고등 순수 수학 1

Before trusting a program's calculated roots, check their sum and product against its stored polynomial coefficients. These relations also give useful sums when finding the individual roots would be difficult. A root makes the polynomial zero. Count repeated roots with their multiplicities and include complex roots; a real graph shows only the real ones. The relations here apply to degrees 2, 3 and 4, always with a non-zero leading coefficient.

Derive the relations from factors

Expand $a(x-\alpha)(x-\beta)$ and compare coefficients with $ax^2+bx+c$. This gives

For $ax^3+bx^2+cx+d=0$ with roots $\alpha,\beta,\gamma$, expansion similarly gives

The signs alternate because each factor contains a minus sign. They do not say that the roots themselves are negative. For $(x-1)^2(x-3)=0$, use the list $1,1,3$, giving $e_1=5,e_2=7,e_3=3$. Counting only the two distinct values breaks the coefficient relations.

Include quartics and complex roots

For a quartic equation $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$, define $e_1$ as the sum of its four roots, $e_2$ as the sum of all six different pairs, $e_3$ as the sum of all four different triples, and $e_4$ as their product. Then

The six pairs are $\alpha\beta,\alpha\gamma,\alpha\delta,\beta\gamma,\beta\delta,\gamma\delta$: count each once. These are symmetric functions, unchanged when the roots exchange names.

방정식을 풀지 않고 지수 합을 구하기

$S_k=\alpha^k+\beta^k+\cdots$를 적으되, 각 근의 중복도를 포함합니다. 근의 합의 제곱과 세제곱을 전개하면 다음과 같습니다.

첫 번째 공식은 차수 2, 3 및 4에 적용되며, 두 번째 공식은 차수 3과 4에 대해 작성되었습니다. 더 높은 합에 대해서는 각 근이 만족하는 방정식을 사용하십시오. $x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$인 경우, 네 개의 근 방정식을 더합니다:

해설 예제. $x^4-2x^3+3x^2-4x+5=0$에 대해 대칭합은 $2,3,4,5$입니다. 따라서 $S_2=4-6=-2$와 $S_3=8-18+12=2$입니다. 원래 방정식은 $S_4=2(2)-3(-2)+4(2)-4(5)=-2$를 제공합니다. 근이 복소수일 때 제곱의 음수 합이 가능합니다.

주어진 합으로부터 미지 계수를 구하기

최고차 계수가 1인 삼차식 $x^3+bx^2+cx+d=0$에 대해 먼저 $b=-S_1$와 $c=(S_1^2-S_2)/2$을 사용하십시오. 나머지 계수를 더 높은 합과 연결하려면 세 개의 원래 근 방정식을 더합니다:

각 근 방정식을 해당 근으로 곱한 후 다시 더합니다:

상수항은 첫 번째 방정식에서는 $3d$이지만 두 번째 방정식에서는 $dS_1$입니다. 알려진 합을 대입하여 얻은 연립방정식을 풀고 두 관계식에서 검증하십시오.

모든 근을 이동하거나 스케일링하기

근이 $y=mx+k$인 방정식을 구할 때, 여기서 $m\ne0$인 역변환 대입 $x=(y-k)/m$을 사용합니다. 이를 원래 다항식에 대입하여 분모를 정리하고 $y$의 차수별로 항을 모읍니다. 상수 배수가 다른 방정식은 같은 근을 가집니다.

해설 예제. 원래 다항식을 $P(x)=x^3-3x+1$라고 합시다. 근 $2\alpha+1,2\beta+1,2\gamma+1$에 대해 $x=(y-1)/2$를 넣고 8으로 곱합니다:

그의 근의 합은 3이며, 또한 $2S_1+3(1)=3$입니다. 차수-$n$ 다항식의 경우 해당 합 검사는 $mS_1+nk$입니다. 원래 변수가 $(y-1)/2$여야 할 때 $2y+1$를 대입하지 마십시오.

역수 및 허용되지 않는 값

새로운 근 $y=1/x$에 대해 $x=1/y$을 넣고 $y^n$로 곱하십시오. 원래 상수항이 0이 아닌지 확인하십시오: 0근에는 역수가 없습니다. 삼차식 $ax^3+bx^2+cx+d=0$은 $dy^3+cy^2+by+a=0$가 됩니다.

예를 들어, $2x^3-3x^2+4x-5=0$는 역수근 방정식 $5y^3-4y^2+3y-2=0$을 제공합니다. 그 근의 합은 $4/5$이며, 또한 $e_2/e_3$입니다. 새로운 상수항은 $y=0$를 제외합니다.

$y=1/(x-k)$에 대해 $x=k+1/y$을 사용하고, 모든 원래 근에 이미지가 있음을 주장하기 전에 $P(k)\ne0$를 확인하십시오. 분모를 제거하면 0의 역수가 정의되지 않습니다.

근을 제곱하고 중복도를 보존하기

다항식을 짝수항과 홀수항으로 분리하십시오: $P(x)=E(x^2)+xO(x^2)$. $y=x^2$인 경우, 다음처럼 써서 $x$를 소거하십시오

이는 제곱근의 두 가지 가능한 부호를 결합합니다: 그중 하나는 원래 방정식의 해입니다. 서로 다른 원래 근의 제곱이 같다면, 새 방정식에 그들의 반복 인자를 유지하십시오.

해설 예제. $x^3-2x^2-x+2=0$에 대해 $E(y)=2-2y$과 $O(y)=y-1$입니다. 따라서 $(2-2y)^2-y(y-1)^2=0$로, 이는 0이 아닌 상수배까지 단순화되어 $(y-1)^2(y-4)=0$가 됩니다. 원래 근 $1,-1,2$는 $1,1,4$가 됩니다. 반복 인자를 제거하면 변환된 근 하나가 손실됩니다.

고차 변환을 먼저 단순화하기

$x^3+3x-2=0$인 경우, 각 근은 $x^3=2-3x$을 만족합니다. 새로운 근 $y=x^3+1$는 따라서 $3-3x$입니다. $x=(3-y)/3$를 원래 방정식에 사용하여, 27로 곱하고 항을 정리하면 $y^3-9y^2+54y-54=0$을 얻습니다. 이제 이 새 방정식에 대한 계수 관계를 사용하여 변환된 항의 합을 구하십시오.

Check a fitted curve before trusting it

A program may fit a ratio of two polynomials to data. Its graph can look smooth on a screen while hiding an excluded input or a separate branch. 유한함수 $f(x)=P(x)/Q(x)$의 경우, 원래 분모부터 시작합니다: $Q(x)\ne0$을 요구합니다. 그런 다음 스킷이 반드시 보여야 할 특징을 찾습니다.

배제된 입력값은 구멍이 될 수 있음

분모가 0인 점은 나머지 식이 거기에 무한대로 발산할 때만 수직 점근선이 됩니다. 먼저 인수분해하십시오; 소거가 대신하여 결손점을 남길 수도 있습니다. $f(x)=(x^2-1)/(x-1)=x+1$의 경우, 원래 제한 조건 $x\ne1$이 유지됩니다. 직선을 $(1,2)$에서 빈 점을 그려 수직 점근선이 아닌 것으로 표시하십시오. 분자의 영점은 원래 분모가 거기에 0이 아닐 때만 절점입니다.

차수와 나눗셈에 의한 점근선

소거 후 차수를 비교하십시오: 더 낮은 차수의 분자는 수평 한계 0을 줍니다; 동일한 차수는 최상차 계수의 비를 줍니다. 비수직 점근선은 기울어진 선이므로 분자의 차수가 정확히 하나 높아야 합니다. 나눗셈하여 상수항과 나머지를 분모로 나누어 얻습니다. $(x^2-1)/(x-2)$의 경우, 이것은 $x+2+3/(x-2)$입니다. 따라서 $y=x+2$은 $x\to\pm\infty$일 때의 비수직 한계이며, $x=2$은 수직 점근선입니다.

