C.10 · Diferensiasi implisit dan Jacobian invers

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Aturan rantai, invers matriks, dan hipotesis invers lokal.

• Mendifferensiasikan sistem implisit coupled sebagai sistem linear
• Menggunakan determinan Jacobian nonzero untuk memjustifikasi invers lokal
• Membedakan turunan parsial invers dari aturan resiprokal skalar

Matriks Jacobian: Matriks dari turunan parsial pertama dari peta bernilai vektor.

kebalikan lokal: Kebalikan yang didefinisikan pada lingkungan titik input dan output tertentu.

Untuk pemetaan terdiferensialkan F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)), Jacobian-nya adalah J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. Perubahan kecil memenuhi [dx,dy] (transpose)=J[du,dv] (transpose) hingga orde pertama. Untuk menemukan u_x dengan menahan y tetap, turunkan kedua persamaan definisi terhadap x: f_u u_x+f_v v_x=1 dan g_u u_x+g_v v_x=0. Ini merupakan sistem linear yang saling terkait, bukan dua aturan invers skalar yang independen.

Jika f dan g terdiferensialkan kontinu di sekitar titik tersebut dan det J=f_u g_v−f_v g_u tidak nol di sana, teorema fungsi invers menyediakan kebalikan lokal yang terdiferensialkan. Turunannya adalah J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. Dengan demikian u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J dan v_y=f_u/det J. Evaluasi setiap turunan pada titik yang sesuai. Kebalikan lokal belum tentu dapat diperluas menjadi kebalikan global.

Untuk persamaan implisit H(u,v,x,y)=0 dan K(u,v,x,y)=0, turunkan sambil menahan koordinat bebas yang diminta. Selesaikan [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x] (transpose)=−[H_x,K_x] (transpose). Determinan dalam variabel tak diketahui u,v harus tidak nol untuk menggunakan teorema fungsi implisit biasa. Tanda di ruas kanan berasal dari memindahkan turunan yang diketahui ke sisi lain. Jika determinan bernilai nol, teorema ini tidak dapat menyimpulkan; hal itu sendiri tidak membuktikan bahwa tidak ada invers atau solusi implisit yang ada.

Pintasan skalar du/dx=1/(dx/du) berlaku untuk invers satu variabel dengan turunan tidak nol, tetapi biasanya gagal untuk sistem yang saling terkait karena v berubah untuk menjaga y tetap. Untuk x=u+v,y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] memiliki determinan 1 dan invers [[2,−1],[−1,1]]. Oleh karena itu u_x=2 sementara 1/f_u=1. Jacobian invers mengubah sensitivitas diferensial; integral perubahan variabel sebaliknya menggunakan determinan absolut untuk penskalaan luas atau volume, bukan entri invers yang dipilih.

Ambil x=u²+v dan y=u−v. Pada (u,v)=(1,0), outputnya adalah (1,1), dan J=[[2,1],[1,−1]] memiliki determinan −3. Inversnya adalah [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], sehingga u_x=1/3 dan v_y=−2/3 di sana. Mengalikan J dengan invers ini menghasilkan identitas. Resiprokal 1/f_u=1/2 bukan u_x karena mengubah u juga mengharuskan mengubah v agar y tetap.

Turunkan kedua persamaan dan nyatakan output mana yang dipertahankan tetap. Determinan nonzero menjamin invers lokal di bawah hipotesis keteraturan; determinan nol bukanlah pembuktian ketidakmungkinan. Gunakan entri invers untuk sensitivitas dan determinan absolut untuk integrasi.

Misalkan $x=u^2+v,y=u-v$. Pada $(u,v)=(1,0)$, temukan Jacobian invers dan empat turunan parsial invers. Periksa melalui perkalian.

Penyelesaian terarah

Output yang sesuai adalah $(1,1)$. Jacobian adalah $J=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ dengan determinan -3, tidak nol. Turunan parsial kontinu memberikan kebalikan lokal yang terdiferensialkan. Maka

Baca baris sebagai (u_x,u_y) dan (v_x,v_y), semuanya pada output (1,1). Perkalian menghasilkan identitas. Secara khusus $u_x=1/3$, bukan $1/x_u=1/2$: v berubah untuk menjaga y tetap.

Untuk $F(u,v)=(u^2-v^2,2uv)$, tentukan apakah turunannya dapat dibalik jauh dari titik asal dan apakah F secara global injektif pada bidang yang dikurangi titik asalnya. Apa yang ditetapkan oleh determinan nol di titik asal itu sendiri?

Periksa setelah mencoba

$\det DF=4(u^2+v^2)>0$ jauh dari nol, sehingga teorema fungsi invers menyediakan kebalikan lokal di setiap titik seperti itu. Namun $F(u,v)=F(-u,-v)$, sehingga ia tidak secara global injektif pada bidang yang dikurangi titik asalnya. Determinan yang hilang di nol berarti teorema ini tidak dapat menjamin kebalikan lokal yang terdiferensialkan di sana. Hal itu sendiri bukan bukti umum bahwa tidak ada kebalikan himpunan-teoretis lokal yang dapat ada untuk peta mana pun; misalnya, peta kubik skalar adalah bijektif meskipun turunan nol di nol.