Di museum sains, bola kuningan tergantung dari kawat yang sangat panjang. Ia berayun sepanjang hari di atas lantai bertanda, tak tersentuh. Setiap ayunan memakan waktu yang sama dengan sebelumnya.…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
7.1
Defining Simple Harmonic Motion · Mendefinisikan Gerak Harmonik Sederhana
7.1.A.1 Simple harmonic motion is a special case of periodic motion.
7.1.A.2 SHM results when the magnitude of the restoring force exerted on an object is proportional to that object's displacement from its equilibrium position.
Derived equation:$ma_x = -k\Delta x$
7.1.A.2.i A restoring force is a force that is exerted in a direction opposite to the object's displacement from an equilibrium position.
7.1.A.2.ii An equilibrium position is a location at which the net force exerted on an object or system is zero.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 7.1.A: Jelaskan gerak harmonik sederhana.
7.1.A.1 Gerak harmonik sederhana adalah kasus khusus dari gerak periodik.
7.1.A.2 GHS terjadi ketika besar gaya pemulih yang bekerja pada suatu benda sebanding dengan simpangan benda tersebut dari posisi kesetimbangannya.
Persamaan Turunan:$ma_x = -k\Delta x$
7.1.A.2.i Gaya pemulih adalah gaya yang bekerja dalam arah berlawanan dengan simpangan benda dari posisi kesetimbangan.
7.1.A.2.ii Posisi kesetimbangan adalah lokasi di mana resultan gaya yang bekerja pada benda atau sistem adalah nol.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Simple harmonic motion
Simple harmonic motion 简谐运动 (SHM) is a special case of periodic motion 周期运动. It appears whenever two things are true: there is an equilibrium 平衡位置 position where the net force is zero, and displacing the object produces a restoring force 回复力 – a force pointing back toward equilibrium – whose magnitude is proportional to the displacement:
$$F=-k\,\Delta x.$$
Newton's second law then gives the defining differential equation 微分方程:
Its solution is sinusoidal, $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$. You do not need to prove this solution – you need to recognise the equation: any system whose motion obeys "$\ddot{x}=-\omega^2x$" is a simple harmonic oscillator, whatever it is made of. (A mass hanging on a vertical spring works the same way: gravity only shifts the equilibrium point; the oscillation about it is unchanged.)
Bahasa Indonesia
Gerak harmonik sederhana
Gerak harmonik sederhana (GHS) merupakan kasus khusus dari gerak periodik. GHS muncul apabila dua hal berikut benar: terdapat posisi keseimbangan di mana gaya bersihnya nol, dan menggeser benda menghasilkan gaya pemulih – yaitu gaya yang mengarah kembali menuju keseimbangan – yang besarnya berbanding lurus dengan simpangannya:
$$F=-k\,\Delta x.$$
Hukum kedua Newton kemudian memberikan persamaan diferensial pembentuknya:
Solusinya bersifat sinusoidal, $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$. Anda tidak perlu membuktikan solusi ini – Anda harus mengenalinya: setiap sistem yang gerakannya mematuhi "$\ddot{x}=-\omega^2x$" adalah osilator harmonik sederhana, apa pun bahan pembentuknya. (Benda bermassa yang digantung pada pegas vertikal bekerja sama cara: gravitasi hanya menggeser titik keseimbangan; osilasi di sekitar titik tersebut tetap tidak berubah.)
Dalam GHS percepatan selalu mengarah kembali ke kesetimbangan, berlawanan dengan simpangan
Two classic conceptual traps: the period of SHM never depends on the amplitude 振幅, and each system ignores one obvious variable – the pendulum's period does not involve its mass, and the spring's period does not involve $g$ (a spring–block oscillator keeps perfect time in orbit; a pendulum clock does not).
Bahasa Indonesia
Kecepatan sudut$\omega$ menentukan periode dan frekuensi:
Dua jebakan konseptual klasik: periode GHS tidak pernah bergantung pada amplitudo, dan setiap sistem mengabaikan satu variabel yang terlihat jelas – periode ayunan tidak melibatkan massanya, dan periode pegas tidak melibatkan $g$ (osilator pegas-blok dapat menjaga waktu yang sempurna di orbit; jam bandul tidak bisa).
Explore · Jelajahi
Time a pendulum's swing · Ukur waktu ayunan bandul
A pendulum's period depends on its length and gravity, not its mass or (small) amplitude: $T=2\pi\sqrt{L/g}$. Lengthen it and each swing takes longer. · Periode bandul bergantung pada panjang dan gravitasi, bukan massa atau amplitudonya (kecil): $T=2\pi\sqrt{L/g}$. Perpanjang bandul dan setiap ayunan akan memakan waktu lebih lama.