수평 또는 기울어진 점근선은 먼 거리에서의 거동을 설명하며, 유한한 입력값에서 교차할 수 있습니다. $f(x)=(x^2+x)/(x^2+1)$의 경우 수평 점근선은 $y=1$이며, $f(1)=1$입니다.

변곡점과 완전한 스킷

$f(x)=x+1/x$에 대해, $x\ne0$, $f'(x)=1-1/x^2$입니다. 변곡점은 $(-1,-2)$(국소 극대)와 $(1,2)$(국소 극소)이며, 미분식이 부호를 바꿀 때 발생합니다. 축과의 교점은 없습니다. 수직 점근선 $x=0$과 비수직 점근선 $y=x$을 가진 두 가지 분지를 그립니다. 왼쪽 분지는 비수직 선 아래에, 오른쪽 분지는 위에 위치합니다. 0 근처에서 왼쪽 분지는 $-\infty$으로 떨어지고 오른쪽 분지는 $+\infty$로 상승합니다.

정지점이 존재하는지 확인하기

$h(x)=(x+1)/(x^2+2x-2)$에 대해, 연쇄법칙은 다음과 같습니다:

The numerator inside the minus sign is positive, and the denominator is positive at every allowed input. Therefore the derivative never vanishes. There are no stationary points, and each separate domain interval has a decreasing branch; do not join branches across a pole.

판별식을 통해 범위를 증명하기

$y=x+1/x$을 $x^2-yx+1=0$로 정리하십시오. 실수 입력이 존재하는 것은 오직 판별식이 $y^2-4\ge0$을 만족할 때입니다. 범위는 $y\le-2$ 또는 $y\ge2$이며, 두 변곡점 값을 포함합니다. Check exclusions and any case where the equation stops being quadratic. For $y=x/(x^2+1)$, rearrangement gives $yx^2-x+y=0$. At $y=0$ this is the valid linear equation $x=0$; do not discard that range value.

For the second function, $1-4y^2\ge0$ gives $-1/2\le y\le1/2$. Its denominator is never zero for real $x$, so all these values occur, including $0$ and the two endpoints.

출력 변경: 절댓값 및 역수

$f(x)=(x-1)/(x+1)$을 취하십시오. $y=|f(x)|$에 대해서는 음이 아닌 부분을 유지하고 음의 부분을 $x$-축 위로 반사하십시오. 배제 $x=-1$은 유지됩니다. 유일한 영점은 $x=1$입니다. $y=1/f(x)=(x+1)/(x-1)$에 대해 $x=-1$과 $x=1$을 모두 제외합니다: 첫 번째는 원래 정의역에 없었으며, 두 번째는 역수가 정의되지 않게 합니다. $(-1,0)$에 구멍이 있고 $x=1$에 수직 점근선이 있습니다. 구멍은 영점이 아닙니다.

입력을 변경하거나 출력을 제곱합니다

For $f(|x|)$, keep the original right half and reflect it across the $y$-axis. Here the denominator $|x|+1$ never vanishes; the range is $[-1,1)$, with zeros at $x=\pm1$ and a corner at $(0,-1)$. Such a corner is not automatic: if the original right-hand slope at zero is zero, the join can be smooth. $y^2=f(x)$에 대해 오직 $f(x)\ge0$인 원본 입력만 유지한 후, $y=\sqrt{f(x)}$과 $y=-\sqrt{f(x)}$을 모두 그려야 합니다. 여기서는 $x<-1$ 또는 $x\ge1$; 두 가지 가지가 $(1,0)$에서 만나며, $-1<x<1$에 대해서는 그래프가 존재하지 않습니다.

For a contrasting smooth join, take $h(x)=(x^2+4x+8)/(x+2)$. Since $h(0)=4$ and $h'(0)=0$, reflecting the right half gives matching slopes 0 on both sides: $h(|x|)$ is smooth at $(0,4)$.

경계와 가지로부터 부등식을 풀이합니다

$|(x-1)/(x+1)|<2$를 풀려면 $f=2$과 $f=-2$이 되는 지점을 찾으십시오: 경계 입력은 $-3$과 $-1/3$입니다. 부호 또는 가지 도표에 극점 $-1$을 포함하십시오. 이 값들에 의해 분리된 구간을 테스트하십시오. 답은 $x<-3$ 또는 $x>-1/3$이며, 엄격한 끝점은 제외됩니다. 부등식에 $x+1$을 곱하기 전에 부호를 결정하지 마십시오; $x=-1$을 제외한 후에는 $(x+1)^2$을 곱하는 것은 안전합니다.

대칭성을 사용하여 입력-절댓값 부등식을 풀이합니다

$f(|x|)<1/2$에 대해 $t=|x|\ge0$을 적용하십시오. 그러면 $(t-1)/(t+1)<1/2$의 분모는 양수이며 $t<3$을 제공합니다. $-3<x<3$으로 다시 번역. 값 0은 포함된다. 이차 계산이 $t$에 대해 음의 경계를 산출하면, 그것은 $|x|$의 값이 될 수 없다; 결과를 반사하기 전에 허용된 반직선을 검사하라.

증거에서 스킷을 구축합니다

정의역, 절편, 점근선, 정지 좌표 및 한쪽 방향 거동을 기록하십시오. 치역 계산을 사용하여 어떤 수직 간격이 실제인지 확인하십시오; 수평 점근선은 반드시 제외된 출력 값일 필요는 없습니다. 관련된 그래프에 대해서는 그리기 전에 새로운 정의역을 명시하십시오. 부등식의 경우 모든 경계와 극점을 표시하고 가지를 테스트하며, 엄격하거나 포괄적인 끝점을 보존하십시오.

모든 단계를 더하지 않고 연산량을 세어보세요

알고리즘은 단계 $r$에서 $r^2$개의 연산을 수행합니다. 수천 개의 단계 후 전체 연산량을 추정하려면 전체 합에 대한 하나의 식이 필요합니다. 합계는 표준 공식을 결합하거나 이동된 항을 상쇄할 수 있습니다. 무한 합에는 별도의 검사가 필요합니다: 유한 공식만으로는 수렴을 증명할 수 없습니다.

표준 합산 및 그 범위

양정수 $n$에 대해 표준 결과는 다음과 같습니다:

한계가 중요합니다: $\sum_{r=1}^n1=n$이지만 $\sum_{r=0}^n1=n+1$은 아닙니다. 공식을 적용하기 전에 항의 개수를 확인하십시오. 세제곱 항등식은 1부터 시작하는 연속된 정수에 사용됩니다; 임의의 숫자 목록에는 성립하지 않습니다.

먼저 전개한 뒤 각 부분의 합을 구함

$\sum_{r=1}^n(2r+1)(r+2)$를 $2r^2+5r+2$로 전개하면, 그 결과는 $2\sum r^2+5\sum r+2n$이다. 표준 결과를 대입하여 정리한다:

$n=2$에서 원본 항은 $3\times3$과 $5\times4$이며, 총합은 29입니다. 공식 역시 $2(16+42+29)/6=29$을 줍니다. 작은 $n$ 검사는 누락된 상수와 인덱스 오류를 포착합니다.

시작 또는 끝 인덱스 변경

$F(m)=\sum_{r=1}^m u_r$일 때, $\sum_{r=p}^q u_r=F(q)-F(p-1)$이 된다. 마지막으로 제거된 항은 $p-1$이며, $p$가 아니다. $\sum_{r=0}^n(r+1)^2$에 $k=r+1$을 대입하면, 새로운 경계는 $1$과 $n+1$이므로 합은 $(n+1)(n+2)(2n+3)/6$이다. 식뿐만 아니라 한계도 함께 변경한다.

