Cakupan dan prasyarat
Kerangka kerja ACT, revisi Februari 2026. Kasus-kasus kelas di sini bukan format ACT resmi.
- Mengidentifikasi dan menginterpretasikan bentuk standar lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola
- Menggunakan hubungan sudut lingkaran, garis singgung, dan garis potong sesuai kondisinya
- Menghitung luas, luas permukaan, atau volume dengan dimensi dan satuan yang benar
Prasyarat: Melengkapi kuadrat sempurna; sumbu semi berpangkat dua; geometri lingkaran; satuan volume.
Jelaskan dan pilih metode
Lingkaran memiliki bentuk (x-h)²+(y-k)²=r². Elips menggunakan dua suku positif berpangkat dua yang dibagi dengan sumbu semi berpangkat dua; hiperbola memiliki selisih dari suku-suku tersebut. Parabola memiliki satu koordinat berpangkat dua dalam bentuk standar yang sejajar. Dalam y²=4px, titik puncak berada di origin dan titik fokus di (p,0); baca tanda dan sumbu sebelum menafsirkan arah.
Untuk (x-1)²/9+(y+2)²/4=1, pusatnya adalah (1,-2), sumbu semi horizontal 3 dan sumbu semi vertikal 2. Lengkapi kuadrat sempurna ketika pusat tersembunyi dalam persamaan lingkaran yang diperluas. Koefisien dan tanda persamaan membedakan jenis konik; sketsa kasar tidak menyediakan informasi aljabar yang hilang.
Garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari pada titik sentuh. Sudut keliling adalah setengah dari sudut pusat yang menghadap busur yang sama. Untuk dua garis potong dari titik luar yang sama, hasil kali segmen luar dengan seluruh garis potong adalah sama untuk keduanya; kuadrat panjang garis singgung sama dengan hasil kali tersebut. Panjang keseluruhan mencakup bagian luar, jadi jangan mengalikan bagian luar dan bagian dalam saja.
Pisahkan ukuran batas dari ukuran ruang. Keliling lingkaran adalah 2πr dan luas πr²; volume silinder adalah πr²h; volume kerucut adalah πr²h/3; volume bola adalah 4πr³/3. Luas permukaan menjumlahkan wajah yang terekspos. Jika semua panjang bersesuaian diskala oleh k, luas diskala oleh k² dan volume oleh k³; mengubah hanya satu dimensi memerlukan rumus asli.
Elips $(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1$ memiliki pusat $(h,k)$. Semi-sumbu adalah akar kuadrat dari penyebut positif. Parabola $y^2=4px$ memiliki fokus $(p,0)$ dan directrix $x=-p$. Bedakan persamaan-persamaan ini dari hiperbola dengan selisih kuadrat.
Contoh terpecahkan. Elips (x-1)²/9+(y+2)²/4=1 memiliki ujung horizontal (-2,-2) dan (4,-2). y²=8x memiliki p=2 dan fokus (2,0). Tansan dengan panjang luar/total 3/12 dan 4/9 keduanya memiliki hasil kali 36, sehingga tangen dari titik yang sama memiliki panjang 6. Kerucut dengan jari-jari 3, tinggi 8 memiliki volume 24π.
Bahan latihan
Setiap soal latihan di bawah ini menyatakan semua data yang dibutuhkannya.
Latihan dengan penalaran
Latihan 1
Untuk $(x+2)^2/25+(y-1)^2/9=1$, nyatakan pusat, sumbu semi horizontal dan vertikal, serta empat ujung sumbu. Untuk $y^2=-12x$, nyatakan titik puncak dan titik fokus.
Penalaran. Pusat adalah $(-2,1)$, semi-sumbu 5 dan 3, ujung $(-7,1),(3,1),(-2,-2),(-2,4)$. Pada parabola, $4p=-12$, sehingga $p=-3$; vertex $(0,0)$, fokus $(-3,0)$.
Latihan 2
Dari satu titik luar, garis singgung memiliki panjang 6 cm. Sebuah garis potong memiliki segmen luar 4 cm. Temukan panjang seluruh dan bagian dalamnya.
Penalaran. Gunakan hubungan tangen-tansan $t^2=ew$. Susun ulang $w=t^2/e=(6\,\mathrm{cm})^2/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$. Panjang dalam adalah $w-e=9\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}$. Hasil kali menggunakan panjang total, bukan hanya bagian dalam.
Latihan 3
Sebuah wadah silinder memiliki jari-jari 3 cm dan tinggi 8 cm. Temukan volumenya dan total luas permukaannya tertutup. Apa yang terjadi pada masing-masing jika setiap panjang digandakan?
Penalaran. $V=\pi r^2h=\pi(3\,\mathrm{cm})^2(8\,\mathrm{cm})=72\pi\,\mathrm{cm^3}$. $A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi(3\,\mathrm{cm})^2+2\pi(3\,\mathrm{cm})(8\,\mathrm{cm})=66\pi\,\mathrm{cm^2}$. Menggandakan semua panjang mengalikan volume dengan 8 dan luas dengan 4.
Latihan 4
Klasifikasikan $x^2/16-y^2/9=1$ dan $x^2+y^2=16$. Temukan keliling dan luas lingkaran. Untuk dua garis potong dari titik luar yang sama, satu memiliki panjang bagian luar/keseluruhan 3/12 cm dan yang lainnya bagian luar 4 cm: temukan panjang keseluruhan dan bagian dalamnya.
Penalaran. Selisih suku kuadrat mendefinisikan hiperbola yang berpusat di titik asal. Penjumlahan dengan koefisien yang sama mendefinisikan lingkaran berjari-jari 4. Kelilingnya adalah $C=2\pi r=8\pi$ dan luasnya $A=\pi r^2=16\pi$ dalam satuan koordinat panjang dan luas masing-masing. Hasil kali tansan sesuai: $e_1w_1=e_2w_2$. Oleh karena itu $w_2=(3\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$; panjang dalam adalah $9-4=5\,\mathrm{cm}$. Luar dikali dalam akan menerapkan hubungan yang salah.
Batasan dan penggunaan selanjutnya
Ambil punca kuasa dua untuk jejari dan separuh paksi; gunakan keseluruhan panjang secant dan unit kubik untuk isipadu.
Ini adalah tugas latihan orisinal yang ditulis khusus untuk kursus ini, bukan soal ujian resmi.