LM.1 · Counting statistics, uncertainty and dimensional models

Detektor dengan efisiensi sepuluh persen tidak mencatat tepat sepuluh foton dari setiap seratus. Penghitungannya berfluktuasi bahkan dengan efisiensi yang stabil.

Prasyarat: 47.

• Gunakan rata-rata dan fluktuasi penghitungan binomial serta Poisson
• Propagasi ketidakpastian kecil dengan asumsi korelasi yang dinyatakan
• Selesaikan batasan eksponen dimensi dan periksa satuan suatu model

Untuk N partikel insiden independen yang masing-masing dideteksi dengan probabilitas p, jumlah X bersifat binomial: rata-rata Np dan varians Np(1−p). Simpangan baku adalah sqrt[Np(1−p)], bukan varians itu sendiri. Dengan N besar dan p kecil, pendekatan Poisson memiliki rata-rata λ=Np dan varians λ, sehingga simpangan sqrt(λ). Untuk N=200 dan p=0.05, rata-rata eksak adalah 10 dan simpangan sqrt(9.5)≈3.08, sementara Poisson memberikan sqrt(10)≈3.16. Tidak ada model yang menjanjikan jumlah tetap. Deteksi yang berkorelasi atau waktu mati dapat membatalkan independensi.

Untuk fungsi terukur halus y(x1,…), linearisasikan perubahan menggunakan turunan parsialnya. Ketidakpastian standar kecil independen digabungkan secara kuadratur: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Input yang berkorelasi memerlukan suku silang kovarians. Untuk y=x^a, ketidakpastian standar relatif kira-kira |a|σ_x/|x|. Maka energi kinetik K=½mv² dengan ketidakpastian massa yang dapat diabaikan memiliki ketidakpastian relatif dua kali kecepatan. Dengan ketidakpastian massa independen, gabungkan (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². Pendekatan ini memerlukan kesalahan kecil dan model linear lokal yang sesuai.

Sebaran acak mengukur presisi; bias kalibrasi umum mempengaruhi akurasi dan tidak hilang dengan mengulang pengukuran. Untuk pembacaan berulang yang independen, ketidakpastian standar rata-rata menurun sebagai 1/sqrt(n), tetapi kesalahan sistematis bersama tidak. Ketidakpastian sebaran fisik dan ketidakpastian estimasi rata-ratanya adalah besaran yang berbeda. Nyatakan apakah persentase yang dikutip merupakan ketidakpastian standar, interval kepercayaan, atau batas kasus terburuk. Menjumlahkan kontribusi absolut adalah batas konservatif, bukan aturan kuadratur kesalahan standar independen.

Analisis dimensi menyamakan pangkat massa, panjang, dan waktu, bukan ukuran numerik. Untuk bentuk panjang Planck G^a $\hbar$^b c^d, dimensinya adalah [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T dan [c]=L/T. Memerlukan panjang menghasilkan −a+b=0, 3a+2b+d=1 dan −2a−b−d=0. Oleh karena itu a=b=1/2 dan d=−3/2, sehingga panjang adalah sqrt(G$\hbar$/c³). Analisis dimensi tidak dapat menentukan koefisien tak berdimensi sembarang atau membuktikan bahwa konstanta yang dipilih secara fisik memadai. Tolak rumus dengan satuan yang salah sebelum memasukkan angka.

Untuk ketidakpastian standar kecil yang independen dalam $K=mv^2/2$, lakukan diferensiasi terlebih dahulu.

Dengan ketidakpastian relatif 3% pada massa dan 2% pada kecepatan, Batas kasus terburuk akan menggunakan penjumlahan, bukan kuadratur ini. Korelasi memerlukan suku kovarians.

Jangan bingung antara jumlah rata-rata dengan jumlah terjamin, varians dengan simpangan baku, atau kesalahan standar acak dengan bias kalibrasi. Konsistensi dimensi diperlukan tetapi tidak cukup.

ketidakpastian standar: Ketidakpastian yang dinyatakan sebagai simpangan baku di bawah model pengukuran yang dinyatakan.

pendekatan Poisson: Model penghitungan peristiwa jarang yang independen dengan varians sama dengan rata-ratanya.