차분의 방법

항을 $F(r)-F(r+1)$로 적고, 첫 몇 항과 마지막 항을 나타낸다. 중간 항들이 소거되어 경계 값인 $F(1)-F(n+1)$만 남는다. 더 넓은 이동은 더 많은 경계 항을 남긴다. $F(r)-F(r+2)$에서는 시작 항 두 개와 끝 항 두 개가 남는다:

부분분수 분해가 소거 과정을 명확히 함

$1/[r(r+2)]$에 대해 $1=A(r+2)+Br$를 풀면: $A=1/2,B=-1/2$. 따라서 각 항은 $\tfrac12(1/r-1/(r+2))$이다. 두 단계 소거를 사용하여 인수를 유지한다:

분해는 아직 합이 아니다. 세 부분분수나 인덱스 이동이 관련된 경우 특히 소거를 입증할 만큼 충분히 많은 첫 항과 마지막 항을 보여라. $n=1$에서의 공식을 확인하면: 원래 첫 항인 $1/3$이 나온다.

유한 합의 극한을 취함

급수가 수렴하는 것은 부분합이 유한한 실수 극한에 수렴할 때이다. 마지막 예에서 두 개의 끝 분수는 0으로 수렴하므로, 이 급수의 무한합은 $3/4$이다. $n$항 이후의 남은 미.tail은 $S_\infty-S_n$이다. 여기서는 $\dfrac1{2(n+1)}+\dfrac1{2(n+2)}$이므로, 요구되는 정밀도를 위해 필요한 항의 개수를 선택하는 데 사용할 수 있다.

항이 0으로 수렴하는 것은 충분하지 않습니다. $u_r=\sqrt{r+1}-\sqrt r$에 대해 항은 0으로 수렴하지만, $S_n=\sqrt{n+1}-1$은 무한대로 증가합니다. 유한한 부분합의 극한이 결정적인 증거입니다.

차분이 반드시 부분분수일 필요는 없음

$P_r=r(r+1)(r+2)$이라 하자. 공통 부분을 인수분해하여 $P_{r+1}-P_r=3(r+1)(r+2)$을 얻는다. 따라서 $(r+1)(r+2)$의 합은 $(P_{n+1}-P_1)/3$이다. 또 다른 방법은 두 분수를 하나의 분모 위에 놓는 것이다. 예를 들어, $1/r^2-1/(r+1)^2=(2r+1)/[r^2(r+1)^2]$. 차분을 식별함으로써 $\sum1/r^2$에 대한 공식을 사용하려 할 필요 없이 피할 수 있다.

매개변수 끝점을 별도로 확인

$u_r=t^{r(r+1)}-t^{(r+1)(r+2)}$이라 하자. 유한합은 $S_n=t^2-t^{(n+1)(n+2)}$이다. $|t|<1$에 대해서는 그 극한이 $t^2$이다. $t=1$ 또는 $t=-1$에서 모든 지수는 짝수이며 모든 항은 0입니다: 무한합은 0이며, 1가 아닙니다. $|t|>1$의 경우, 마지막 항의 지수가 무한대로 증가합니다. 수렴 집합은 $[-1,1]$이지만, 합계는 각 끝점의 값을 별도로 확인해야 합니다.

무한을 취하기 전에 합계를 증명하십시오

항을 전개한 후 표준 합을 선택하거나, 항을 재배열한 후 차이를 선택하십시오. 인덱스 범위를 명시하고, 남는 경계항을 보여주며 $n$의 작은 값으로 검증하십시오. 무한급수의 경우 정확한 부분합의 극한을 조사하십시오. 원래 항에서 매개변수의 특수값을 확인하고, 오차 한계에는 다음 항뿐만 아니라 남은 미분구간(tail)을 사용하십시오.

이미지 수정 Undo

그래픽 프로그램은 회전이나 신장을 행렬로 저장할 수 있습니다. 행렬의 열은 두 단위 방향이 이동하는 위치를 나타내며, 곱셈을 통해 이미지의 모든 점을 변환합니다. 수정을 Undo하려면 역행렬이 존재해야 합니다. 수정을 결합할 때는 순서가 중요합니다. 정답은 계산 과정과 도형에 미치는 영향을 모두 설명해야 합니다.

계산 전에 크기를 확인하십시오

$m$개의 행과 $n$개의 열을 가진 행렬의 크기는 $m\times n$입니다. 같은 크기의 행렬끼리만 성분을 대응하여 더하거나 빼십시오. 영행렬(zero matrix) 은 모든 성분이 0인 행렬입니다. $A$이 $m\times n$이고 $B$이 $n\times p$라면, $AB$은 $m\times p$입니다. 안쪽 크기(내부 치수)를 일치시키고, 각 행을 각 열에 대해 곱하십시오. 역순의 곱은 다른 크기가 되거나 존재하지 않을 수도 있습니다.

사각행렬이 아닌 경우

For example, entry $(1,2)$ is $1(0)+2(-1)+(-1)(2)=-4$. The product $BA$ exists but is $3\times3$, so it cannot equal $AB$.

항등행렬, 순서 및 특이행렬

The identity matrix $I_n$ is $n\times n$, with ones on its main diagonal and zeros elsewhere. For $A$ of size $m\times n$, $I_mA=A=AI_n$. Usually $AB\ne BA$; matrix multiplication is not commutative. 정방행렬의 행렬식(determinant) 이 0이면 특이행렬(singular matrix) 이며, 역행렬이 없습니다. 비특이정방행렬은 Unique한 역행렬을 가지며, 그 역행렬의 🟢성분은 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$입니다. 특이평면 변환은 평면을 직선이나 단일 점으로 압축시킬 수 있습니다.

$A=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$에 대해,

임의의 $2\times2$ 행렬에 대해 두 대각성분을 서로 바꾸고, 나머지 두 성분을 부호 반전한 후, 이 행렬식이 0이 아닌 한 $ad-bc$로 나눕니다.

3×3 행렬식을 전개하십시오

$3\times3$의 행렬식을 구하려면 한 행을 선택하고 선택한 성분의 행과 열을 삭제하십시오. 남은 각 $2\times2$ 행렬식은 소행렬식(minor) 입니다. 첫 번째 행에 대해 부호는 $+,-,+$입니다. For a parameter, factor the determinant and state every value making it zero. Do not divide by a parameter expression before checking whether it can vanish.

첫 번째 행에 대해 확장하면,

중간의 마이너스 부호는 위치를 나타내며, 소인자(minor) 자체가 음수일지라도 마찬가지입니다.

3×3 역행렬을 구하고 검증하십시오

보수(cofactor) 는 소행렬식에 위치 부호를 곱한 값입니다. 부호 패턴 $\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}$을 사용하고, 보수 행렬을 전치(transpose)하여 행과 열을 바꿉니다. 그 전치행렬을 0이 아닌 행렬식으로 나눕니다. 곱셈을 통해 결과를 검증하십시오. 보수 중 하나를 잘못 계산하거나 전치를 누락하면 역행렬처럼 보이지 않는 plausible-looking 행렬을 얻을 수 있습니다.

위 행렬 $M$에 대한 코팩터 행렬과 역행렬은 다음과 같습니다.

For example, the second row of $M$ times the first column of $M^{-1}$ gives $(0+2-2)/5=0$, as required for entry $(2,1)$ of $I_3$. Check all nine entries.

역순으로 여러 연산 Undo하기

동일한 크기의 비특이 사각행렬에 대해, $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$입니다. 곱셈은 결합법칙이 성립하므로 $ABB^{-1}A^{-1}=I$입니다. 역순으로 처리하면 마지막 연산부터 제거됩니다. 이를 세 개의 인수로 확장합니다: $(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$. 행렬 방정식에서 올바른 쪽에 곱하십시오: $AXB=C$에서 양쪽 역행렬이 존재할 때 $X=A^{-1}CB^{-1}$를 얻습니다.