7.3
Representing and Analyzing SHM · Representasi dan Analisis GHS
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 7.3.A: Describe the displacement, velocity, and acceleration of an object exhibiting SHM.
7.3.A.1 For an object exhibiting SHM, the displacement of that object measured from its equilibrium position can be represented by the equations $x = A\cos(2\pi ft)$ or $x = A\sin(2\pi ft)$.
7.3.A.1.i Minima, maxima, and zeros of displacement, velocity, and acceleration are features of harmonic motion.
7.3.A.1.ii Recognizing the positions or times at which the displacement, velocity, and acceleration for SHM have extrema or zeros can help in qualitatively describing the behavior of the motion.
7.3.A.2 The position as a function of time for an object exhibiting SHM is a solution of the second-order differential equation derived from the application of Newton's second law.
7.3.A.3 Characteristics of SHM, such as velocity and acceleration, can be determined by or derived from the equation $x = A\cos(\omega t + \phi).$
7.3.A.3.i The acceleration of an object exhibiting SHM is related to the object's angular frequency and position.
Derived equation:$a = -\omega^2 x$
7.3.A.3.ii It can be shown that the maximum velocity and acceleration of an object exhibiting SHM are related to the angular frequency of the object's motion.
Derived equations:$v_{\max} = A\omega$
$a_{\max} = A\omega^2$
7.3.A.4 In the presence of a sinusoidal external force, a system may exhibit resonance.
7.3.A.4.i Resonance occurs when an external force is exerted at the natural frequency of an oscillating system.
7.3.A.4.ii Resonance increases the amplitude of oscillating motion.
7.3.A.4.iii The natural frequency of a system is the frequency at which the system will oscillate when it is displaced from its equilibrium position.
7.3.A.5 Changing the amplitude of a system exhibiting SHM will not change its period.
7.3.A.6 Properties of SHM can be determined and analyzed using graphical representations.
Boundary statement: AP Physics C: Mechanics only expects students to know the solution to the second-order differential equation that describes SHM, as well as be able to identify SHM. AP Physics C: Mechanics does not expect students to mathematically prove that the solution is correct.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 7.3.A: Jelaskan simpangan, kecepatan, dan percepatan benda yang mengalami GHS.
7.3.A.1 Untuk benda yang mengalami GHS, simpangan benda tersebut diukur dari posisi kesetimbangannya dapat direpresentasikan oleh persamaan $x = A\cos(2\pi ft)$ atau $x = A\sin(2\pi ft)$.
7.3.A.1.i Minimum, maksimum, dan nol dari simpangan, kecepatan, dan percepatan merupakan fitur dari gerak harmonik.
7.3.A.1.ii Mengenali posisi atau waktu di mana simpangan, kecepatan, dan percepatan untuk GHS memiliki nilai ekstrem atau nol dapat membantu dalam mendeskripsikan perilaku gerak secara kualitatif.
7.3.A.2 Posisi sebagai fungsi waktu untuk benda yang mengalami GHS merupakan solusi dari persamaan diferensial orde dua yang diturunkan dari penerapan Hukum Kedua Newton.
7.3.A.3 Karakteristik GHS, seperti kecepatan dan percepatan, dapat ditentukan atau diturunkan dari persamaan $x = A\cos(\omega t + \phi).$
7.3.A.3.i Percepatan benda yang mengalami GHS berkaitan dengan kecepatan sudut dan posisi benda tersebut.
Persamaan turunan:$a = -\omega^2 x$
7.3.A.3.ii Dapat ditunjukkan bahwa kecepatan maksimum dan percepatan maksimum dari benda yang mengalami GHS berkaitan dengan kecepatan sudut gerak benda.
Persamaan Turunan:$v_{\max} = A\omega$
$a_{\max} = A\omega^2$
7.3.A.4 Dalam kehadiran gaya eksternal sinusoidal, suatu sistem dapat menunjukkan resonansi.
7.3.A.4.i Resonansi terjadi ketika gaya eksternal diterapkan pada frekuensi alami sistem bergetar.
7.3.A.4.ii Resonansi meningkatkan amplitudo gerak bergetar.
7.3.A.4.iii Frekuensi alami suatu sistem adalah frekuensi di mana sistem akan bergetar ketika disimpangkan dari posisi kesetimbangannya.
7.3.A.5 Mengubah amplitudo sistem yang mengalami GHS tidak akan mengubah periodenya.
7.3.A.6 Properti GHS dapat ditentukan dan dianalisis menggunakan representasi grafik.
