Cakupan dan prasyarat
Kerangka kerja ACT, revisi Februari 2026. Kasus-kasus kelas di sini bukan format ACT resmi.
- Catat batasan penyebut dan radikal sebelum menyelesaikan
- Periksa kandidat persamaan yang telah diubah pada persamaan asli
- Temukan dan tafsirkan solusi simultan atau daerah yang diizinkan
Prasyarat: Pemfaktoran; substitusi; batasan domain.
Jelaskan dan pilih metode
Untuk ekspresi rasional, identifikasi nol penyebut sebelum memfaktorkan atau mengalikan persamaan dengan penyebut. Penyederhanaan dapat menghilangkan faktor yang terlihat, namun batasan aslinya tetap berlaku. Coret faktor secara utuh, bukan suku tertentu dalam penjumlahan.
Isolasi akar kuadrat dan hargai nilainya yang tidak negatif sebelum dikuadratkan. Penguadratan mempertahankan solusi tetapi dapat menambahkan kandidat, sehingga setiap kandidat harus disubstitusikan ke persamaan asli. Kehati-hatian yang sama berlaku untuk mengalikan dengan ekspresi yang mungkin bernilai nol. Nilai yang memenuhi polinomial yang telah diubah tetapi gagal pada sumbernya adalah solusi semu.
Sistem memerlukan pasangan berurutan yang sama untuk memenuhi setiap persamaan. Substitusikan garis ke lingkaran atau parabola, selesaikan kuadrat yang dihasilkan, dan temukan koordinat kedua. Sistem linear dapat memiliki satu titik potong, tidak ada titik potong, atau garis yang berimpit. Jangan keliru menganggap dua akar aljabar sebagai dua sistem yang terpisah.
Untuk sistem pertidaksamaan, setiap kondisi menyediakan daerah yang diizinkan dan solusinya adalah irisan dari semua daerah tersebut. Titik pada batas ketat dikecualikan meskipun memenuhi pertidaksamaan lainnya. Verifikasi titik usulan dengan mensubstitusikannya ke setiap pertidaksamaan asli, termasuk tanda kesamaannya.
Sebuah kandidat akar harus memenuhi persamaan asli. Dalam $\sqrt{x+6}=x$, ruas kanan harus tidak negatif. Penguadratan menghasilkan $x^2-x-6=0$, sehingga kandidatnya adalah $3,-2$. Hanya $3$ yang lolos pemeriksaan asli: $\sqrt9=3$.
Contoh terpecahkan. √(x+6)=x mengimplikasikan x≥0. Mengkuadratkan menghasilkan x²-x-6=0 dengan kandidat 3 dan -2; hanya 3 yang benar. Untuk x²+y²=25 dan y=x+1, substitusi menghasilkan x²+x-12=0, sehingga (3,4) dan (-4,-3). (x²-4)/(x-2) disederhanakan menjadi x+2 untuk x≠2, mempertahankan batasan tersebut.
Bahan latihan
Setiap soal latihan di bawah ini menyatakan semua data yang dibutuhkannya.
Latihan dengan penalaran
Latihan 1
Selesaikan $x^2+y^2=25$ dan $y=x-1$ secara simultan. Periksa setiap pasangan berurutan pada kedua persamaan.
Penalaran. Substitusi menghasilkan $x^2+(x-1)^2=25$, atau $x^2-x-12=0$. Akar-akarnya adalah $4,-3$, menghasilkan $(4,3)$ dan $(-3,-4)$. Keduanya menghasilkan jumlah kuadrat 25 dan memenuhi $y=x-1$.
Latihan 2
Selesaikan $\sqrt{3x+4}=x$ dan deskripsikan semua titik yang memenuhi $y\ge x+1$ dan $y<4-x$.
Penalaran. Mengkuadratkan dengan $x\ge0$ menghasilkan $(x-4)(x+1)=0$; hanya $x=4$ yang benar. Daerahnya berada di atas/atas $y=x+1$ dan di bawah $y=4-x$. Daerah ini hanya ada ketika $x+1<4-x$, sehingga $x<3/2$; titik temunya tidak termasuk.
Latihan 3
Sederhanakan $F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$. Nyatakan setiap batasan asli dan jelaskan mengapa $F$ tidak identik dengan $x/(x+4)$ pada seluruh domain rumus terakhir.
Penalaran. Faktorkan pembilang $x(x-4)$ dan penyebut $(x-4)(x+4)$. Domain asli mengecualikan $x=4,-4$. Pembatalan menghasilkan $F(x)=x/(x+4)$ untuk $x\ne4,-4$. Rumus terakhir saja memperbolehkan $4$, di mana ia menghasilkan $1/2$, sementara $F(4)$ tidak terdefinisi.
Batasan dan penggunaan selanjutnya
Batasan bertahan setelah penyederhanaan. Dalam sistem simultan, periksa kedua koordinat di setiap hubungan asli.
Ini adalah tugas latihan orisinal yang ditulis khusus untuk kursus ini, bukan soal ujian resmi.