한 행렬을 다른 행렬을 통과시켜 이동시키는 일반적인 소거 규칙은 없습니다. 또한, $A$과 $B$이 사각형이 아니더라도 $AB$는 정사각형이고 특이(singular)할 수 있습니다. 행렬식을 계산하려 하기 전에 곱을 먼저 계산하십시오.

열로부터 평면 변환 구축하기

열 좌표에 대해, $\binom XY=T\binom xy$입니다. 첫 번째 열은 $(1,0)$의 이미지이고 두 번째 열은 $(0,1)$의 이미지입니다. 이들은 선형 변환을 결정하며, 원점은 고정됩니다. 회전, 반사, 확대, 신장 및 전단을 식별하십시오. 적절한 경우 중심, 축, 방향 및 인수를 명시하십시오. 비영향 변위는 이 열 좌표에 작용하는 $2\times2$ 행렬로 표현할 수 없는 평행이동입니다.

변형의 합성 및 영역 해석

$AB$ 곱하기는 먼저 $B$를 적용한 뒤, $A$를 적용합니다. $S=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ 신축이 $90^\circ$ 반시계 방향 $R$ 회전으로 이어지면 $RS=\begin{pmatrix}0&-1\\2&0\end{pmatrix}$가 됩니다. 순서를 역전하면 $SR=\begin{pmatrix}0&-2\\1&0\end{pmatrix}$가 됩니다. 영역 확대 배율은 $|\det T|$입니다. $\det T$의 부호는 면적이 음수인지 여부가 아니라, 방향이 반전되었는지 여부를 나타냅니다. 음수 확대 배율은 두 좌표 축 모두를 반전시키므로, 그 행렬식 $k^2$은 양수가 됩니다.

두 이미지 모두 면적이 2입니다. 행렬식의 부호가 서로 다릅니다: 면적 크기와 방향은 서로 다른 속성임을 의미합니다.

고정점을 구하는 방법

An invariant point keeps its own coordinates: $T\binom xy=\binom xy$. Solve $(T-I)\binom xy=\binom00$. The origin is always a solution; a line of fixed points requires more solutions than the origin alone. $T=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$에 대해, 방정식은 $x+y=0$로 단순화됩니다. $y=-x$ 위의 모든 점은 고정됩니다. 만약 $\det(T-I)\ne0$이라면, 원점이 유일한 불변점이며, 0인 경우 방정식을 풀어 실제 집합을 찾아야 합니다.

$T_\theta=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}R_\theta$에 대해 비영점 고정점을 찾으려면 다음이 필요합니다:

$0<\theta<2\pi$에서 $t=\tan(\theta/2)$을 대입하여 $\theta=\pi$을 확인합니다. 이때 수직선을 별도로 검사합니다. 그러면 $4t^2-2t=0$이 되어 $\theta=2\arctan(1/2)$을 얻습니다. 치환하면 $T_\theta-I=\frac15\begin{pmatrix}2&-1\\4&-2\end{pmatrix}$이 되므로 고정 직선은 $y=2x$입니다. 행렬식 조건만으로는 이 직선의 방정식을 알 수 없습니다.

점들은 이동하지만 직선 자체는 불변일 수 있다

An invariant line maps onto itself as a set. Its individual points may move along it. For the non-singular map $\binom XY=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\binom xy$, put $y=mx$ and require $Y=mX$ for every point on that line. 이것은 $bm^2+(a-d)m-c=0$을 얻게 합니다. 단순히 기울기가 아닌 직선의 방정식을 명시해야 하며, 수직선 $x=0$을 별도로 테스트해야 합니다: 유한한 기울기를 가정하면 이를 놓칠 수 있습니다.

$T=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}$에 대해 유한 기울기 방정식은 $-m-1=0$이므로 $y=-x$는 불변입니다. 수직선 $x=0$ 또한 불변입니다. 왜냐하면 $(0,y)\mapsto(0,3y)$이기 때문입니다.

$x=0$ 위의 영이 아닌 점은 고정되지 않습니다. 이 행렬에 대해 $(T-I)(x,y)^{\mathsf T}=0$을 풀면 원점만이 나오므로, 불변 직선과 고정점의 직선은 서로 다른 질문에 대한 답입니다.

원점에서 떨어진 직선 확인하기

직선 $y=mx+c$의 일반점을 $(X,Y)$에 대입하고 모든 $x$에 대해 $Y=mX+c$이 성립하도록 요구합니다. $x$의 계수와 상수항을 비교합니다. 수직선 $x=c$을 별도로 테스트합니다. 전단 transformation $H=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$의 경우, 모든 수평선 $y=c$은 불변입니다: $(x,c)\mapsto(x+2c,c)$. 오직 $y=0$만이 불변점의 직선입니다. $y=1$ 위에서 모든 점은 오른쪽으로 2 단위 이동합니다.

표시된 두 점은 y=1을 따라 이동하므로 선은 불변한다. y=0 위의 모든 점은 제자리에 남는다.

대수 계산 전에 조건 선택하기

먼저 과제가 합성, 역함수, 변환, 불변점 또는 불변직선 중 무엇을 요구하는지 식별합니다. 계산 전에 크기와 제한 조건을 명시하고 기하학적 변환을 완전히 서술합니다. 합성을 통해 역함수를 검증하고, $T\mathbf v=\mathbf v$을 통해 고정점을, 변환 후 방정식을 통해 불변직선을 검증합니다. 한 점의 수치적 검증만으로 전체 직선이 불변임을 증명할 수 없습니다.

단위 행렬이라고도 하는 신호행렬은 비특이 변환을 역전합니다. 특이 행렬은 역행렬을 가지지 않습니다. 기하 변환을 설명할 때 불변점과 불변선을 구분하십시오.

극 곡선은 반지름과 각도, 그리고 허용된 구간으로 묘사됩니다.

측정에 맞는 좌표계를 선택하십시오

레이더는 거리와 방향을 측정합니다. 극 좌표는 이를 수평 및 수직 거리인 카르테상 좌표 대신 $(r,\theta)$로 저장합니다. 레이더를 중심으로 하는 원의 방정식은 $r=a$처럼 간단합니다. 다른 원은 다른 방정식을 필요로 하므로, 극점의 선택이 여전히 중요합니다. 회전 대칭이 있어도 허용 구간은 곡선의 일부만 나타낼 수 있으므로 구간의 내용도 확인하십시오.

점의 위치를 지정하고 각도를 선택하십시오

극점은 원점이며, 초선은 양의 $x$축 방향으로 향합니다. 이 과정에서 $r\ge0$을 사용합니다. 각도는 초선으로부터 반시계 방향으로 측정하며, 미적분에서는 라디안을 사용하십시오. $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ 및 $r^2=x^2+y^2$로 변환하라. 역방향으로는 $r=\sqrt{x^2+y^2}$을 사용하고 사분면에 따라 선택된 각도를 사용하되, 단순히 $\arctan(y/x)$에만 의존하지 말라.

For $(-\sqrt3,1)$, $r=2$. An angle in $0\le\theta<2\pi$ is $5\pi/6$, not $-\pi/6$: the point lies in quadrant II. At the pole $r=0$, all angle descriptions name the same point, so the angle is not unique.

반지름은 거리이다. r이 음수가 아니더라도 그 수평 및 수평 성분이 음수가 될 수 있다.

방정식 변환 시 정의역을 유지하십시오

좌표 관계식을 방정식에 대입하여 정리한 후, $r$을 곱하거나 나눈 모든 단계를 확인하십시오. $r$으로 나누면 극점을 잃을 수 있으며, $r$를 곱하면 극점이 추가될 수 있습니다. $r=4\cos\theta$에 대해 $r$을 곱하면 $x^2+y^2=4x$가 되므로, 이는 $(x-2)^2+y^2=4$입니다. 이 원은 중심이 $(2,0)$이고 반지름이 $2$이며, $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$에서 한 번 그립니다. $4\cos\theta$의 음수 값은 $r\ge0$ 조건 아래에서 허용되지 않습니다.