Pernyataan Batas: AP Physics C: Mechanics hanya mengharapkan siswa mengetahui solusi persamaan diferensial orde dua yang mendeskripsikan GHS, serta mampu mengidentifikasi GHS. AP Physics C: Mechanics tidak mengharapkan siswa membuktikan secara matematis bahwa solusi tersebut benar.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
So at the ends of the swing ($x=\pm A$) the speed is zero and the acceleration is largest; passing through equilibrium ($x=0$) the acceleration is zero and the speed is largest, $v_{\max}=A\omega$. The amplitude $A$ and the phase constant 相位常数$\phi$ come from the initial conditions: where the object starts and how fast it is moving. Eliminating $t$ (or using energy, below) gives speed as a function of position:
$$v=\pm\,\omega\sqrt{A^2-x^2}.$$
Worked example. A $0.50\ \text{kg}$ mass on a $k=200\ \text{N/m}$ spring: $\omega=\sqrt{k/m}=20\ \text{rad/s}$, $T=2\pi/\omega=0.31\ \text{s}$. With $A=0.10\ \text{m}$: $v_{\max}=A\omega=2.0\ \text{m/s}$ at equilibrium, and at $x=0.050\ \text{m}$ the speed is $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}=20\sqrt{0.10^2-0.050^2}=1.7\ \text{m/s}$.
Bahasa Indonesia
Turunkan $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$ sebanyak dua kali:
Jadi, di ujung-ujung ayunan ($x=\pm A$), kecepatannya nol dan percepatan paling besar; saat melewati kesetimbangan ($x=0$), percepatan nol dan kecepatannya paling besar, $v_{\max}=A\omega$. Amplitudo ($A$) dan konstanta fase ($\phi$) berasal dari kondisi awal: di mana benda dimulai dan seberapa cepat ia bergerak. Mengeliminasi ($t$) (atau menggunakan energi, di bawah) memberikan kecepatan sebagai fungsi posisi:
$$v=\pm\,\omega\sqrt{A^2-x^2}.$$
*Sesar berubah secara sinusoidal terhadap masa dalam gerakan harmonik mudah
Contoh kerja. Sebuah massa $0.50\ \text{kg}$ pada pegas $k=200\ \text{N/m}$: $\omega=\sqrt{k/m}=20\ \text{rad/s}$, $T=2\pi/\omega=0.31\ \text{s}$. Dengan $A=0.10\ \text{m}$: $v_{\max}=A\omega=2.0\ \text{m/s}$ di kesetimbangan, dan pada $x=0.050\ \text{m}$ kecepatannya adalah $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}=20\sqrt{0.10^2-0.050^2}=1.7\ \text{m/s}$.
7.4
Energy of Simple Harmonic Oscillators · Energi Osilator Harmonik Sederhana
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 7.4.A: Describe the mechanical energy of a system exhibiting SHM.
7.4.A.1 The total energy of a system exhibiting SHM is the sum of the system's kinetic and potential energies.
Relevant equation:$E_{\text{total}} = U + K$
7.4.A.2 Conservation of energy indicates that the total energy of a system exhibiting SHM is constant.
7.4.A.3 The kinetic energy of a system exhibiting SHM is at a maximum when the system's potential energy is at a minimum.
7.4.A.4 The potential energy of a system exhibiting SHM is at a maximum when the system's kinetic energy is at a minimum.
7.4.A.4.i The minimum kinetic energy of a system exhibiting SHM is zero.
7.4.A.4.ii Changing the amplitude of a system exhibiting SHM will change the maximum potential energy of the system and, therefore, the total energy of the system.
Relevant equation for a spring–object system:$E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 7.4.A: Jelaskan energi mekanik sistem yang mengalami GHS.
7.4.A.1 Energi total sistem yang mengalami GHS adalah jumlah dari energi kinetik dan potensial sistem.
Persamaan relevan:$E_{\text{total}} = U + K$
7.4.A.2 Hukum kekekalan energi menunjukkan bahwa energi total sistem yang mengalami GHS adalah konstan.
7.4.A.3 Energi kinetik sistem yang mengalami GHS mencapai maksimum ketika energi potensial sistem berada pada minimum.
7.4.A.4 Energi potensial sistem yang menunjukkan Gerak Harmonik Sederhana (GHS) berada pada maksimum ketika energi kinetik sistem berada pada minimum.
7.4.A.4.i Energi kinetik minimum dari sistem yang menunjukkan GHS adalah nol.
