Cakupan dan prasyarat
Kerangka kerja ACT, revisi Februari 2026. Kasus kelas asli bukan formulir resmi; pertahankan batas skor/ujian lapangan dari setiap sumber formulir.
- Bedakan selisih aritmatika dari rasio geometri
- Temukan suku atau jumlah hingga sambil mempertahankan konsistensi indeks
- Konversi persamaan logaritma ke bentuk eksponensial pada domain yang valid
Prasyarat: Notasi indeks; aturan eksponen; barisan hingga.
Jelaskan dan pilih metode
Barisan aritmatika memiliki beda konstan d: aₙ=a₁+(n-1)d. Jumlah hingganya adalah n(a₁+aₙ)/2. Barisan geometri memiliki rasio konstan r: aₙ=a₁r^(n-1). Untuk r≠1, jumlah hingga adalah a₁(1-rⁿ)/(1-r); ketika r=1 jumlahnya menjadi n a₁. Cocokkan istilah atau total yang diminta.
Model eksponensial A b^t merepresentasikan perkalian dengan b per satuan waktu yang ditentukan. Pertumbuhan persentase r menggunakan faktor 1+r; perubahan berulang mengalikan faktor alih-alih menjumlahkan persentase. Jika penggandaan memerlukan beberapa satuan waktu, bagi t dengan interval tersebut pada eksponen.
Untuk basis b>0 dengan b≠1, log_b(a)=c berarti b^c=a dan mensyaratkan a>0. Selesaikan persamaan logaritma dengan menerjemahkannya ke dalam hubungan eksponensial, lalu periksa argumennya. Logaritma dari perkalian dijumlahkan di bawah argumen positif yang valid; logaritma tidak terdistribusi terhadap penjumlahan.
Gunakan pangkat eksak jika tersedia. ACT mungkin menguji hubungan logaritma sederhana tanpa memerlukan tabel logaritma numerik. Estimasi perhitungan tetap harus mematuhi representasi dan domain pertanyaan. Jaga indeks barisan, waktu model eksponensial, dan argumen logaritma secara terpisah secara konseptual.
Barisan aritmatika : $a_n=a_1+(n-1)d$. Jumlahnya adalah $S_n=n(a_1+a_n)/2$. Barisan geometri : $a_n=a_1r^{n-1}$ dan $S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)$ untuk $r\ne1$. Logaritma membalikkan eksponensiasi: $\log_b a=c$ berarti $b^c=a$, dengan $a>0$, $b>0$, $b\ne1$.
Contoh pengerjaan yang ada: Aritmatika 4,7,10,… memiliki a₅=16 dan jumlah lima suku pertama=5(4+16)/2=50. Geometri 3,6,12,24 memiliki jumlah empat suku 45. log₂(x-1)=4 menghasilkan x-1=16, sehingga x=17, yang memenuhi x>1. Populasi 50·2^(t/3) mencapai 200 setelah enam satuan waktu.
Konteks asli lengkap
Setiap soal transfer menyatakan semua data yang dibutuhkan.
Praktik mandiri dan penalaran yang diverifikasi
Transfer 1
Kursi di baris berturut-turut berjumlah 12,16,20,… . Temukan baris kedelapan dan total kursi dalam delapan baris pertama. Nyatakan asumsi model.
Alasan: Beda konstan adalah 4 kursi per baris. $a_8=a_1+7d=12+7(4)=40$ kursi. $S_8=8(a_1+a_8)/2=8(12+40)/2=208$ kursi. Ini mengasumsikan kenaikan empat kursi yang sama melalui semua delapan baris.
Transfer 2
Barisan geometri dimulai dengan 5,15,45,… . Temukan suku kelima dan jumlah lima suku pertama. Jelaskan apa yang berubah jika rasionya adalah 1.
Alasan: $a_5=a_1r^4=5(3)^4=405$. $S_5=a_1(1-r^5)/(1-r)=5(1-243)/(1-3)=605$. Ketika $r=1$, pecahan memiliki penyebut nol dan jumlah yang benar adalah $na_1$, di sini 25 untuk lima suku identik.
Transfer 3
Selesaikan $\log_2(x-3)=5$ dan jelaskan mengapa $\log_2(x+3)$ umumnya tidak dapat dipecah menjadi $\log_2x+\log_23$.
Alasan: Domain mensyaratkan $x>3$. Bentuk eksponensial menghasilkan $x-3=32$, sehingga $x=35$ dan argumennya positif. Jumlah logaritma sesuai dengan produk $3x$, bukan $x+3$; pada $x=1$, kesamaan yang diusulkan akan menyamakan 2 dengan $\log_23$.
Transfer 4
Model kultur dimulai dengan 120 sel dan tumbuh dengan faktor 1.5 setiap dua jam. Tulis $N(t)$ untuk jam $t$, temukan $N(4)$, dan bedakan faktor dari pertumbuhan persentase.
Alasan: $N(t)=120(1.5)^{t/2}$ sel. $N(4)=120(1.5)^2=270$ sel. Pertumbuhannya adalah 50% setiap dua jam, bukan 150%; faktor empat jam adalah 2.25. Faktor per jam akan menjadi $\sqrt{1.5}$.
Batasan dan penggunaan selanjutnya
Jangan gunakan n alih-alih n-1 untuk suku ke-n, jangan samakan jumlah berhenti dengan suku terakhirnya, atau jabarkan log(a+b) sebagai log a + log b.
Semua tugas di sini adalah latihan asli publik dengan panduan yang disusun sendiri. Mereka bukan soal resmi atau diagnostik baru. Tes dan simulasi yang dilindungi tetap terpisah.