직선 $x=2$는 $r\cos\theta=2$가 되거나, 또는 $r=2\sec\theta$에 $-\pi/2<\theta<\pi/2$가 추가됩니다. 이를 $r$로 곱하면 $r^2\cos\theta=2r$이 되는데, 이 경우에도 $r=0$가 허용되지만, 그 추가 점은 $x=2$ 위에 있지 않습니다.

특징을 바탕으로 스케치하십시오

극점과 초선, 명시된 각도 구간, 초선 위의 점, 최소/최대 반지름 및 극점 근처의 형태를 표시하십시오. 몇 가지 특수한 각도를 사용하여 곡선의 위치를 결정하면 되므로, 세부적인 점별 도형 작도는 불필요합니다. 방정식과 구간 모두를 사용하여 대칭성을 검증하십시오. $\theta$를 $-\theta$로 교체하여 초선에 대한 대칭성을 테스트하고, 각도 $\alpha$의 선에 대한 대칭성은 $\theta$을 $2\alpha-\theta$로 교체하여 테스트합니다. 대칭 공식이라도 비대칭 구간에서는 전체 스케치가 대칭이 될 필요가 없습니다.

$r=2(1+\cos\theta)$에 대해 $-\pi\le\theta\le\pi$인 경우, 이 곡선은 **심장곡선(cardioid)**입니다. 초기선에 대해 대칭이며, $\theta=0$에서 최대 반지름 $4$에 도달하고, $(0,\pm2)$에서 $y$축을 지나며, $\theta=\pm\pi$일 때 극점에서 뾰족한 끝(cusp)을 가집니다. 원이 아닌 하나의 닫힌 곡선입니다.

제한된 구간은 하나의 루프를 선택할 수 있습니다

$r^2$가 주어진 경우, 음이 아닌 제곱근을 취하여 실수인 구간을 확인하십시오. $r^2=\sin2\theta$에 대해 $0\le\theta\le\pi/2$ 구간일 때, 곡선은 극점에서 시작하여 극점에서 끝나며, 제1사분면에 머무르고 $\theta=\pi/4$에서 $r=1$에 도달합니다. $\sin(2(\pi/2-\theta))=\sin2\theta$에 의해 이 루프는 $\theta=\pi/4$에 대해 대칭입니다. $\theta=0$ 근처에서 $r^2\approx2\theta$이므로 초선을 따라 극점에서 빠져나가고, 다른 끝점 근처에서는 양의 $y$ 방향을 따라 극점으로 돌아옵니다.

*양쪽 끝점은 동일한 극점입니다. 최대 반지름은 대칭선 위에 있으며, 좌표축 중 어느 쪽에도 있지 않습니다.

극각 부위를 통해 면적을 구하십시오

얇은 부채꼴의 면적은 약 $\tfrac12r^2\,\Delta\theta$이다. 부채꼴들을 더하면 선택된 영역이 한 번 sweeps될 때 아래쪽 정확한 면적이 된다. $r$을 제곱하고, 인자 $1/2$를 유지하며 라디안 범위를 사용하라. 위의 루프에 대해, $r^2$은 이미 $\sin2\theta$입니다: 다시 제곱하지 마십시오. 끝점들이 경계를 제공하며, 암기된 완전 회전을 기준으로 하지 않습니다.

완전한 심장곡선 $r=a(1+\cos\theta)$에 대해서는 $(1+\cos\theta)^2$와 $\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2$를 사용하십시오. 총 면적은 $3\pi a^2/2$입니다.

두 곡선 사이의 영역 구하기

반지름이 같은 공통 선을 구하기 위해 방정식을 풀고, 극점을 별도로 확인하십시오. 각 구간에서 바깥쪽인 반지름을 식별하십시오. 방추형 띠의 면적은 $\tfrac12(r_{\rm outer}^2-r_{\rm inner}^2)\,d\theta$이며, 이는 반지름의 차의 제곱이 아닙니다. 제1사분면에서 $r=4\cos\theta$ 내부에 있지만 $r=2$ 외부에 있는 영역은 $0\le\theta\le\pi/3$ 위에 위치합니다. 전체 영역에는 아래쪽 대칭 부분도 포함되므로, 문제가 이를 요구할 때만 포함하십시오.

극점은 공통 점이 아닙니다: $r=2$는 절대 극점에 도달하지 않습니다. 한 곡선 위의 점은 다른 곡선 위에 있을 때만 교차점입니다.

극점에서 가장 먼 점이 반드시 가장 높은 점은 아님

극점까지의 거리는 $r$입니다. 극값을 구하려면 $r$의 허용된 끝점과 정지 값을 비교하거나, 또는 $r\ge0$일 때 $r^2$의 것을 비교하십시오. $r$가 가장 큰 점은 반드시 $x$나 $y$가 가장 크다는 보장은 없습니다. 제1사분면 점의 초기선까지의 거리는 $y=r\sin\theta$입니다. 미분하기 전에 구하고자 하는 거리를 먼저 표시한 후, 끝점을 확인하십시오. 다른 영역에서는 부호와 문제가 전체 직선을 의미하는지 반직선을 의미하는지를 고려하십시오.

$r=2\sin2\theta$과 $0\le\theta\le\pi/2$에 대해, 가장 큰 반지름은 $\theta=\pi/4$에서 $2$입니다. 그러나,

$u=\cos\theta$을 쓰면 $0\le u\le1$에 대해 $y=4u(1-u^2)$이 됩니다. 이 값의 최대치는 $u=1/\sqrt3$에서 발생하여 다른 각도에서 $y_{\max}=8/(3\sqrt3)$을 줍니다. 두 끝점 모두 $y=0$을 줍니다.

낯선 극곡선의 적분

극방정식이 반드시 특정 이름이 붙은 원이나 심형선일 필요는 없습니다. $r=\theta e^{\theta/2}$이 $0\le\theta\le\pi$일 때, 반지름은 $0$에서 $\pi e^{\pi/2}$로 증가합니다. 곡선은 극점에서 시작하여 반바퀴(π)를 반시계 방향으로 돌아서 음의 $x$축에서 끝납니다. 극점에서 swept되는 영역은 곡선과 끝점 선으로 경계를 이룹니다. 그 면적은 $\tfrac12\int_0^\pi\theta^2e^\theta\,d\theta$입니다. 부분적분을 두 번 수행하면 정확한 값을 얻을 수 있으므로, 최대 반지름을 가진 원의 면적으로 대체하지 마십시오.

한계 선택 전에 영역을 읽으십시오

비음수 반지름 규칙과 허용된 각도를 명시하고, 중요한 특징을 스케치하며, 방정식 변환 시 잃어버리거나 새로 생성된 극점에 대해 검토해 두십시오. 면적을 구할 때는 영역을 식별하고 한 번 sweep하십시오. 최대 거리를 구할 때는 최적화할 식이 $r$, $x$, $y$인지 아니면 지정된 직선까지의 거리인지 결정하십시오. 정지 값뿐만 아니라 끝점도 확인하십시오.

벡터는 크기 및 방향 모두를 나타냅니다.

공간에서 가장 짧은 안전한 경로 찾기

드론이 평평한 지붕에 가장 짧은 경로로 접근해야 합니다. 케이블이 만나는 두 레일을 연결해야 합니다. 이들은 서로 다른 기하학 문제입니다: 먼저 관련된 점, 선, 평면을 식별하십시오. 단순 방향으로는 완전한 직선이 되지 않습니다. 단순 거리로는 끝점을 위치시키지 못합니다. ** 벡터积**와 스칼라积를 사용하여 기하학적 구조를 구성한 후 검증하십시오.

