Diferensiasi implisit dan Jacobian invers
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| local inverse/ˈləʊkl ɪnˈvɜːs/ | invers lokal |
| Jacobian matrix/dʒæˈkəʊbɪən ˈmeɪtrɪks/ | matriks Jacobian |
Keputusan sebelum jawaban
- Dua koordinat output dapat masing-masing bergantung pada kedua input. Pemulihan sensitivitas input kemudian memerlukan inversi seluruh matriks turunan, alih-alih membalikkan satu entri.
- Tujuan Anda: Turunkan sistem implisit yang saling terkait sebagai sistem linear.
Bacalah hubungannya
- Untuk peta yang terdiferensiasi F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)), Jacobian-nya adalah J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. Perubahan kecil memenuhi [dx,dy]ᵀ=J[du,dv]ᵀ hingga orde pertama. Untuk mencari u_x sambil mempertahankan y tetap, turunkan kedua persamaan definisi terhadap x: f_u u_x+f_v v_x=1 dan g_u u_x+g_v v_x=0. Ini adalah sistem linear yang saling terkait, bukan dua aturan invers skalar yang independen.
- Gunakan determinan Jacobian yang nonzero untuk membenarkan invers lokal.
For x=u+v,y=u+2v, what is u_x when y is held fixed?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The inverse matrix of [[1,1],[1,2]] is [[2,−1],[−1,1]]. Its top-left entry is u_x=2.
Gunakan aturan penentu
- Jika f dan g terdiferensiasi kontinu di sekitar titik tersebut dan det J=f_u g_v−f_v g_u nonzero di sana, teorema fungsi invers menyediakan invers lokal yang terdiferensiasi. Turunannya adalah J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. Dengan demikian u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J dan v_y=f_u/det J. Evaluasi setiap turunan pada titik yang sesuai. Invers lokal tidak perlu diperluas menjadi invers global.
- Bedakan turunan parsial invers dari aturan resiprokal skalar.
J=[[2,1],[1,−1]]. What is v_y in the inverse derivative matrix?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
det J=−3. The bottom-right inverse entry is 2/(−3)=−2/3.
Periksa syarat-syaratnya
- Untuk persamaan implisit H(u,v,x,y)=0 dan K(u,v,x,y)=0, turunkan sambil mempertahankan koordinat bebas yang diminta. Selesaikan [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x]=−[H_x,K_x]ᵀ. Determinan pada variabel tak diketahui u,v harus nonzero untuk menggunakan teorema fungsi implisit biasa. Tanda di ruas kanan berasal dari memindahkan turunan yang diketahui ke sisi lain. Jika determinan bernilai nol, teorema ini tidak konklusif; hal itu sendiri tidak membuktikan bahwa tidak ada invers atau solusi implisit yang ada.
- Bedakan turunan parsial invers dari aturan resiprokal skalar.
Ambil x=u²+v dan y=u−v. Pada (u,v)=(1,0), outputnya adalah (1,1), dan J=[[2,1],[1,−1]] memiliki determinan −3. Inversnya adalah [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], sehingga u_x=1/3 dan v_y=−2/3 di sana. Mengalikan J dengan invers ini menghasilkan identitas. Resiprokal 1/f_u=1/2 bukan u_x karena mengubah u juga mengharuskan mengubah v agar y tetap.
The determinant of J=[[2,1],[1,−1]] is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Compute 2·(−1)−1·1=−3.
Terapkan format tugas
- Singkatan skalar du/dx=1/(dx/du) berlaku untuk invers satu-peubah dengan turunan nonzero, tetapi biasanya gagal untuk sistem yang saling terkait karena v berubah untuk mempertahankan y tetap. Untuk x=u+v,y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] memiliki determinant 1 dan invers [[2,−1],[−1,1]]. Oleh karena itu u_x=2 sementara 1/f_u=1. Jacobian invers mentransformasikan sensitivitas diferensial; integral perubahan variabel sebaliknya menggunakan determinan absolut untuk penskalaan luas atau volume, bukan entri invers yang dipilih.
- Bedakan turunan parsial invers dari aturan resiprokal skalar.
Turunkan kedua persamaan dan nyatakan output mana yang dipertahankan tetap. Determinan nonzero menjamin invers lokal di bawah hipotesis keteraturan; determinan nol bukanlah pembuktian ketidakmungkinan. Gunakan entri invers untuk sensitivitas dan determinan absolut untuk integrasi.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Mendiferensialkan sistem implisit耦合 sebagai sistem linear
A zero Jacobian determinant proves that the underlying map has no inverse of any kind.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The usual differentiable inverse theorem is inconclusive. For example (u,v)↦(u³,v) is bijective but has zero determinant at u=0 and an inverse not differentiable there.
Jaga pembedaan
- matriks Jacobian — Matriks turunan parsial pertama dari peta bernilai vektor.
- invers lokal — Invers yang didefinisikan pada lingkungan suatu titik input dan output tertentu.
- Turunkan sistem implisit yang saling terkait sebagai sistem linear.
- Gunakan determinan Jacobian yang nonzero untuk membenarkan invers lokal.
- Bedakan turunan parsial invers dari aturan resiprokal skalar.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.