学習目標 7.1.A： 単純調和運動を説明せよ。
- 7.1.A.1 単純調和運動は周期運動の特別なケースである。
- 7.1.A.2 物体に作用する復元力の大きさが、その物体の平衡位置からの変位に比例する場合、SHMが生じる。
- 導出された式: $ma_x = -k\Delta x$
- 7.1.A.2.i 復元力とは、物体の平衡位置からの変位の方向と逆向きに作用する力のことである。
- 7.1.A.2.ii 平衡位置とは、物体または系に作用する合力がゼロとなる位置である。
振動
AP物理学C：力学 · トピック 7
8:14
振動
科学博物館で、真鍮の球が非常に長いワイヤに吊るされている。それはマークされた床の上で一日中振り揺れ、触れずにいる。各振動は前回のものと同じ時間がかかる…
英語ナレーション・英語＋中文字幕 burning-in
7.1
単振動の定義
シラバス
出典: College Board AP コースおよび試験説明書
単純調和運動（SHM） は周期的運動の特別なケースです。以下の2つが満たされる場合に現れます：合力がゼロである平衡位置が存在すること、および物体をずらすことで復元力が生じることです。この復元力は平衡位置に向かう方向を向いており、その大きさは変位に比例します：
$$F=-k\,\Delta x.$$
ニュートンの第二法則により、定義的な微分方程式が得られます：
$$\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{k}{m}\,x=-\omega^2 x,\qquad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.$$
その解は正弦波状であり、$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$ です。この解を証明する必要はありません。方程式を認識できれば十分です。「$\ddot{x}=-\omega^2x$」に従って運動するシステムであれば、何から作られているかに関わらず、それは単純調和振動子です。（垂直なバネに質量がぶら下がっている場合も同じ原理が働きます：重力は平衡点をシフトさせるだけであり、その周囲での振動自体は変わりません。）
7.2
SHMの周波数と周期
シラバス
学習目標 7.2.A： SHMを示す物体の振動数と周期を説明せよ。
- 7.2.A.1 調和振動（SHM）の周期は、物体の運動の角振動数 $\omega$ と以下の式で関係している：
- 式: $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{1}{f}$
- 7.2.A.1.i 物体-理想ばね振動子の周期は次の式で与えられる
- 数式: $T_s = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}.$
- 7.2.A.1.ii 小角度でずれた単振り子の周期は次の式で与えられる
- 数式: $T_p = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}.$
出典: College Board AP コースおよび試験説明書
角周波数 $\omega$ は周期と周波数を決定します：
$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{f}.$$
2つの標準的なシステムについて：
$$T_{\text{spring}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\qquad T_{\text{pendulum}}=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}.$$
2つの古典的な概念上の罠があります。SHMの周期は必ず振幅に依存せず、また各システムには明らかな変数が無視されています。単振動の周期に質量は含まれず、バネの周期に $g$ （バネ定数）は含まれません。（バネ-ブロック系は軌道上でも正確な時間を保ちますが、振り子時計は保ちません。）
探索
振り子の周期を計測する
振り子の 周期 は長さや重力加速度に依存し、質量や（小さな）振幅には依存しない：$T=2\pi\sqrt{L/g}$。長くすると各振り子の時間も長くなる。
7.3
SHMの表現と解析
シラバス
学習目標 7.3.A： SHMを示す物体の変位、速度、加速度を説明せよ。
- 7.3.A.1 SHMを示す物体の変位は、平衡位置からの距離として以下の式$x = A\cos(2\pi ft)$または$x = A\sin(2\pi ft)$で表せる。
- 7.3.A.1.i 変位、速度、加速度の極小値、極大値、およびゼロ点は、調和運動の特徴である。
- 7.3.A.1.ii SHMの変位、速度、加速度が極値またはゼロをとる位置や時刻を認識することは、運動の挙動を定性的に説明する手助けとなる。
- 7.3.A.2 調和振動をする物体の位置の時間関数は、ニュートンの第二法則を適用して導かれた二階微分方程式の解である。
- 導出された式: $\dfrac{d^2 x}{dt^2} = -\omega^2 x$
- 7.3.A.3 速度や加速度などの調和振動の特徴は、式 $x = A\cos(\omega t + \phi).$ を用いて決定したり導出したりできる。
- 7.3.A.3.i 調和振動をする物体の加速度は、その物体の角振動数および位置と関連している。
- 導出された数式: $a = -\omega^2 x$
- 7.3.A.3.ii 調和振動をする物体の最大速度および最大加速度は、その物体の運動の角振動数と関連していることが示せる。
- 導出される式: $v_{\max} = A\omega$
- $a_{\max} = A\omega^2$
- 7.3.A.3.i 調和振動をする物体の加速度は、その物体の角振動数および位置と関連している。
- 7.3.A.4 正弦波状の外乱力が作用する場合、系は共鳴を示すことがある。
- 7.3.A.4.i 共鳴とは、外部力が振動する系の固有振動数で加わったときに生じる現象である。
- 7.3.A.4.ii 共鳴は振動運動の振幅を増大させる。
- 7.3.A.4.iii 系の固有振動数とは、系が平衡位置からずれた際に振動する周波数のことである。
- 7.3.A.5 調和振動をする系の振幅を変更しても、その周期は変わらない。