질문에 답하는 곱을 선택하십시오

스칼라积는 $\mathbf u\cdot\mathbf v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$입니다. 0이 아닌 벡터의 경우 이는 $|\mathbf u||\mathbf v|\cos\theta$에 해당하므로, 0인 스칼라积는 수직인 방향을 식별합니다. 영벡터는 방향이나 정의된 각도가 없습니다. 벡터积는 반교환법칙을 따르며, 순서를 바꾸면 부호가 반대됩니다. 그 크기는 $|\mathbf u||\mathbf v|\sin\theta$으로, 벡터가 이루는 평행사변형의 면적입니다. 삼각형은 이 면적의 절반입니다. 비평행 입력에 대해, $\hat{\mathbf n}$은 순서대로 된 곱의 방향에 대한 단위 법선 벡터입니다.

$\mathbf u=(1,1,0)$ 및 $\mathbf v=(0,1,1)$에 대해,

교차 곱은 모든 입력과 영 스칼라 곱을 가지며 크기는 $\sqrt3$입니다. 평행 벡터는 영 교차 곱을 가지므로 고립된 평면에 대한 법선 방향을 제공할 수 없습니다. 비교를 위해, $(1,1,0)$과 $(1,-1,0)$은 영 스칼라 곱을 가지며 수직입니다.

평면의 세 가지 형태를 읽으십시오

법선 벡터는 평면 내 모든 방향에 수직인 0이 아닌 벡터이다. 데카르트 형식 $ax+by+cz=d$은 스칼라 곱 형식 $\mathbf r\cdot\mathbf n=d$이며, $\mathbf n=(a,b,c)$가 포함된다. 단위 법선은 $\mathbf n/|\mathbf n|$이다. 법선이 단위 벡터가 아닌 한, 숫자 $d$은 일반적으로 원점으로부터의 거리가 아니다. In $\mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf b+\mu\mathbf c$, $\mathbf a$ locates a point and the non-parallel vectors $\mathbf b,\mathbf c$ give directions in the plane. The parameters vary independently. Parallel direction vectors describe only a line, not a plane.

법선 $(2,-1,3)$을 가지며 점 $(1,0,2)$을 지나는 평면은 다음과 같습니다.

우변을 포함한 모든 계수에 같은 0이 아닌 상수를 곱하면 동일한 평면이 됩니다.

매개변수 평면을 데카르트 형식으로 변환하기

두 방향 벡터의 외적을 취하여 법선을 구한 후, 알려진 점을 사용하여 상수를 결정한다: $\mathbf n\cdot\mathbf r=\mathbf n\cdot\mathbf a$. 주어진 세 점이 있을 경우, 그중 하나로부터 두 변위 벡터를 먼저 구성한다. 파라메트릭 방정식으로 돌아가려면, 두 좌표를 자유 변수로 선택하고 나머지 하나를 구하여 고정점과 두 방향 항을 분리하라. 두 방향 모두 법선(normal)과의 스칼라 곱이 0인지 확인하라.

지지(For)

법선은 $(1,-1,1)$이며, 이는 $x-y+z=3$을 의미합니다. 반대로 $x=1+\lambda$와 $z=2+\mu$를 설정합니다. 직교좌표 방정식은 $y=\lambda+\mu$를 주며, 원래의 매개 형식을 복원합니다.

해결하기 전에 직선과 평면을 분류하기

$\mathbf r=\mathbf a+t\mathbf u$을 $\mathbf n\cdot\mathbf r=d$에 대입한다. 만약 $\mathbf n\cdot\mathbf u\ne0$라면 교점은 하나이며, 아래 매개변수를 통해 구할 수 있다. 다시 대입하여 실제 점을 구한다. 만약 $\mathbf n\cdot\mathbf u=0$이라면 기본점을 테스트한다. $\mathbf n\cdot\mathbf a=d$일 때 전체 직선이 평면 위에 있습니다; 그렇지 않으면 평행하며 별개이다. 0으로 나누는 것은 이 구분을 가릴 수 있다.

평면 $x-y+z=3$에 대해, 선 $\mathbf r=t(1,0,1)$은 $2t=3$일 때 $(3/2,0,3/2)$에서 만나고, 선 $(1,0,2)+t(1,1,0)$는 평면에 포함됩니다. 선 $t(1,1,0)$은 점들이 $x-y+z=0$을 만족하기 때문에 평행하여 별개의 위치입니다.

수선의 발 찾기

점 $P$에서 평면으로 내린 발 $H$는 $P$를 지나는 법선 위에 있습니다. $\mathbf h=\mathbf p-t\mathbf n$을 작성하고 평면 방정식에 대입한 후, $t$를 구하여 풀으십시오. 부호는 법선을 따라 이동할 방향을 결정합니다. Verify both conditions: $H$ lies in the plane and $\overrightarrow{PH}$ is parallel to its normal. Merely finding some point in the plane does not make it the nearest point.

$P=(3,0,3)$에서 $x-y+z=3$까지 $\mathbf n=(1,-1,1)$를 사용합니다:

Thus $t=1$ and $H=(2,1,2)$. It satisfies $2-1+2=3$, and $\overrightarrow{PH}=(-1,1,-1)$ is parallel to the normal.

점-평면 거리 측정하기

최단 거리는 변위의 법선 방향 성분이다. 0이 아닌 법선에 대해 분자의 절댓값을 사용하여 음이 아닌 거리를 얻으며, 평면 상수를 거리 기호와 혼동하지 말아야 한다. 평면 방정식을 0이 아닌 상수에 곱하면 분자와 분모가 같은 크기로 변화하여 거리는 그대로 유지된다. 분자가 0이면 이미 점이 평면 위에 있음을 의미한다.

$P=(3,0,3)$과 $x-y+z=3$에 대해 $D=|6-3|/\sqrt3=\sqrt3$입니다. 이는 위의 $\overrightarrow{PH}$의 길이와 일치합니다. 원점에서 평면까지의 거리도 $|3|/\sqrt3=\sqrt3$이지만, 이들은 다른 점-평면 문제입니다.

평면 각도를 위해 법선 사용하기

The smaller angle between two planes is the smaller angle between their normal directions, with $0\le\alpha\le\pi/2$. The absolute scalar product removes the choice of normal direction: $\mathbf n$ and $-\mathbf n$ describe the same plane. 직선과 평면 사이의 각도 $\phi$은 방향과 법선 사이의 각도의 여각이다. 직선-평면 각도에 사인을 사용하며, $0\le\phi\le\pi/2$를 적용하고 두 방향 벡터가 0이 아닌지 확인한다.

평면 $x-y+z=3$과 $x+y+z=5$의 법선은 내적 $1$와 길이 $\sqrt3$을 가지므로, $\alpha=\arccos(1/3)\approx70.5^\circ$입니다. 방향 $(1,0,1)$인 직선은 첫 번째 평면과 각도 $\phi=\arcsin(2/\sqrt6)\approx54.7^\circ$를 이룹니다. 코사인을 사용하면 법선과의 각도를 얻게 됩니다.

두 평면의 교점 찾기

비평행 법선에 대해, 교점 방향은 $\mathbf n_1\times\mathbf n_2$이다. 두 평면 방정식을 연립하여 공통점을 찾고, 점 plus 매개변수 times 방향의 완전한 직선 방정식을 제시한다. 법선이 평행하면, 동일한 스케일 인자를 사용하여 상수를 비교한다: 평면은 일치하거나 평행하며 별개이다. 0인 외적은 교점 방향을 제공할 수 없다.

$x-y+z=3$을 $x+y+z=5$에서 빼어 $y=1$를 얻고, 다시 $x+z=4$을 구합니다. 공통점은 $(4,1,0)$입니다. 법선의 외적은 $(-2,0,2)$이므로, 등가인 교차 직선은

이 직선 위의 모든 점은 두 평면 방정식을 만족하므로, 미간소화된 방향 벡터를 사용할 필요는 없습니다.

