Cakupan dan prasyarat
Kerangka kerja ACT, revisi Februari 2026. Kasus-kasus kelas di sini bukan format ACT resmi.
- Evaluasi dan konversi antara aturan fungsi, tabel, dan grafik
- Lacur urutan input dan domain melalui komposisi
- Batasi domain fungsi hingga menjadi satu-satu, kemudian temukan inversnya
Prasyarat: Notasi fungsi; substitusi; penyelesaian persamaan.
Jelaskan dan pilih metode
Suatu fungsi memberikan satu keluaran untuk setiap input yang diizinkan. Grafik yang memotong garis vertikal pada dua titik keluaran berbeda bukan fungsi dari x. Domain mencantumkan input yang diizinkan; rentang mencantumkan keluaran yang dicapai. Konversi tabel ke aturan hanya ketika hubungan didukung, dan tafsirkan peran setiap variabel.
Dalam f(g(x)), fungsi dalam g bertindak terlebih dahulu dan outputnya harus berada dalam domain f. Untuk f(u)=1/(u-1) dan g(x)=x²+1, komposisi menghasilkan 1/x² dan mengecualikan x=0. Pengecekan domain berlaku untuk fungsi asli serta hasil penyederhanaan.
Perubahan keluaran f(x)+k menggeser secara vertikal sejauh k; f(x-h) menggeser ke kanan sejauh h. Pengali luar mengubah skala keluaran, sementara pengali dalam mengubah seberapa cepat input mencapai titik lama. Identifikasi titik yang diketahui untuk memverifikasi transformasi daripada menebak arah dari tanda.
Fungsi invers menukar input dan output serta memerlukan hubungan satu-satu pada domain yang dipilih. Selesaikan y=f(x) untuk x, lalu tukar nama. Fungsi kuadrat biasanya harus dibatasi pada salah satu sisi dari puncaknya. Fungsi invers f⁻¹ bukan kebalikan 1/f. Periksa komposisi dalam kedua arah pada domain yang diperbolehkan.
Komposisi menerapkan aturan bagian dalam terlebih dahulu. Jika $f(u)=1/(u-2)$ dan $g(x)=x^2+2$, $f(g(x))=1/x^2$, dengan $x\ne0$. Fungsi invers membalikkan input dan output pada domain satu-satu. Batasi $h(x)=(x-1)^2$ ke $x\ge1$ sebelum mengambil $h^{-1}(x)=1+\sqrt{x}$.
Contoh terpecahkan. f(x)=2x+3 dan g(x)=x² menghasilkan f(g(x))=2x²+3, tetapi g(f(x))=(2x+3)². Untuk h(x)=(x-2)² yang dibatasi pada x≥2, inversnya adalah 2+√x dengan domain x≥0. Pergeseran vertikal h sebesar 4 memiliki puncak (2,4); kuadrat tak terbatas tidak akan memiliki invers bernilai tunggal.
Bahan latihan
Setiap soal latihan di bawah ini menyatakan semua data yang dibutuhkannya.
Latihan dengan penalaran
Latihan 1
Misalkan $f(u)=1/(u-3)$ dan $g(x)=x^2+3$. Temukan $f(g(x))$ dengan domain. Temukan $g(f(4))$ dan jelaskan mengapa komposisi ini berbeda.
Penalaran. $f(g(x))=1/(x^2+3-3)=1/x^2$, mengecualikan $x=0$. Untuk urutan lainnya, $f(4)=1$ dan $g(1)=4$. Urutan komposisi mengubah operasi dan mungkin juga domain; $f(g(4))=1/16$ berbeda.
Latihan 2
Batasi $h(x)=(x+2)^2$ ke $x\le-2$. Temukan inversnya, termasuk domain dan rentang. Jelaskan mengapa cabang akar positif salah.
Penalaran. Selesaikan $y=(x+2)^2$ dengan $x+2\le0$ untuk mendapatkan $x=-2-\sqrt y$. Dengan demikian $h^{-1}(x)=-2-\sqrt x$, domain $x\ge0$, dan jangkauan $y\le-2$. Cabang plus mengembalikan nilai di luar domain awal yang dipilih.
Latihan 3
Grafik $f(x)=x^2$ diubah menjadi $g(x)=3f(x+4)-2$. Temukan puncaknya dan rentangnya, periksa satu titik yang dipetakan.
Penalaran. $g(x)=3(x+4)^2-2$ memiliki puncak $(-4,-2)$ dan jangkauan $y\ge-2$. Titik lama $(1,1)$ dipetakan ke $(-3,1)$ karena $3(1)-2=1$; substitusi mengkonfirmasi $g(-3)=1$.
Batasan dan penggunaan selanjutnya
Jaga urutan komposisi dan cabang invers yang dibatasi. Superskrip -1 dalam notasi fungsi tidak berarti kebalikan.
Ini adalah tugas latihan orisinal yang ditulis khusus untuk kursus ini, bukan soal ujian resmi.