Q.L-algebra · Algebra: domains, systems, inequalities and functions

Praktik kelas asli dalam jenis tugas tes singkat yang ditinjau. Ini tidak mensimulasikan tes adaptif atau memprediksi skor skala atau tulisan.

• Selesaikan persamaan sambil mempertahankan pembatasan penyebut dan radikal
• Analisis ketaksamaan dan kondisi simultan tanpa kehilangan titik akhir
• Evaluasi fungsi dan terjemahkan hubungan verbal menjadi aljabar

domain restriction: Syarat yang mengidentifikasi input di mana ekspresi asli terdefinisi.

simultaneous solution: Nilai yang memenuhi setiap relasi dalam sistem secara bersamaan.

Tulis batasan sebelum memanipulasi persamaan. Penyebut harus berbeda dari nol; akar genap real memerlukan argumen nonnegatif. Mencoret faktor hanya mempertahankan ekspresi pada domain aslinya. Pengkuadratan dapat memperkenalkan kandidat karena kuadrat menghilangkan informasi tanda; verifikasi setiap kandidat dalam relasi tak-dikuadratkan.

Menyelesaikan sistem membutuhkan pasangan berurutan yang sama untuk memenuhi semua relasi. Substitusi atau eliminasi dapat mengungkapkan satu, tidak ada, atau tak hingga banyak solusi linear. Untuk ketaksamaan, perkalian atau pembagian dengan bilangan negatif membalikkan arah. Untuk ketaksamaan kuadrat terfaktor, urutkan akar dan uji tanda interval, termasuk titik akhir hanya jika kesamaan diperbolehkan.

Fungsi menetapkan satu output untuk setiap input yang diizinkan. Evaluasi fungsi dalam terlebih dahulu dalam komposisi, pertahankan batasan domain. Baca kemiringan sebagai perubahan output per unit input dan intersep sebagai output pada input nol hanya ketika input tersebut bermakna. Model verbal harus menamai variabel dan menjaga kuantitas dalam satuan yang kompatibel.

Untuk Perbandingan Kuantitatif, pertahankan semua nilai yang diizinkan. Variabel dengan x²=4 bisa −2 atau 2 kecuali dibatasi. Satu contoh penyangkal dapat menolak hubungan universal; beberapa substitusi menguntungkan tidak dapat membuktikannya untuk setiap nilai real. Struktur aljabar dapat menetapkan hubungan tanpa pengambilan sampel numerik menyeluruh.

Untuk √(x+2)=x, x≥0. Mengkuadratkan menghasilkan x²−x−2=0, kandidat 2 dan −1. Hanya 2 yang memenuhi yang asli. Untuk (x−1)(x−4)≤0, kuadrat terbuka ke atas bernilai nonpositif pada 1≤x≤4, termasuk akar-akarnya. Dalam sistem x+y=10, x−y=2, penjumlahan menghasilkan 2x=12; x=6 dan y=4. Untuk f(t)=2t+1 dan g(x)=x², f(g(3))=2·9+1=19, menerapkan g terlebih dahulu.

Persamaan yang ditransformasi menyediakan kandidat, bukan solusi asli otomatis. Pengali ketaksamaan negatif dan titik akhir ketat memerlukan pemeriksaan eksplisit.

Selesaikan $(x^2-4)/(x-2)=5$ pada domain real aslinya. Selesaikan $(x+1)(x-3)\le0$ dan temukan $f(g(2))$ untuk $f(t)=t^2$, $g(x)=x-3$.

Model dan penalaran

Persamaan rasional mengecualikan x=2. Untuk x yang diizinkan, ia disederhanakan menjadi x+2=5, menghasilkan x=3, yang substitusinya benar. Kuadrat tak positif di antara akarnya, termasuk akar-akar tersebut: $-1\le x\le3$. Komposisi menerapkan g terlebih dahulu: $g(2)=-1$ dan $f(g(2))=1$. Mencoret faktor tidak mengembalikan input yang dikecualikan.

Untuk a real, klasifikasikan sistem $x+y=4$, $2x+ay=8$ sebagai memiliki satu, tidak ada, atau tak hingga banyak solusi. Bandingkan dengan persamaan kedua $2x+ay=9$. Berikan solusi dalam setiap kasus konsisten.

Periksa setelah mencoba

Kurangi dua kali persamaan pertama. Dalam sistem pertama $(a-2)y=0$: untuk a tidak sama dengan dua, y=0,x=4, secara unik. Untuk a=2, kedua persamaan adalah relasi yang sama, memberikan setiap pasangan $(4-t,t)$. Tidak ada kasus inkonsisten dalam sistem pertama ini. Dengan sisi kanan sembilan, $(a-2)y=1$. Untuk a tidak sama dengan dua, $y=1/(a-2)$ dan $x=4-1/(a-2)$, secara unik. Untuk a=2 hal ini mensyaratkan 0=1, sehingga tidak ada solusi. Baris koefisien nol berarti inkonsistensi hanya jika sisi kanannya tidak nol.