Q.A-number · Arithmetic: divisibility, remainders and multiplicative change

Praktik kelas asli dalam jenis tugas tes singkat yang ditinjau. Hal ini tidak mensimulasikan tes adaptif atau memprediksi skor terstandarisasi atau skor menulis. Formulir publik resmi sebelumnya tetap merupakan latihan terbuka; versi dan sumber teks tulisan mereka tetap berlaku.

• Gunakan faktorisasi prima untuk keterbagian, faktor persekutuan terbesar, dan kelipatan persekutuan terkecil
• Interpretasikan sisa dengan pembagi aslinya
• Gabungkan rasio dan perubahan persentase dengan total rujukan yang benar

kelipatan persekutuan terkecil: Bilangan bulat positif terkecil yang habis dibagi oleh setiap bilangan bulat positif yang diberikan.

sisa: Jumlah nonnegatif yang tersisa setelah pembagian dengan bilangan bulat positif, lebih kecil daripada pembagi tersebut.

Bilangan bulat yang habis dibagi d dapat ditulis dk; sisa r memberikan dk+r dengan 0≤r<d untuk pembagi positif. Faktorisasi prima mengidentifikasi keterbagian dan kelipatan bersama. Faktor persekutuan terbesar mengambil pangkat prima bersama pada eksponen terkecilnya; kelipatan persekutuan terkecil mengambil setiap pangkat prima yang diperlukan pada eksponen terbesarnya.

Jaga sifat ganjil/genap dan positif/negatif terpisah. Hasil kali dua bilangan ganjil adalah ganjil; hasil kali dengan bilangan genap adalah genap. Pernyataan tentang bilangan bulat tidak harus berlaku untuk bilangan real. Untuk perbandingan kuantitatif, manfaatkan bentuk sisa untuk mengungkapkan kemungkinan kasus daripada menganggap contoh positif terkecil sebagai satu-satunya nilai.

Rasio a:b mengalokasikan keseluruhan menjadi a+b bagian yang sama ketika kelompok-kelompok melengkapinya. Perubahan persentase mengalikan nilai asli dengan 1+r atau 1−r dengan r dinyatakan sebagai desimal. Perubahan berturut-turut mengalikan faktor. Perhitungan sebagian-sebagian mengubah kelompok rujukan pada setiap tahap; labelkan penyebut sebelum mengalikan.

Estimasi besaran dan periksa pembatasan bilangan bulat setelah menyelesaikan. Pecahan, akar, dan eksponen negatif mengikuti pembatasan domain biasa mereka; akar genap mewakili nilai utama nonnegatif. Jangan mencoret suku dalam penjumlahan seolah-olah itu adalah faktor. Aritmatika tepat bisa lebih cepat dan aman daripada entri kalkulator desimal.

Diketahui: $18=2\cdot3^2$ dan $24=2^3\cdot3$. Pangkat persekutuan yang lebih kecil menghasilkan FPB enam; pangkat yang dibutuhkan menghasilkan KPK tujuh puluh dua. Jika $n=5k+2$, maka $2n=5(2k)+4$, sehingga sisa pembagian dengan lima adalah empat.

Untuk harga model 100 CNY yang diturunkan lalu dinaikkan sebesar 20%, kalikan kedua perubahan tersebut:

Harga tidak pulih karena persentase kedua menggunakan basis yang berbeda.

Membagi 250 dalam rasio 2:3 menghasilkan 100 dan 150: masing-masing dari lima bagian adalah lima puluh.

Kenaikan dan penurunan persentase yang sama menggunakan basis yang berbeda. Sisa harus dilaporkan relatif terhadap pembagi yang dinamai.

Temukan faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil dari 36 dan 60. Sebuah harga naik 25% lalu turun 20%. Temukan perubahan persentase keseluruhannya.

Model dan penalaran

$36=2^2\cdot3^2$, $60=2^2\cdot3\cdot5$. Pangkat bersama yang lebih kecil memberikan GCF=12; pangkat yang dibutuhkan lebih besar memberikan LCM=180. Produk mereka $12\cdot180=36\cdot60$ memeriksa hasilnya. Pengali harga adalah $1.25\cdot0.80=1$, sehingga perubahan keseluruhan adalah nol persen. Dua perubahan tersebut menggunakan harga rujukan berbeda; menambahkan +25 dan -20 akan memberikan kenaikan lima persen yang salah.

Sebuah bilangan bulat n memiliki sisa 5 pada pembagian oleh 8. Temukan sisa dari $3n+7$ pada pembagian oleh 8, termasuk untuk n negatif. Suatu nilai naik 10% dalam satu tahun dan 20% pada tahun berikutnya. Berapa persentase penurunan tunggal yang memulihkan nilainya?

Periksa setelah mencoba

Tulis $n=8k+5$ untuk bilangan bulat k. Maka $3n+7=24k+22=8(3k+2)+6$, jadi sisanya adalah enam untuk semua bilangan bulat k. Nilai akhirnya adalah 1.32 kali nilai asli. Memulihkannya mengalikan dengan $1/1.32=25/33$, penurunan sebesar $1-25/33=8/33$, atau sekitar 24.24%. Penurunan 30% tidak membalikkan pertumbuhan majemuk. Konvensi sisa menggunakan $0\le r<8$ bahkan ketika n negatif.