- 7.3.A.6 調和振動の性質は、グラフ表現を用いて決定・分析できる。
境界文: AP Physics C: Mechanicsでは、学生には調和振動を表す二階微分方程式の解を知り、かつ調和振動を識別できることを期待するのみであり、その解が正しいことを数学的に証明することを要求しない。
出典: College Board AP コースおよび試験説明書
$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$ を二回微分します：
$$v=-A\omega\sin(\omega t+\phi),\qquad a=-A\omega^2\cos(\omega t+\phi)=-\omega^2x.$$
したがって、振り子の端（$x=\pm A$）では速度がゼロで加速度が最大になります。一方、平衡点（$x=0$）を通過する際は加速度がゼロで速度が最大となり、$v_{\max}=A\omega$ です。振幅 $A$ と位相定数 $\phi$ は初期条件によって決まります：すなわち、物体の初期位置と初期速度です。$t$ を消去する（または以下のようにエネルギーを用いる）ことで、位置に対する速度の式が得られます：
$$v=\pm\,\omega\sqrt{A^2-x^2}.$$
** worked example.** $0.50\ \text{kg}$ の質量が $k=200\ \text{N/m}$ のスプリングに接続されています：$\omega=\sqrt{k/m}=20\ \text{rad/s}$、$T=2\pi/\omega=0.31\ \text{s}$。$A=0.10\ \text{m}$ のとき、平衡点では $v_{\max}=A\omega=2.0\ \text{m/s}$、$x=0.050\ \text{m}$ の位置では速度は $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}=20\sqrt{0.10^2-0.050^2}=1.7\ \text{m/s}$ です。
7.4
単調振動系のエネルギー
シラバス
学習目標 7.4.A： SHMを示す系の機械的エネルギーを説明せよ。
- 7.4.A.1 SHMを示す系の全エネルギーは、系の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和である。
- 関連する式: $E_{\text{total}} = U + K$
- 7.4.A.2 エネルギー保存則は、SHMを示す系の全エネルギーが一定であることを示唆する。
- 7.4.A.3 SHMを示す系の運動エネルギーは、系のポテンシャルエネルギーが最小のときに最大となる。
- 7.4.A.4 SHMを示す系のポテンシャルエネルギーは、系の運動エネルギーが最小となる時に最大となる。
- 7.4.A.4.i SHMを示す系の最小運動エネルギーはゼロである。
- 7.4.A.4.ii SHMを示す系の振幅を変化させると、系の最大ポテンシャルエネルギーおよびしたがって系の全エネルギーも変化する。
- ばね-物体系に関する式: $E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$
出典: College Board AP コースおよび試験説明書
振動子の全エネルギーは和 $E=U+K$ であり、摩擦がない場合は一定です。エネルギーはバネのポテンシャルエネルギーと質量の運動エネルギーの間で往復して交換されます：
$$E=\tfrac12kA^2=\tfrac12kx^2+\tfrac12mv^2.$$
端（$K=0$ の場所）ではすべてポテンシャルエネルギー、平衡点（$U$ が最小となる場所）ではすべて運動エネルギーです。$E\propto A^2$ であるため、振幅を倍にするとエネルギーは四倍になります。
演習問題。 エネルギーが半分ずつに分かれるのはどこか？ $\tfrac12kx^2=\tfrac12E=\tfrac14kA^2$ と置くことで、$x=A/\sqrt2\approx0.71A$ が得られます——これは端よりも中央に近い位置です。上記のシステム（$A=0.10\ \text{m}$）の場合：$x=0.071\ \text{m}$ です。
外力を与えずに置けば、システムは自身の固有振動数で振動します（$k$ と $m$ で決まり、$f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$）。その固有振動数と同じ周波数の周期性の力を加えて駆動すると、振幅は劇的に増大します——これを共振と呼びます。タイミングよく押す力が、減衰によるエネルギー損失よりも速くエネルギーを加え続けるため、駆動周波数が $f_0$ に一致したときに駆動された振幅が鋭利にピークに達します（タイムに合わせてこぐ揺り、風によって揺れる橋など）。
探索
SHM で運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを交換する
単振動 において、運動エネルギー（中心で最大）とポテンシャルエネルギー（端で最大）の間でエネルギーが往復し、総量は一定である。
7.5
単純振り子と物理振り子
シラバス
学習目標 7.5.A: 物理振り子の性質を説明せよ。
- 7.5.A.1 物理振り子とは、固定軸のまわりで振動する剛体である。
- 7.5.A.2 小振幅の運動において、物理振り子の周期は回転形ニュートンの第二法則を適用することで導出される。
- 関連する式: $T_{\text{phys}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{mgd}}$
- 7.5.A.2.i 平衡位置からずれると、重力が物理振り子の重心に働くことで復元トルクが生じる。
- 導出された数式: $\tau = -mgd\sin\theta$
- 7.5.A.2.ii 小振幅の運動において、復元トルク对小角度近似适用可能である。
- 導出された数式: $\sin\theta \approx \theta$
- $\tau = -mgd\theta = I\alpha$
- 7.5.A.2.iii 小角度近似および回転形ニュートンの第二法則は、調和振動を表す二階微分方程式を導く：
- 数式: $\dfrac{d^2\theta}{dt^2} = -\omega^2\theta$
