Cakupan dan prasyarat
Berdasarkan kerangka kerja Digital SAT. Tugas kertas ini tidak adaptif dan tidak memprediksi skor berskala.
- Temukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan melengkapkan kuadrat sempurna
- Konversi sudut pusat dan hitung panjang busur serta luas juring
- Gunakan hubungan tangen, sudut keliling, dan lingkaran satuan
Prasyarat: Melengkapkan kuadrat sempurna; jari-jari; radian; rasio segitiga siku-siku.
Jelaskan dan pilih metode
Lingkaran dengan pusat (h,k) dan jari-jari r memenuhi (x-h)²+(y-k)²=r². Untuk persamaan yang telah dijabarkan, lengkapkan kuadrat sempurna terhadap x dan y, lalu tambahkan konstanta penyeimbang ke sisi lain. Sisi kanan hasil akhirnya harus positif untuk membentuk lingkaran riil yang tidak terdegenerasi. Jaga agar jari-jari berbeda dari kuadratnya.
Sudut pusat θ dalam radian memberikan panjang busur rθ dan luas juring r²θ/2. Dalam derajat, gunakan pecahan θ/360 dari keliling penuh atau luas lingkaran. Satu putaran penuh adalah 2π radian=360°. Rumus rθ dan r²θ/2 memerlukan satuan radian; memasukkan derajat tanpa konversi akan menghasilkan skala yang salah.
Tangen pada titik lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari di titik tersebut. Sudut keliling adalah setengah dari sudut pusat yang menghadap busur yang sama; sudut yang menghadap diameter adalah sudut siku-siku. Identifikasi busur bersama dan pusat yang sebenarnya sebelum menerapkan pernyataan ini. Tali busur bukanlah tangen dan tidak perlu tegak lurus terhadap jari-jari kecuali kondisi lebih lanjut menegaskannya.
Pada lingkaran satuan, titik pada sudut θ memiliki koordinat (cos θ,sin θ), sehingga cos²θ+sin²θ=1. Tanda bergantung pada kuadran. Untuk sudut komplementer lancip, sin θ=cos(90°-θ). Gunakan segitiga khusus untuk nilai eksak: pada 30°, sinus bernilai 1/2 dan kosinus √3/2; pada 45°, keduanya bernilai √2/2.
Lengkapi kedua kuadrat sempurna dalam persamaan lingkaran. $x^2+y^2+6x-8y=0$ menjadi $(x+3)^2+(y-4)^2=25$. Pusatnya adalah $(-3,4)$ dan jari-jarinya adalah 5. Panjang busur hanya $s=r\theta$ untuk sudut radian $\theta$.
Contoh penyelesaian. x²+y²-4x+6y-12=0 dapat diubah menjadi (x-2)²+(y+3)²=25, memberikan pusat (2,-3) dan jari-jari 5. Untuk jari-jari 6 dan sudut pusat π/3, panjang busurnya adalah 2π dan luas juringnya 6π. Sudut yang disisipkan pada busur 60° yang sama besarnya adalah 30°. Pada 150°, cosinus adalah -√3/2 dan sinus 1/2 karena titik tersebut berada di kuadran II.
Bahan latihan
Setiap soal latihan di bawah ini menyatakan semua data yang dibutuhkannya.
Latihan dengan penalaran
Latihan 1
Tentukan pusat dan jari-jari $x^2+y^2-8x+2y+8=0$. Apakah $(7,-1)$ terletak pada lingkaran tersebut?
Penalaran. Kuadratkan sempurna untuk mendapatkan $(x-4)^2+(y+1)^2=9$. Pusat $(4,-1)$, jari-jari 3. Substitusi $(7,-1)$ menghasilkan $3^2+0^2=9$, sehingga titik tersebut terletak pada lingkaran.
Latihan 2
Sebuah juring memiliki jari-jari 8 cm dan sudut 135°. Tentukan sudutnya dalam radian, panjang busur, dan luasnya. Sudut yang terinskripsi di tempat lain pada lingkaran memotong busur yang sama; tentukan besar sudut tersebut.
Penalaran. $\theta=135\pi/180=3\pi/4$ radian. $s=r\theta=(8\,\mathrm{cm})(3\pi/4)=6\pi\,\mathrm{cm}$. $A=r^2\theta/2=(8\,\mathrm{cm})^2(3\pi/4)/2=24\pi\,\mathrm{cm^2}$. Sudut keliling adalah setengah dari sudut pusat: 67.5 derajat.
Latihan 3
Sebuah titik pada lingkaran satuan berada di kuadran III dan memiliki nilai $y=-1/2$. Tentukan koordinat-$x$-nya dan satu sudut antara 0° dan 360°.
Reasoning. $x^2+y^2=1$ gives $x^2=3/4$. Quadrant III requires $x<0$, so $x=-\sqrt3/2$. The point is at 210 degrees, with reference angle 30 degrees.
Batasan dan penggunaan selanjutnya
Periksa satuan derajat/radian, tanda pusat, dan apakah suatu sudut adalah sudut pusat atau sudut terkeliling sebelum menerapkan rumus.
Ini adalah tugas latihan orisinal yang ditulis khusus untuk kursus ini, bukan soal ujian resmi.