Defining and Differentiating Vector-Valued Functions · Définir et dériver des fonctions vectorielles
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| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | fonction vectorielle |
Packaging motion into a single arrow
- A parametric curve gives $x(t)$ and $y(t)$ separately. Bundle them into one object: a vector-valued function 向量值函数.
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ is the position vector — an arrow from the origin to the moving point.
- It describes planar motion compactly, tracking both coordinates at once.
- Everything from parametric curves reappears here, in vector form.
Emballer le mouvement en une seule flèche
- Une courbe paramétrique donne $x(t)$ et $y(t)$ séparément. Bundlez-les dans un seul objet : une fonction vectorielle 向量值函数.
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ est le vecteur position — une flèche partant de l'origine vers le point mobile.
- Il décrit le mouvement planaire de manière compacte, suivant les deux coordonnées à la fois.
- Tout ce qui vient des courbes paramétriques réapparaît ici, sous forme vectorielle.
A path traced by r(t) · Un parcours tracé par r(t)
y = ax² + bx
The position vector $\mathbf{r}(t)$ points to the moving particle; its derivative (component-wise) is the velocity vector. · Le vecteur position $\mathbf{r}(t)$ pointe vers la particule en mouvement ; sa dérivée (composante par composante) est le vecteur vitesse.
Differentiate component by component
- To differentiate a vector-valued function, just differentiate each component separately:
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- No new rules — the derivative of a vector is the vector of the derivatives.
- $\mathbf{r}'(t)$ is the velocity vector, pointing in the direction of motion.
Dériver composante par composante
- Pour dériver une fonction vectorielle, il suffit de dériver chaque composante séparément :
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- Aucune nouvelle règle — la dérivée d'un vecteur est le vecteur des dérivées.
- $\mathbf{r}'(t)$ est le vecteur vitesse, pointant dans la direction du mouvement.
To differentiate $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$, you... · Pour dériver $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$, vous devez...
$\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$.
Velocity and acceleration vectors
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — the velocity vector.
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ — the acceleration vector.
- Each is found by differentiating the components again.
- The velocity vector is tangent to the path; its length is the speed.
Vecteurs vitesse et accélération
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — le vecteur vitesse.
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ — le vecteur accélération.
- Chacun se trouve en dérivant à nouveau les composantes.
- Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire ; sa longueur est la vitesse scalaire.
For · Pour $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$, the velocity $\mathbf{v}(t)=$ · Pour $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$, la vitesse $\mathbf{v}(t)=$
Differentiate each component. · Dériver chaque composante.
The acceleration vector is... · Le vecteur accélération est...
Differentiate position twice: $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$. · Dérivez la position deux fois : $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$.
Speed is the magnitude of velocity
- Speed is not a vector — it's the magnitude $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$.
- That's the same speed integrand as parametric arc length.
- So velocity carries direction and size; speed is just the size.
- Differentiate to go position → velocity → acceleration, component by component.
La vitesse scalaire est la norme de la vitesse
- La vitesse scalaire n'est pas un vecteur — c'est la norme $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$.
- C'est la même intégrande de vitesse que pour la longueur d'arc paramétrique.
- Donc la vitesse transporte la direction et la grandeur ; la vitesse scalaire n'est que la grandeur.
- Dérivez pour passer de position → vitesse → accélération, composante par composante.
For · Pour $\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$, find the speed $|\mathbf{v}(0)|$. · Pour $\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$, trouvez la vitesse $|\mathbf{v}(0)|$.
$\sqrt{0^2+1^2}=1$.
Speed is a vector, the same as velocity. · La vitesse est un vecteur, identique à la vitesse vectorielle.
Speed is the scalar magnitude $|\mathbf{v}|$. · La vitesse est la magnitude scalaire $|\mathbf{v}|$.
Speed equals the ____ of the velocity vector. · La vitesse est égale à la ____ du vecteur vitesse.
$|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$.
Differentiate a vector component by component — don't try to differentiate the "whole vector" as one messy expression. And keep velocity (a vector) distinct from speed (its magnitude, a scalar): $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$, never just $x'+y'$.
Dérivez un vecteur composante par composante — n'essayez pas de dériver le "vecteur entier" comme une expression compliquée unique. Gardez aussi la vitesse (un vecteur) distincte de la vitesse scalaire (sa norme, un scalaire) : $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$, jamais juste $x'+y'$.
For $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$, find $\mathbf{v}(t)$ and the speed at $t=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$.
- At $t=0$: $\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$.
- Speed $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$.
Pour $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$, trouvez $\mathbf{v}(t)$ et la vitesse à $t=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$.
- À $t=0$ : $\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$.
- Vitesse $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$.
A vector-valued function $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ describes planar motion. Differentiate it component by component: $\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$ (velocity), $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (acceleration). Speed is the magnitude $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ — a scalar, distinct from the velocity vector.
Une fonction vectorielle $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ décrit un mouvement planaire. Dérivez-la composante par composante : $\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$ (vitesse), $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (accélération). La vitesse scalaire est la norme $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ — un scalaire, distinct du vecteur vitesse.