두 직선이 비평행 비교면인지를 판별하기

비평행 직선은 평행하지도 않고 교차하지도 않습니다. $\mathbf r=\mathbf a+s\mathbf u$과 $\mathbf r=\mathbf b+t\mathbf v$에 대해 방향을 비교하고, 비평행이면 세 개의 좌표 방정식을 모두 풀어 교점을 구하십시오. 서로 다른 두 직선 매개변수를 사용해야 합니다. $\mathbf u\times\mathbf v\ne0$일 때, 두 직선이 한 평면 위에 있는 것은 정확히 $(\mathbf b-\mathbf a)\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)=0$일 때입니다. 0이 아닌 값은 두 직선이 비평행임을 증명합니다. 평행직선에 비평행 거리 분모를 적용하지 마십시오.

이 도식도는 x축과 높이 2에서의 y축 평행 선을 사용합니다. 두 직선 간의 최단 거리를 가지는 점은 동일한 x, y 좌표를 가지므로, 이를 연결하는 선분의 길이는 2입니다.

가장 짧은 비평행 비교면 거리 계산하기

비평행 직선에 대해 $\mathbf u\times\mathbf v$는 두 직선 모두에 수직입니다. 기준점 사이의 변위 벡터를 이 방향에 투영하십시오. 크로스 곱의 0이 아닌 모든 배수는 동일한 거리를 줍니다. 아래 공식은 거리를 주지 shortest 선분의 위치를 주지는 않습니다. 평행직선에는 $|(\mathbf b-\mathbf a)\times\mathbf u|/|\mathbf u|$을 사용하고, 교차하는 비평행직선에는 분자가 0입니다.

다음과 같이 가정합니다.

두 벡터의 외적은 $(1,-1,1)$이고 기준점의 변위는 $(1,2,2)$입니다. 이 변위의 외적과의 스칼라 곱은 $1$이므로, 두 직선은 이방직이며 거리는 $D=1/\sqrt3$입니다.

공통 수선의 위치 찾기

$P=\mathbf a+s\mathbf u$와 $Q=\mathbf b+t\mathbf v$이라 합시다. 가장 짧은 연결선들은 $(\mathbf q-\mathbf p)\cdot\mathbf u=0$과 $(\mathbf q-\mathbf p)\cdot\mathbf v=0$을 만족해야 합니다. 이 두 연립방정식을 매개변수에 대해 풀십시오. 공통 수선을 점 $P$을 지나 방향 $\mathbf u\times\mathbf v$인 직선으로, 또는 점 $Q$을 지나 동일한 방향으로 주십시오. 원본 두 직선 모두와 만나는지, 그리고 선분 길이가 거리 공식과 일치하는지 확인하십시오. 임의의 점을 지나는 수선 방향만으로는 충분하지 않습니다.

위 두 직선에 대하여,

수직 조건에 의해 $2s-t=3$과 $s-2t=4$이 결정되므로, $s=2/3$과 $t=-5/3$을 구할 수 있습니다. 따라서

공통 수선입니다. $k=1/3$에서 $Q$에 도달하며, $|PQ|=\sqrt3/3$는 $1/\sqrt3$과 일치합니다.

기하학적 조건 확인하기

법선은 0이 아니어야 하며, 평면은 두 독립적인 방향을 필요로 하고, 킴 거리(distant)의 분모는 평행하지 않은 직선을 요구한다. 거리 방정식을 제곱하기 전에 파라미터 제한을 명시하라; 절대값은 여러 유효한 값을 줄 수 있다. 제시된 점의 평면에 대입하고, 두 평면 모두에서 교차 직선을 확인하며, 공통 수선에 대한 두 직교성 방정식을 검증하십시오. 이러한 확인 절차가 결과를 기하학적으로 해결하게 되는 이유를 설명합니다.

이 방법을 사용한 증명은 수학적 귀납법입니다.

반복 가능한 규칙은 반드시 시작점이 있어야 합니다

첫 몇 가지 양수에 대해 패턴을 확인하는 것만으로는 무한한 경우를 증명할 수 없습니다. 수학적 귀납법은 첫 번째로 참인 명제와 다음 명제에 도달하는 규칙을 결합합니다. 기본 단계는 사슬의 시작점입니다. 귀납 단계는 짧은 표의 다음 숫자뿐만 아니라 임의의 허용 가능한 정수에 대한 조건부 연결을 증명합니다.

증명하고자 하는 것을 정확히 서술하기

명제 $P(n)$와 integers 범위를 $n_0$에서 시작하여 쓰십시오. 적절하면 주어진 시작 조건을 사용하여 $P(n_0)$을 직접 확인하십시오. 그리고 임의의 정수 $k\ge n_0$에 대해 $P(k)$을 가정하고, 그 가정을 사용하여 $P(k+1)$을 유도하십시오. 귀납적 가정(inductive hypothesis) 은 임시적이고 가감적이며, 모든 정수에 대해 결과가 성립한다고 가정하지는 않는다. 검증된 기초 사례와 일반적인 연결이 함께 $n\ge n_0$에 있는 모든 정수에 대해 $P(n)$이 성립함을 결론지을 수 있다.

$k+1$을 증명하려 할 때 이를 전제로 하지 마십시오. $P(k+1)\Rightarrow P(k)$만을 보여주는 것은 잘못된 함의를 줍니다. 역산술은 계획 수립에 도움이 될 수 있으나, 증명은 효한 순방향 논리 또는 합리적인 동치 관계의 사슬을 요구합니다.

항등식이나 수열에서 새로운 항을 더하기

유한 합에 대해 $k+1$ 합의 마지막 항을 분리합니다. 가설을 사용하여 첫 번째 $k$ 항만 교체하고, $n=k+1$를 포함하는 식으로 정리하십시오. 초기 사례, 정확한 가설 및 최종 결론을 제시하십시오. $k+1$의 합 공식만을 인용하는 줄은 인과 관계를 확립하지 못한 것입니다.

양수 정수 $n$에 대해 $\sum_{r=1}^{n}r(r+1)=n(n+1)(n+2)/3$를 증명하십시오.

$n=1$에서 양변은 모두 $2$과 같습니다. 공식이 $n=k$에 대해 성립한다고 가정하십시오. 그러면

이는 필요한 $k+1$ 공식이므로, 귀납法에 의해 모든 양의 정수에 대해 결과가 도출됩니다.

나누어 떨어지는 정수 배수 노출하기

표현식이 비영정 수 $m$로 나누어 떨어짐을 증명하려면 이를 정수 $m$의 배수로 나타내십시오. 귀납 단계에서 가설된 나누어 떨어지는 표현식을 분리하고 나머지 모든 항이 또한 $m$의 배수임을 보이십시오. $k$ 표현식의 편리한 배수와 연속된 표현식 간의 차이도 도움이 됩니다. 정수 배수인자를 명시하십시오; "직관적으로 나누어 진다"는 말은 가설 사용 누락을 숨길 수 있습니다.

$F_n=10^n-4^n$라고 합시다. $n=1$에서 $F_1=6$입니다. 정수 $q$에 대해 $F_k=6q$가 성립한다고 가정하십시오. 그러면

대괄호는 정수입니다. 따라서 $6$는 $F_{k+1}$을 나누며, 귀납법으로 모든 양수 정수 $n$에 대해 결과가 증명됩니다.

재귀 공식을 활용하여 다음 단계로 진행하기

재귀 공식은 $u_k$에서 $u_{k+1}$로 넘어가는 합법적인 방법입니다. 제안된 닫힌 형식이 올바른 첫 항을 갖는지 확인하고, 그 $k$ 버전을 재귀 공식에 대입하여 정리하십시오. Do not insert the proposed $k+1$ formula into the recurrence and call it a proof unless you establish a reversible equivalence with the known $k$ formula. The clearest route starts from the given recurrence.