7.4.A.4.ii Mengubah amplitudo sistem yang menunjukkan GHS akan mengubah energi potensial maksimum sistem dan, oleh karena itu, juga mengubah energi total sistem.
Persamaan Relevan untuk sistem pegas–benda:$E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The total energy of the oscillator is the sum $E=U+K$, and with no friction it is constant – energy just trades back and forth between the spring's potential energy and the mass's kinetic energy:
$$E=\tfrac12kA^2=\tfrac12kx^2+\tfrac12mv^2.$$
All potential at the ends (where $K=0$), all kinetic at equilibrium (where $U$ is minimum). Because $E\propto A^2$, doubling the amplitude quadruples the energy.
Worked example. Where is the energy split evenly? Set $\tfrac12kx^2=\tfrac12E=\tfrac14kA^2$, so $x=A/\sqrt2\approx0.71A$ – much closer to the end than to the middle. For the system above ($A=0.10\ \text{m}$): $x=0.071\ \text{m}$.
Left alone, a system oscillates at its own natural frequency 固有频率 (set by $k$ and $m$: $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$). Drive it with a periodic force at that same frequency and the amplitude grows dramatically – resonance 共振. Each well-timed push adds energy faster than damping removes it, so the driven amplitude peaks sharply when the driving frequency matches $f_0$ (a swing pumped in time, a bridge shaken by wind).
Bahasa Indonesia
Energi total osilator adalah jumlah $E=U+K$, dan tanpa gesekan energi ini konstan – energi hanya bolak-balik antara energi potensial pegas dan energi kinetik benda:
$$E=\tfrac12kA^2=\tfrac12kx^2+\tfrac12mv^2.$$
Semua energi tersimpan sebagai potensial di ujung-ujung (di mana $K=0$), semua energi berupa kinetik di titik keseimbangan (di mana $U$ minimum). Karena $E\propto A^2$, menggandakan amplitudo akan kuadruplikasi energinya.
Energi kinetik dan potensial bertukar selama satu siklus sementara energi total tetap konstan
Contoh soal. Di mana energi terbagi merata? Tetapkan $\tfrac12kx^2=\tfrac12E=\tfrac14kA^2$, sehingga $x=A/\sqrt2\approx0.71A$ – jauh lebih dekat ke ujung daripada ke tengah. Untuk sistem di atas ($A=0.10\ \text{m}$): $x=0.071\ \text{m}$.
Dibiarkan sendiri, sebuah sistem bergetar pada frekuensi alaminya (ditentukan oleh $k$ dan $m$: $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$). Doronglah dengan gaya periodik pada frekuensi yang sama dan amplitudonya akan meningkat drastis – resonansi. Setiap dorongan yang tepat waktu menambahkan energi lebih cepat daripada redaman menghilangkannya, sehingga amplitudo terdorong memuncak tajam ketika frekuensi penggerak sesuai dengan $f_0$ (ayunan yang dipompa seirama, jembatan yang diguncang angin).
Explore · Jelajahi
Trade kinetic and potential energy in SHM · Tukar energi kinetik dan potensial dalam Osilasi Harmonik Sederhana
In simple harmonic motion, energy sloshes between kinetic (fastest at the centre) and potential (greatest at the extremes) while the total stays constant. · Dalam osilasi harmonik sederhana, energi bolak-balik antara energi kinetik (paling cepat di tengah) dan potensial (terbesar di ujung), sementara totalnya tetap konstan.
7.5
Simple and Physical Pendulums · Bandul Sederhana dan Bandul Fisika
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 7.5.A: Describe the properties of a physical pendulum.
7.5.A.1 A physical pendulum is a rigid body that undergoes oscillation about a fixed axis.
7.5.A.2 For small amplitudes of motion, the period of a physical pendulum is derived from the application of Newton's second law in rotational form.
7.5.A.3 A simple pendulum is a special case of physical pendulums in which the hanging object can be modeled as a point mass at a distance, $l$, from the pivot point.
7.5.A.4 A torsion pendulum is a case of SHM where the restoring torque is proportional to the angular displacement of a rotating system. For example, a horizontal disk that is suspended from a wire attached to its center of mass may undergo rotational oscillations about the wire in the horizontal plane.
Derived equation:$I\alpha = -k\Delta\theta$
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 7.5.A: Deskripsikan properti ayunan fisik.
7.5.A.1 Ayunan fisik adalah benda kaku yang mengalami osilasi tentang sumbu tetap.
7.5.A.2 Untuk amplitudo gerak yang kecil, periode ayunan fisik diturunkan dari penerapan Hukum Kedua Newton dalam bentuk rotasi.
