Faktorisasi LU dan nulitas peta komposisi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| forward substitution/ˈfɔːwəd ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | substitusi maju |
| nullity/ˈnʌlɪti/ | nullitas |
Keputusan sebelum jawaban
- Faktorkan matriks sekali, lalu selesaikan banyak sistem dengan sisi kanan yang berbeda. Manfaatnya datang dari dua penyelesaian segitiga; membalik urutan keduanya akan memberikan hasil yang salah.
- Tujuan Anda: Selesaikan sistem linear terfaktorkan dengan substitusi maju dan mundur.
Bacalah hubungannya
- Faktorisasi A=LU menyatakan matriks persegi sebagai matriks segitiga bawah L dan segitiga atas U. Dengan diagonal satuan pada L, substitusi maju menjadi sangat sederhana. Matriks yang dapat dibalik tidak selalu menerima bentuk ini tanpa pertukaran baris; pivot utama nol dapat memerlukan permutasi. Untuk PA=LU, selesaikan Ly=Pb, lalu Ux=y. Permutasi bertindak di sisi kanan maupun pada matriks koefisien. Pivot utama principal yang tak nol membenarkan eliminasi tanpa pertukaran biasa, bukan hanya invertibilitas semata.
- Terapkan permutasi baris secara konsisten ketika pivoting diperlukan.
For the stated unit-diagonal L and b=(−1,−1,12), what is the second coordinate of y solving Ly=b?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
y₁=−1 and the second row is 2y₁+y₂=−1. Therefore y₂=1.
Gunakan aturan penentu
- Dalam Ly=b, hitung y dari atas ke bawah, kurangkan suku-suku yang sudah diketahui; bagi dengan diagonal saat ini kecuali nilainya satu. Dalam Ux=y, hitung x dari bawah ke atas. Untuk setiap persamaan, substitusikan kembali ke baris asli sebagai pengecekan. Menggunakan kembali LU untuk banyak sisi kanan menghindari pengulangan eliminasi: faktorisasi padat membutuhkan kerja orde kubik dalam dimensi, sedangkan setiap penyelesaian segitiga membutuhkan kerja orde kuadrat. Arithmetic eksak dapat memeriksa contoh kecil; pivoting numerik mengurangi beberapa masalah pembulatan tetapi tidak dapat menghilangkan ketidakkondisian inherent.
- Batasi dimensi kernel dari komposisi menggunakan irisan image-kernel.
A,B are maps R⁶→R⁶ with nullity A=2 and nullity B=3. What range is possible for nullity of A∘B?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nullity B contributes 3, and im B∩ker A has dimension from 0 to 2 in this ambient space.
Periksa syarat-syaratnya
- Untuk B:V→W dan A:W→Z, ker B terkandung dalam ker(A∘B), namun yang terakhir bisa lebih besar. Vektor tambahan adalah mereka yang dipetakan oleh B ke dalam ker A. Batasi B pada ker(A∘B): gambarannya adalah im Bker A dan kernelnya adalah ker B. Rank-nullity pada pemetaan terbatas ini memberikan dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A). Irisan tersebut, bukan seluruh kernel A, menentukan nullitas tambahan.
- Batasi dimensi kernel dari komposisi menggunakan irisan image-kernel.
Misalkan L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]], U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]], dan b=(−1,−1,12). Substitusi maju memberi y=(−1,1,8). Substitusi mundur memberi x₃=2, x₂=(1−4)/3=−1, dan x₁=(−1−(−1)+2)/2=1. Oleh karena itu x=(1,−1,2). Mengalikan Ux memberi y dan mengalikan Ly memberi b, memeriksa urutan faktorisasi secara independen.
In the example, the last U equation is 4x₃=8. The value of x₃ is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Back substitution begins with the last row, giving x₃=8/4=2.
Terapkan format tugas
- Untuk endomorfisme R⁶ dengan nullitas A=2 dan nullitas B=3, rank B=3 dan dimensi irisan dapat berkisar antara 0 hingga 2. Dengan demikian nullitas A∘B berkisar dari 3 hingga 5. Batasan bergantung pada ruang perantara umum: untuk subruang berdimensi r dan s dalam ruang berdimensi m, irisan mereka memiliki dimensi antara max(0,r+s−m) dan min(r,s). Membalik komposisi dapat mengubah nullitasnya, meskipun AB dan BA keduanya terdefinisi. Pilih ruang yang kompatibel sebelum menerapkan rumus-rumus ini.
- Batasi dimensi kernel dari komposisi menggunakan irisan image-kernel.
Selesaikan dengan L terlebih dahulu dan U kedua, serta permute b jika PA=LU. Nullitas komposisi tidak otomatis merupakan jumlah dari dua nullitas; hanya irisan image-kernel yang menambah nullitas B.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Menyelesaikan sistem linear terfaktorisasi dengan substitusi maju dan mundur
Every invertible matrix has an LU factorisation with unit lower triangular L without row exchanges.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The invertible matrix [[0,1],[1,0]] has a zero first pivot and cannot have that no-exchange unit-lower LU form. A row permutation repairs the pivot order.
Jaga pembedaan
- substitusi maju — Menyelesaikan sistem segitiga bawah dari persamaan pertamanya ke bawah.
- nullitas — Dimensi kernel dari peta linear.
- Selesaikan sistem linear terfaktorkan dengan substitusi maju dan mundur.
- Terapkan permutasi baris secara konsisten ketika pivoting diperlukan.
- Batasi dimensi kernel dari komposisi menggunakan irisan image-kernel.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.