Cakupan dan prasyarat
Kerangka kerja ACT, revisi Februari 2026. Kasus-kasus kelas di sini bukan format ACT resmi.
- Pilih bentuk pengembangan, pemfaktoran, atau bentuk verteks yang setara untuk tugas
- Selesaikan persamaan linear dan polinomial menggunakan struktur
- Tentukan daerah ketaksamaan kuadrat dari tanda, bukan hanya dari akar-akarnya
Prasyarat: Menggabungkan suku-suku sejenis; mensubstitusikan pasangan terurut; aritmatika bertanda.
Jelaskan dan pilih metode
Terjemahkan hubungan ke dalam ekspresi sebelum memanipulasinya. Biaya tetap ditambah biaya per unit adalah model linear afine, sedangkan perkalian dimensi dapat menghasilkan kuadratik. Bentuk setara harus mempertahankan ekspresi asli pada domainnya. Faktorkan suku-suku bersama dan kenali identitas sebelum mengembangkan setiap perkalian.
Persamaan linear dapat memiliki satu, tidak ada, atau tak hingga banyak solusi setelah disederhanakan; periksa koefisien nol sebelum membagi. Mengalikan atau membagi ketaksamaan dengan bilangan negatif membalik arah ketaksamaannya. Perkalian polinomial sama dengan nol ketika setidaknya satu faktornya bernilai nol. Jaga semua faktor, termasuk x yang diekstraksi, untuk menghindari kehilangan akar nol.
Bentuk terfaktor dari kuadratik mengungkapkan akar-akarnya dan bentuk verteksnya mengungkapkan ekstremum. Untuk ketaksamaan, urutkan akar real dan uji tanda di setiap interval. Sertakan batas hanya untuk ≤ atau ≥. Parabola yang membuka ke atas bernilai negatif antara dua akar real berbeda dan positif di luarnya.
Gunakan substitusi ke dalam hubungan asli untuk memeriksa nilai kandidat. Pertanyaan koefisien pengembangan mungkin memerlukan penggabungan beberapa kontribusi terhadap pangkat yang sama. Polinomial berderajat tiga tidak perlu memerlukan rumus kubik umum: faktor bersama atau akar yang diketahui dapat menguranginya menjadi faktor-faktor yang lebih sederhana. Pilih metode berdasarkan struktur.
Identitas berlaku untuk setiap input yang diizinkan. Mulailah dengan $ax+b=cx+d$. Gabungkan suku-suku: $(a-c)x=d-b$. Periksa $a-c$ sebelum membagi. Jika $a=c$ dan $b=d$, setiap input real berfungsi. Jika hanya $a=c$, tidak ada input yang berfungsi. Dalam kasus lain, $x=(d-b)/(a-c)$ memberikan satu solusi.
Contoh kerja. x²-5x+6=(x-2)(x-3), sehingga x²-5x+6<0 menghasilkan 2<x<3. x³-4x=x(x-2)(x+2), memberikan akar -2,0,2. Ekspresi 2(x-3)²+5 memiliki minimum 5 pada x=3. Dalam (2x+1)(x-4), koefisien x adalah -8+1=-7.
Bahan latihan
Setiap soal latihan di bawah ini menyatakan semua data yang dibutuhkannya.
Latihan dengan penalaran
Latihan 1
Selesaikan $x^3-9x=0$ dan $(x+2)(x-5)\ge0$. Jelaskan mengapa membagi kubik dengan $x$ di awal menghilangkan sebuah solusi.
Penalaran. Faktorisasi $x(x-3)(x+3)=0$, menghasilkan $-3,0,3$. Membagi dengan $x$ secara tidak sah menghilangkan akar nol yang diperbolehkan. Untuk pertidaksamaan, akarnya adalah $-2,5$; hasil kali bersifat nonnegatif di luar akar-akar tersebut, termasuk titik ujung, sehingga $x\le-2$ atau $x\ge5$.
Latihan 2
Tulis $2x^2-12x+23$ dalam bentuk verteks dan nyatakan nilainya yang minimum. Temukan koefisien dari $x$ dalam $(2x-3)(x+4)$.
Penalaran. Melengkapi kuadrat sempurna menghasilkan $2(x-3)^2+5$, dengan minimum 5 pada $x=3$. Ekspansi dari perkalian tersebut adalah $2x^2+5x-12$, sehingga koefisiennya adalah 5.
Latihan 3
Sebuah printer mengenakan biaya 25 yuan untuk mengatur pekerjaan dan 0.40 yuan per halaman. Tulis total biaya untuk $n$ halaman dan selesaikan ketaksamaan anggaran 65-yuan untuk halaman bulat. Bandingkan ini dengan ekspresi luas untuk persegi panjang dengan sisi $x$ dan $x+3$ meter.
Penalaran. $C=f+pn=25\,\mathrm{yuan}+(0.40\,\mathrm{yuan/page})(n\,\mathrm{pages})$. Anggaran $25+0.40n\le65$ menghasilkan $0\le n\le100$, dengan bilangan bulat $n$. Biaya bersifat affine linear terhadap $n$. Persegi panjang memiliki luas $A=x(x+3)=x^2+3x$ meter persegi untuk panjang numerik dalam satuan meter dan $x>0$; perkalian dua panjang variabel menciptakan fungsi kuadratik, bukan biaya tetap ditambah tarif.
Batasan dan penggunaan selanjutnya
Jangan abaikan faktor yang diekstraksi, sertakan batas pertidaksamaan ketat, atau laporkan koordinat-x vertex jika pertanyaan meminta nilai minimum.
Ini adalah tugas latihan orisinal yang ditulis khusus untuk kursus ini, bukan soal ujian resmi.