$u_1=2$와 $u_{n+1}=3u_n+2$이라고 가정합시다. 주장은 $u_n=3^n-1$입니다. $n=1$에서 참입니다. $u_k=3^k-1$를 가정하면,

이는 계산된 첫 번째 항들 $2,8,26$뿐만 아니라 모든 양수 정수에 대해 제안된 폐쇄형을 증명합니다.

상한 유지 및 분모 부호 확인하기

회귀 관계가 포함된 부등식에 대해서는, 부호를 통제할 수 있는 식에 가정을 대입하라. 부등식을 보존하기 위해 이를 사용하기 전에 분모가 양수임을 명시하라. 때로는 필요한 가정에 두 가지 경계가 포함되어 있다. 두 경계 모두 단계에서 살아남음을 증명하라. 한 경계가 모든 항에 대해 확립되면, 답을 가정하지 않고도 나중의 단조성 논증을 정당화할 수 있다.

$u_1=1$와 $u_{n+1}=(4u_n+3)/(u_n+2)$이라고 합시다. $0<u_n<3$를 증명하십시오.

첫 번째 항은 두 부등식을 모두 만족합니다. 만약 $0<u_k<3$라면, $u_{k+1}$의 분자와 분모는 양수입니다. 또한,

따라서 $0<u_{k+1}<3$입니다. 귀납법에 의해, 모든 양수 정수 $n$에 대해 $0<u_n<3$이 성립합니다. 확립된 상한들은 이후

따라서 이 수열은 증가한다. 마지막 추론은 입증된 경계를 사용하며, 해당 증명을 대체하지 않는다.

행렬의 거듭제곱 공식 다항법을 통해 증명하기

한 행렬의 거듭제곱에 대해 $M^{k+1}=M^kM$을 처리하십시오. $M^k$에 대한 제안된 표현식을 대입하고, 행과 열을 곱하여 모든 성분이 $k+1$ 형태임을 보이십시오. 행렬의 거듭제곱은 각 요소를 거듭제곱하여 구하지 않습니다. 또한, $M$과 $M^2$에서 확인된 공식은 임의의 $k$ 단계가 증명되기 전까지는 증거에 불과합니다.

$M=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$에 대해 다음을 주장한다.

$n=1$의 경우 자체는 $M$이다. $k$ 가설을 사용하여,

Therefore the formula holds for all positive integers by induction. The separate $n=0$ case is $M^0=I$, which also fits this formula.

도함수의 패턴 추측 및 증명하기

추측은 증거에 의해 제안된 문장이지, 이미 확립된 정리와 다릅니다. 몇 개의 도함수를 계산하여 패턴을 찾고, 시작 값이 $n$인 것을 정확히 표현하십시오. $n$차 도함수 공식에 대해 가설된 $k$차 도함수를 한 번 더 미분하십시오. 올바른 패턴은 귀납 단계에서 실제 미분과 정리를 요구합니다.

$f(x)=xe^{2x}$의 첫 번째 미분값은 $e^{2x}(2x+1)$, $e^{2x}(4x+4)$, $e^{2x}(8x+12)$이다. 다음과 같이 도형한다.

첫 번째 미분은 기본 사례를 제공한다. $k$ 공식에 대해 미분하면,

이는 요구되는 $k+1$ 미분값이 된다. 따라서 도형은 모든 양의 정수 $n$에 대해 참이다.

문장의 도함수 순서에 맞추기

주장된 공식이 도함수 순서 $2n$에 대한 것이라면, $n$을 1 증가시키면 도함수 순서가 2 증가합니다. 귀납 단계에서는 두 번 미분해야 합니다. 대수 계산 시작 전에 도함수 순서를 세십시오. 교대 부호와 $n$에 의존하는 계수를 각각 추적하십시오. 특정 짝수 차수에 대한 문장은 모든 도함수 차수에 대한 문장으로 자동 전환되지 않습니다.

$f(x)=x\sin x$에 대해 다음을 주장한다.

$n=1$에서 $f''(x)=2\cos x-x\sin x$이 되어야 할 조건을 만족한다. 가정된 $2k$ 공식에 대해 한 번 더 미분하면 $(-1)^k\{x\cos x+(2k+1)\sin x\}$이 되고, 두 번째 미분으로,

미분 순서 $2(k+1)$까지 단계를 완성한다. 따라서 공식은 귀납법에 의해 모든 양의 정수 $n$에 대해 성립한다.

Turn a short trial into a factorial conjecture

**계승함수(factorial)**는 양의 정수 $n$에 대해 $n!=1\cdot2\cdots n$이며, $0!=1$이다. 일부 부분합은 이동된 계승함수를 시사할 수 있으나, 그 패턴이 일반 귀납 단계를 견뎌내야 한다. Compute the first terms carefully and look for a simple expression after adding or subtracting a constant. When a question asks for induction, present that proof even if a direct telescoping argument is also available.

$S_n=\sum_{r=1}^{n}r\,r!$에 대해, 첫 번째 합은 $1,5,23,119$입니다. $1$를 더하면 $S_n=(n+1)!-1$을 시사합니다.

$n=1$에서 양변은 모두 $1$과 같습니다. $k$에 대한 공식이 성립한다고 가정할 때,

따라서 귀납法에 의해 추측은 모든 양의 정수에 대해 성립합니다. 등식 $r\,r!=(r+1)!-r!$도 합이 어떻게 수렴하는지를 설명하지만, 초기 값만 나열하는 것만으로는 증명이 되지 않습니다.

주장이 실제로 적용되는 첫 값에서 시작하라

주장은 $n=4$ 또는 명시된 다른 정수에서 시작할 수 있다. 해당 초기 cases를 증명하고, $k$이 허용된 범위에 있음을 가정하라. 모든 양의 정수로 도메인을 무심코 대체하지 마라. $2^n\ge n^2$과 $n\ge4$에 대해, 기본 cases는 $16=16$이다. $k\ge4$에 대한 $2^k\ge k^2$을 가정하면, 해당 범위 내에 있는 $2k^2-(k+1)^2=(k-1)^2-2>0$ 때문에 $2^{k+1}\ge2k^2\ge(k+1)^2$가 성립한다. 따라서 귀납은 모든 정수 $n\ge4$에 대해 명시된 주장을 증명한다.

이 사슬은 4부터 시작하는 명시된 범위를 증명합니다. 실제로 n=3은 실패합니다. 왜냐하면 8이 9보다 작기 때문입니다; 시작점은 주장의 일부입니다.

함의와 결론을 검증하라

모든 식이 정의되었음을 확인하며, 전방 향으로 다음 cases를 증명하는 데 가설이 사용되었는지 확인하라. 검증된 기본 cases와 역함의 함의만으로는 이후 정수에 대한 주장을 입증할 수 없다. 결론과 연결을 맞추어라: $P(k)\Rightarrow P(k+1)$은 모든 후속 정수에 도달하지만, $k$에서 $k+2$로의 연결은 단일 기초로부터 하나의 parity(짝/홀)만 도달한다. 그 연결로 두 parity를 모두 커버하려면 두 개의 시작 사례가 필요하다.

문장 $P(n): n\le5$은 경고합니다. $P(1)$은 참이고 양의 정수에 대해 $P(k+1)\Rightarrow P(k)$은 참이지만, $P(6)$은 거짓입니다. 역함의는 필요한 전방 단계 대신될 수 없습니다.

• 다항식을 풀기보다 근과 계수의 관계(합, 쌍의 합, 곱)를 사용하십시오.
• 수학적 귀납법 증명에서는 기본 단계(base case)를 설정하고, $n = k$에 대해 결과가 참이라고 가정한 후, $n = k+1$에 대해 증명한 뒤 명확한 결론 문장을 작성하십시오.
• 유계함수 그래프와 그 점근선 및 변곡점을 스케치하십시오; **차분법(method of differences)**을 사용하여 급수를 구하십시오.
• 행렬에 대해行列식, 역행렬, 불변직선을 알고, 각 변환을 기하학적으로 해석할 수 있어야 합니다.