Solving Motion Problems Using Parametric and Vector-Valued Functions · Résoudre des problèmes de mouvement utilisant des fonctions paramétriques et vectorielles
Full planar motion, start to finish
- Now combine everything: a particle moving in the plane, described by $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$.
- Differentiate for velocity and acceleration; integrate to go the other way.
- Compute speed and distance traveled from the velocity components.
- This lesson is the toolbox for any BC plane-motion problem.
Mouvement planaire complet, du début à la fin
- Maintenant tout assembler : une particule se déplaçant dans le plan, décrite par $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$.
- Dérivez pour la vitesse et l'accélération ; intégrez pour aller dans l'autre sens.
- Calculez la vitesse scalaire et la distance parcourue à partir des composantes de la vitesse.
- Cette leçon est la boîte à outils pour tout problème de mouvement planaire BC.
Position, velocity, acceleration
- Position: $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$.
- Velocity: $\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — direction of motion, tangent to the path.
- Acceleration: $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$.
- Move up the chain by differentiating, down by integrating with initial conditions.
Position, vitesse, accélération
- Position : $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$.
- Vitesse : $\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — direction du mouvement, tangente à la trajectoire.
- Accélération : $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$.
- Montez la chaîne en dérivant, descendez en intégrant avec des conditions initiales.
The velocity vector is tangent to the path; its magnitude is the ____. · Le vecteur vitesse est tangent au parcours ; sa magnitude est la ____.
Speed = magnitude of velocity. · Vitesse = magnitude de la vitesse.
Speed and distance traveled
- Speed at time $t$: $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$ — a scalar.
- Distance traveled over $[a,b]$: integrate the speed, $\displaystyle\int_a^b |\mathbf{v}(t)|\,dt$.
- That's the same arc-length integral — total path length, never negative.
- Speed answers "how fast right now"; the integral answers "how far overall."
Vitesse scalaire et distance parcourue
- Vitesse scalaire à l'instant $t$ : $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$ — un scalaire.
- Distance parcourue sur $[a,b]$ : intégrez la vitesse, $\displaystyle\int_a^b |\mathbf{v}(t)|\,dt$.
- C'est la même intégrale de longueur d'arc — longueur totale du chemin, jamais négative.
- La vitesse scalaire répond à "comment va-t-il maintenant ?" ; l'intégrale répond à "combien a-t-il parcouru au total ?"
A velocity component over time · Une composante de vitesse sur le temps
y = bx
Speed combines the velocity components; integrating speed over time gives the total distance the particle travels. · La vitesse combine les composantes de vitesse ; intégrer la vitesse sur le temps donne la distance totale parcourue par la particule.
For · Pour $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,3\rangle$, find the speed at $t=2$. · Pour $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,3\rangle$, trouvez la vitesse en $t=2$.
$\sqrt{4^2+3^2}=5$.
Distance traveled over $[a,b]$ is... · La distance parcourue sur $[a,b]$ est...
Integrate the speed (magnitude of velocity). · Intégrez la vitesse (magnitude de la vitesse).
Position at a later time
- To find where the particle is at time $b$: start from a known position and add the accumulated change.
- $x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b x'(t)\,dt$, and likewise for $y$ — each component separately.
- This is "final = initial + accumulated change," done per coordinate.
- Combine the two results into the position vector at time $b$.
Position à un instant ultérieur
- Pour savoir où la particule est à l'instant $b$ : partez d'une position connue et ajoutez le changement accumulé.
- $x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b x'(t)\,dt$, et de même pour $y$ — chaque composante séparément.
- C'est "final = initial + changement accumulé", fait coordonnée par coordonnée.
- Combinez les deux résultats dans le vecteur position à l'instant $b$.
Which of these are vectors (not scalars)? · Lequel de ceux-ci sont des vecteurs (et non des scalaires) ?
Velocity and acceleration are vectors; speed and distance are scalars. · La vitesse et l'accélération sont des vecteurs ; la vitesse scalaire et la distance sont des scalaires.
The · Le $x$-position at time $b$ is $x(a)$ plus... · La position $x$ au temps $b$ est $x(a)$ plus...
Final = initial + accumulated change of $x$. · Final = initial + changement accumulé de $x$.
Distance traveled equals the magnitude of the displacement vector. · La distance parcourue est égale à la magnitude du vecteur déplacement.
Distance is $\int|\mathbf{v}|\,dt$; displacement magnitude can be smaller. · La distance est $\int|\mathbf{v}|\,dt$ ; la magnitude du déplacement peut être plus petite.
Keep the vectors and scalars straight: velocity and acceleration are vectors (direction + size); speed and distance are scalars. Distance traveled is $\int|\mathbf{v}|\,dt$ (the speed integral), not the displacement $\int \mathbf{v}\,dt$ or $|\int\mathbf{v}\,dt|$. And find a later position by adding the component integrals to the initial position.
Gardez les vecteurs et scalaires bien distincts : la vitesse et l'accélération sont des vecteurs (direction + grandeur) ; la vitesse scalaire et la distance sont des scalaires. La distance parcourue est $\int|\mathbf{v}|\,dt$ (l'intégrale de la vitesse), pas le déplacement $\int \mathbf{v}\,dt$ ou $|\int\mathbf{v}\,dt|$. Et trouvez une position ultérieure en ajoutant les intégrales des composantes à la position initiale.
A particle has $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\ 3\rangle$. Find its speed at $t=2$ and set up the distance traveled on $[0,2]$.
- Speed at $t=2$: $|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{(4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$.
- Distance on $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2\sqrt{(2t)^2+3^2}\,dt=\int_0^2\sqrt{4t^2+9}\,dt$ (evaluate numerically).
Une particule a $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\ 3\rangle$. Trouvez sa vitesse à $t=2$ et mettez en place la distance parcourue sur $[0,2]$.
- Vitesse scalaire à $t=2$ : $|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{(4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$.
- Distance sur $[0,2]$ : $\displaystyle\int_0^2\sqrt{(2t)^2+3^2}\,dt=\int_0^2\sqrt{4t^2+9}\,dt$ (évaluez numériquement).
For plane motion $\mathbf{r}(t)=\langle x,y\rangle$: velocity $\mathbf{v}=\mathbf{r}'$, acceleration $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (vectors); speed $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ and distance traveled $\int_a^b|\mathbf{v}|\,dt$ (scalars). Find a later position by adding the component integrals of $x',y'$ to the initial position.
Pour un mouvement planaire $\mathbf{r}(t)=\langle x,y\rangle$ : vitesse $\mathbf{v}=\mathbf{r}'$, accélération $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (vecteurs) ; vitesse scalaire $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ et distance parcourue $\int_a^b|\mathbf{v}|\,dt$ (scalaires). Trouvez une position ultérieure en ajoutant les intégrales des composantes de $x',y'$ à la position initiale.