- 7.5.A.3 単振り子は、吊り下げられた物体を支点からの距離 $l$ にある質点としてモデル化できるという、物理振り子の特別なケースである。
- 関連する式: $T_p = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$
- 7.5.A.4 ねじり振り子は、復元トルクが回転する系の角変位に比例する調和振動の一例である。例えば、重心に接続されたワイヤーで水平に吊り下げた円盤は、ワイヤーまわりの水平面内で回転振動を行うことがある。
- 導出された式: $I\alpha = -k\Delta\theta$
出典: College Board AP コースおよび試験説明書
物理振り子とは、固定支点のまわりで揺れる任意の剛体です。角度 $\theta$ だけずらし、重心に働く重力（支点からの距離が $d$ ）が復元モーメントを生じます。
$$\tau=-mgd\sin\theta.$$
小角度近似 $\sin\theta\approx\theta$ を適用し、回転形ニュートンの第二法則（$\tau=I\alpha$ ）を用います：
$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{mgd}{I}\,\theta=-\omega^2\theta\quad\Rightarrow\quad T_{\text{phys}}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}.$$
これは以前と同じ「$\ddot\theta=-\omega^2\theta$ 」のパターンです——これを認識することが導出そのものです。単純振り子は、軽い紐に点質量がついている特別なケースです：$I=m\ell^2$ と $d=\ell$ から $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ が得られます。
演習問題。 均質な棒（質量 $M$ 、長さ $L$ ）が一端から揺れる：$I=\tfrac13ML^2$、$d=\tfrac{L}{2}$ なので
$$T=2\pi\sqrt{\frac{\tfrac13ML^2}{Mg\,\tfrac{L}{2}}}=2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}$$
— 長さが $L$ の単純振り子より短くなります。なぜなら、棒の質量は支点に近い位置にあるからです。
ねじれ振り子——ひもに吊るされた円板がねじれる装置——も再度SHMとなります。ひもの復元モーメントはねじれ角度 $I\alpha=-\kappa\,\Delta\theta$ に比例するため、$T=2\pi\sqrt{I/\kappa}$ が得られます。
試験スキル。 どの振り子のFRQも同じ3つのステップを求めます：支点に関する復元モーメントを書き出し、小角度近似を適用し、その結果を $\ddot\theta=-\omega^2\theta$ に当てはめて $\omega$ を読み取ります。小角度近似のステップを明示的に述べてください——これが採点ポイントであり、かつ大振幅の振動が単純調和運動ではない理由でもあります。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| Simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/ | 単振動 |
| periodic motion/ˌpɪərɪˈɒdɪk ˈməʊʃn/ | 周期運動 |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | 平衡 |
| restoring force/rɪˈstɔːrɪŋ fɔːs/ | 復元力 |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 微分方程式 |
| angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/ | 角周波数 |
| period/ˈpɪərɪəd/ | 周期の変化率である |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | 振動数 |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | 振幅 |
| phase constant/feɪz ˈkɒnstənt/ | 位相定数 |
| natural frequency/ˈnætʃərəl ˈfriːkwənsi/ | 固有振動数 |
| resonance/ˈrezənəns/ | 共振 |
| physical pendulum/ˈfɪzɪkl ˈpendjʊləm/ | 物理振り子 |
| small-angle approximation/smɔːl ˈæŋɡl əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | 小角近似 |
| simple pendulum/ˈsɪmpl ˈpendjʊləm/ | 単振動の振り子 |
| torsion pendulum/ˈtɔːʃn ˈpendjʊləm/ | ねじれ振動子 |
7.5
試験対策
- 線形復元力 $F=-kx$ によるSHM（調和振動）の特定、これにより $\tfrac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2 x$ が得られ、$\omega=\sqrt{k/m}$ となる。
- 解 $x=A\cos(\omega t+\phi)$ を書き出し、微分して $v,a$ を求めます。周期 $T=\tfrac{2\pi}{\omega}$ は振幅に依存しません。
- エネルギーは $\tfrac12 kx^2$ と $\tfrac12 mv^2$ の間で交換され、全エネルギー $\tfrac12 kA^2$ は一定である。
- 振り子については、小角度近似 $\sin\theta\approx\theta$ を用いてSHMに到達します。
- 初期条件に位相を合わせる：最大変位の位置から静止状態で解放された場合はコサインを使います。
このトピックのインタラクティブ授業
一歩ずつ進め、即時チェック付きの問題で学習します。