7.5.A.3 Ayunan sederhana adalah kasus khusus dari ayunan fisik di mana benda yang digantung dapat dimodelkan sebagai massa titik pada jarak, $l$, dari titik gantungan.
7.5.A.4 Ayunan torsi adalah kasus GHS di mana torsi pemulih sebanding dengan simpangan sudut dari sistem berputar. Misalnya, cakram horizontal yang digantung dari kawat yang melekat pada pusat massanya dapat mengalami osilasi rotasi tentang kawat tersebut dalam bidang horizontal.
Persamaan Turunan:$I\alpha = -k\Delta\theta$
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Energy conservation: KE ⇄ PE
A physical pendulum 物理摆 is any rigid body swinging about a fixed pivot. Displace it by an angle $\theta$ and gravity, acting at the center of mass a distance $d$ from the pivot, supplies a restoring torque
$$\tau=-mgd\sin\theta.$$
For small angles, apply the small-angle approximation 小角度近似$\sin\theta\approx\theta$ and Newton's second law in rotational form ($\tau=I\alpha$):
This is the same "$\ddot\theta=-\omega^2\theta$" pattern as before – recognising it is the derivation. A simple pendulum 单摆 is the special case of a point mass on a light string: $I=m\ell^2$ and $d=\ell$ give $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$.
Worked example. A uniform rod (mass $M$, length $L$) swings from one end: $I=\tfrac13ML^2$, $d=\tfrac{L}{2}$, so
– shorter than a simple pendulum of length $L$, because the rod's mass sits nearer the pivot.
A torsion pendulum 扭摆 – a disk hanging from a wire that twists – is SHM one more time: the wire's restoring torque is proportional to the twist angle, $I\alpha=-\kappa\,\Delta\theta$, giving $T=2\pi\sqrt{I/\kappa}$.
Exam skill. Every pendulum FRQ wants the same three steps: write the restoring torque about the pivot, apply the small-angle approximation, and match the result to $\ddot\theta=-\omega^2\theta$ to read off $\omega$. State the small-angle step explicitly – it is a scored point, and it is why large-amplitude swings are not simple harmonic.
Bahasa Indonesia
Kekekalan energi: KE ⇄ PE
Bandul fisika adalah benda kaku apa pun yang berayun mengelilingi poros tetap. Geserkan benda sebesar sudut $\theta$, dan gravitasi yang bekerja pada pusat massa sejauh $d$ dari poros, menyediakan torsi pemulih
$$\tau=-mgd\sin\theta.$$
Untuk sudut kecil, terapkan pendekatan sudut kecil$\sin\theta\approx\theta$ dan hukum kedua Newton dalam bentuk rotasi ($\tau=I\alpha$):
Ini adalah pola "$\ddot\theta=-\omega^2\theta$" yang sama seperti sebelumnya – mengenali polanya merupakan proses penurunan rumusnya. Bandul sederhana adalah kasus khusus dari benda titik pada tali ringan: $I=m\ell^2$ dan $d=\ell$ menghasilkan $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$.
Gravitasi yang bekerja pada pusat massa menyediakan torsi pemulih bagi bandul fisika
Contoh kerja. Sebuah batang seragam (massa $M$, panjang $L$) berayun dari salah satu ujungnya: $I=\tfrac13ML^2$, $d=\tfrac{L}{2}$, sehingga
– lebih pendek dari bandul sederhana sepanjang $L$, karena massa batang berada lebih dekat ke poros.
Bandul torsi – sebuah cakram yang tergantung pada kawat yang melilit – kembali menunjukkan GHS: torsi pemulih kawat berbanding lurus dengan sudut lilitan, $I\alpha=-\kappa\,\Delta\theta$, menghasilkan $T=2\pi\sqrt{I/\kappa}$.
Keterampilan ujian. Setiap soal FRQ bandul meminta tiga langkah yang sama: tuliskan torsi pemulih terhadap poros, terapkan pendekatan sudut kecil, dan samakan hasilnya dengan $\ddot\theta=-\omega^2\theta$ untuk membaca $\omega$. Nyatakan langkah pendekatan sudut secara eksplisit – ini adalah poin penilaian, dan inilah alasan mengapa ayunan beramplitudo besar bukan gerak harmonik sederhana.
Bandul Foucault: bandul panjang dan berat yang ayunannya lambat mengungkapkan bumi berputar di bawahnya
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Pilih satu dan situs mengikuti Anda — catatan, kertas, video, dan latihan semua terbuka di sana.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Ketik untuk mencari catatan, pelajaran, kode, kosakata, dan pertanyaan soal lama di setiap mata pelajaran.
