Integrating Vector-Valued Functions · Intégrer des fonctions vectorielles
Integrating a vector, one component at a time
- Differentiating a vector was component-wise. Integrating one is exactly the same.
- Integrate each component separately, and bundle the results back into a vector.
- $\displaystyle\int \langle f(t),\,g(t)\rangle\,dt = \Big\langle \int f\,dt,\ \int g\,dt\Big\rangle$.
- This lets you run motion backward: from acceleration to velocity, velocity to position.
Intégrer un vecteur, composante par composante
- Dériver un vecteur était fait composante par composante. Intégrer un vecteur est exactement la même chose.
- Intégrez chaque composante séparément, et bundlez les résultats de retour dans un vecteur.
- $\displaystyle\int \langle f(t),\,g(t)\rangle\,dt = \Big\langle \int f\,dt,\ \int g\,dt\Big\rangle$.
- Cela vous permet de faire le mouvement à rebours : de l'accélération à la vitesse, de la vitesse à la position.
To integrate $\langle f(t),g(t)\rangle$, you... · Pour intégrer $\langle f(t),g(t)\rangle$, vous devez...
Integrate componentwise, plus a constant vector. · Intégrer composante par composante, plus un vecteur constant.
Component-wise antiderivatives
- Each component gets its own antiderivative — and its own constant.
- The constants combine into a constant vector $\mathbf{C}=\langle C_1,\,C_2\rangle$.
- So the indefinite integral of a vector function is itself a vector (plus $\mathbf{C}$).
- Nothing new to learn — just apply single-variable integration twice.
Primitives composante par composante
- Chaque composante obtient sa propre primitive — et sa propre constante.
- Les constantes se combinent en un vecteur constant $\mathbf{C}=\langle C_1,\,C_2\rangle$.
- Donc l'intégrale indéfinie d'une fonction vectorielle est elle-même un vecteur (plus $\mathbf{C}$).
- Rien de nouveau à apprendre — appliquez simplement l'intégration à une variable deux fois.
Integrating a vector function introduces a constant vector $\mathbf{C}$. · Intégrer une fonction vectorielle introduit un vecteur constant $\mathbf{C}$.
One constant per component, bundled into $\mathbf{C}$. · Une constante par composante, regroupée dans $\mathbf{C}$.
Each component of the integral has its own constant of integration. · Chaque composante de l'intégrale a sa propre constante d'intégration.
They combine into the constant vector $\mathbf{C}$. · Elles se combinent dans le vecteur constant $\mathbf{C}$.
Velocity from acceleration
- Given the acceleration vector $\mathbf{a}(t)$, integrate to recover velocity:
- $\mathbf{v}(t)=\displaystyle\int \mathbf{a}(t)\,dt$, with the constant vector fixed by an initial velocity $\mathbf{v}(t_0)$.
- Integrate again for position, using an initial position.
- It's the vector version of "position ← velocity ← acceleration" by integration.
Vitesse à partir de l'accélération
- Étant donné le vecteur accélération $\mathbf{a}(t)$, intégrez pour récupérer la vitesse :
- $\mathbf{v}(t)=\displaystyle\int \mathbf{a}(t)\,dt$, avec le vecteur constant fixé par une vitesse initiale $\mathbf{v}(t_0)$.
- Intégrez à nouveau pour la position, en utilisant une position initiale.
- C'est la version vectorielle de "position ← vitesse ← accélération" par intégration.
Integrate acceleration to velocity · Intégrer l'accélération pour obtenir la vitesse
y = ax² + bx
Integrating each acceleration component (plus a constant) recovers velocity — the initial condition fixes the constants. · Intégrer chaque composante d'accélération (plus une constante) récupère la vitesse — la condition initiale fixe les constantes.
Integrating the acceleration vector recovers the... · Intégrer le vecteur accélération récupère le...
Acceleration integrates to velocity. · L'accélération intègre pour donner la vitesse.
Use the initial condition to find $\mathbf{C}$
- Each integration introduces a constant vector you must pin down.
- Plug in the given initial vector (velocity or position at a time) and solve for $\mathbf{C}$.
- Do this per component: the initial condition fixes both $C_1$ and $C_2$.
- Then write the fully determined vector function.
Utiliser la condition initiale pour trouver $\mathbf{C}$
- Chaque intégration introduit un vecteur constant que vous devez déterminer.
- Insérez le vecteur initial donné (vitesse ou position à un instant) et résolvez pour $\mathbf{C}$.
- Faites cela par composante : la condition initiale fixe à la fois $C_1$ et $C_2$.
- Ensuite, écrivez la fonction vectorielle entièrement déterminée.
If $\mathbf{a}(t)=\langle 2,6t\rangle$ and · et $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$, then $\mathbf{v}(t)=$ · Si $\mathbf{a}(t)=\langle 2,6t\rangle$ et $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$, alors $\mathbf{v}(t)=$
Integrate then apply $\mathbf{v}(0)$: $C_1=1,C_2=0$. · Intégrez puis appliquez $\mathbf{v}(0)$ : $C_1=1,C_2=0$.
To determine the constant vector, apply the given ____ condition. · Pour déterminer le vecteur constant, appliquez la condition ____ donnée.
Plug in the initial velocity or position. · Insérez la vitesse ou la position initiale.
Integrate each component separately, and don't forget a constant vector $\mathbf{C}$ — a constant of integration for each component. Use the initial condition (velocity or position at a given time) to solve for $\mathbf{C}$ component by component before reporting the answer.
Intégrez chaque composante séparément, et n'oubliez pas un vecteur constant $\mathbf{C}$ — une constante d'intégration pour chaque composante. Utilisez la condition initiale (vitesse ou position à un instant donné) pour résoudre pour $\mathbf{C}$ composante par composante avant de donner la réponse.
If $\mathbf{a}(t)=\langle 2,\ 6t\rangle$ and $\mathbf{v}(0)=\langle 1,\ 0\rangle$, find $\mathbf{v}(t)$.
- Integrate: $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+C_1,\ 3t^2+C_2\rangle$.
- Apply $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$: $C_1=1$, $C_2=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+1,\ 3t^2\rangle$.
Si $\mathbf{a}(t)=\langle 2,\ 6t\rangle$ et $\mathbf{v}(0)=\langle 1,\ 0\rangle$, trouvez $\mathbf{v}(t)$.
- Intégrez : $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+C_1,\ 3t^2+C_2\rangle$.
- Appliquez $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$ : $C_1=1$, $C_2=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+1,\ 3t^2\rangle$.
Integrate a vector-valued function component by component: $\int\langle f,g\rangle\,dt=\langle\int f\,dt,\int g\,dt\rangle$, plus a constant vector $\mathbf{C}$. Integrate acceleration to get velocity (and again for position), using an initial condition to solve for $\mathbf{C}$ in each component.
Intégrez une fonction vectorielle composante par composante : $\int\langle f,g\rangle\,dt=\langle\int f\,dt,\int g\,dt\rangle$, plus un vecteur constant $\mathbf{C}$. Intégrez l'accélération pour obtenir la vitesse (et encore une fois pour la position), en utilisant une condition initiale pour résoudre pour $\mathbf{C}$ dans chaque composante.