$로부터 $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$을 얻습니다.

풀이 예제. 균일 막대(질량 $M$, 길이 $L$)가 한쪽 끝에서 흔들립니다: $I=\tfrac13ML^2$, $d=\tfrac{L}{2}$, 따라서

– 길이가 $L$인 단순 진자보다 짧다. 막대의 질량이 회전축에 더 가깝기 때문이다.

비틀림 진자 – 나사를 비틀어 매달린 디스크 – 역시 다시 한번 SHM입니다: 나사의 복원 토크는 비틀림 각도 $I\alpha=-\kappa\,\Delta\theta$에 비례하여, $T=2\pi\sqrt{I/\kappa}$을 제공합니다.

시험 기술. 모든 진자 FRQ는 동일한 세 단계가 필요합니다: 축에 대한 복원 토크를 작성하고, 소각 근사를 적용한 후, 결과를 $\ddot\theta=-\omega^2\theta$와 비교하여 $\omega$을 읽으세요. 소각 근사 단계를 명시적으로 언급하십시오 – 이는 채점 포인트이며, 큰 진폭의 흔들림이 단순 조화 운동이 아닌 이유이기도 합니다.

• 선형 복원력 $F=-kx$을 주어진 운동이 $\tfrac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2 x$를 $\omega=\sqrt{k/m}$에 따라 나타내는 **단순 조화 운동(SHM)**으로 식별합니다.
• 해 $x=A\cos(\omega t+\phi)$를 작성하고 미분하여 $v,a$을 얻습니다. 주기 $T=\tfrac{2\pi}{\omega}$은 진폭에 독립적입니다.
• 에너지는 $\tfrac12 kx^2$와 $\tfrac12 mv^2$ 사이를 교환하며, 총에너지는 $\tfrac12 kA^2$입니다.
• 진자에 대해서는 SHM에 도달하기 위해 소각 근사 $\sin\theta\approx\theta$를 사용하세요.
• 위상을 시작 조건과 맞추세요: 최대 변위에서 정지 상태에서-release된 경우 코사인 함수를 사용합니다.