Finding Arc Lengths of Curves Given by Parametric Equations · Trouver les longueurs d'arc de courbes données par des équations paramétriques
| English | Français |
|---|---|
| arc length/ɑːk leŋθ/ | longueur d'arc |
| speed/spiːd/ | vitesse |
How far a parametric point travels
- A parametric point $\big(x(t),y(t)\big)$ moves through the plane. How long is the path it traces?
- That's the arc length 弧长 of the parametric curve, from $t=a$ to $t=b$.
- Each tiny time step moves the point by $dx=\tfrac{dx}{dt}\,dt$ across and $dy=\tfrac{dy}{dt}\,dt$ up.
- Add up those tiny hypotenuses to get the total length.
Combien un point paramétrique voyage
- Un point paramétrique $\big(x(t),y(t)\big)$ se déplace dans le plan. Quelle est la longueur du chemin qu'il trace ?
- C'est la longueur d'arc 弧长 de la courbe paramétrique, de $t=a$ à $t=b$.
- Chaque petit intervalle de temps déplace le point de $dx=\tfrac{dx}{dt}\,dt$ horizontalement et de $dy=\tfrac{dy}{dt}\,dt$ verticalement.
- Additionner ces petites hypoténuses donne la longueur totale.
The formula
- The little step length is $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$.
- Integrating over the time interval:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{\Big(\tfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\tfrac{dy}{dt}\Big)^2}\,dt$$
- Both component derivatives are squared, added, rooted, and integrated in $t$.
La formule
- La longueur de ce petit pas est $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$.
- Intégrer sur l'intervalle de temps :
-
$$L=\int_a^b \sqrt{\Big(\tfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\tfrac{dy}{dt}\Big)^2}\,dt$$
- Les deux dérivées composantes sont mises au carré, additionnées, mises sous racine, et intégrées dans $t$.
The arc length of a parametric curve is $\int_a^b(\ ?\ )\,dt$ where the integrand is... · La longueur d'arc d'une courbe paramétrique est $\int_a^b(\ ?\ )\,dt$ où l'intégrande est...
Both derivatives squared, added, under a root. · Les deux dérivées au carré, ajoutées, sous une racine.
For · Pour $x=t^2$, $y=t^3$: $(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=$ · Pour $x=t^2$, $y=t^3$ : $(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=$
$(2t)^2+(3t^2)^2=4t^2+9t^4$.
The integrand is the speed
- $\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}$ is exactly the speed 速率 of the moving point.
- Speed is distance per unit time; integrating speed over time gives total distance.
- So arc length = the integral of speed — the parametric version of "distance = ∫ speed dt."
- This connects directly to motion problems (lesson 9.6).
L'intégrande est la vitesse
- $\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}$ correspond exactement à la vitesse 速率 du point mobile.
- La vitesse est une distance par unité de temps ; intégrer la vitesse sur le temps donne la distance totale.
- Donc longueur d'arc = l'intégrale de la vitesse — la version paramétrique de « distance = ∫ vitesse dt. »
- Cela se connecte directement aux problèmes de mouvement (leçon 9.6).
Length is the integral of speed · La longueur est l'intégrale de la vitesse
y = ax^{1.5}
The parametric arc-length integrand is the point's speed — integrating speed over time gives the distance traveled. · L'intégrande de longueur d'arc paramétrique est la vitesse du point — intégrer la vitesse sur le temps donne la distance parcourue.
The parametric arc-length integrand equals the point's ____. · L'intégrande de longueur d'arc paramétrique est égal à la ____ du point.
Integral of speed = distance. · Intégrale de la vitesse = distance.
The parametric arc length is the same integral used for a particle's... · La longueur d'arc paramétrique est la même intégrale utilisée pour la ... d'une particule
Integral of speed = distance traveled. · Intégrale de la vitesse = distance parcourue.
Setting it up in practice
- Compute $\tfrac{dx}{dt}$ and $\tfrac{dy}{dt}$, square and add, take the root.
- Integrate from the starting $t$ to the ending $t$ (the $t$-interval, not $x$ or $y$).
- Many of these integrals need a calculator; the setup is the graded skill.
- Keep both derivatives — dropping one loses the diagonal motion.
Le mettre en place en pratique
- Calculer $\tfrac{dx}{dt}$ et $\tfrac{dy}{dt}$, les mettre au carré et les additionner, prendre la racine.
- Intégrez de la valeur de départ $t$ à la valeur de fin $t$ (l'intervalle $t$, pas $x$ ni $y$).
- Beaucoup de ces intégrales nécessitent une calculatrice ; la mise en place est la compétence évaluée.
- Conserver les deux dérivées ; en omettre une fait perdre le mouvement diagonal.
The limits of integration for parametric arc length are $t$-values. · Les limites d'intégration pour la longueur d'arc paramétrique sont des valeurs $t$.
Integrate over the time interval. · Intégrez sur l'intervalle de temps.
You can drop $\tfrac{dy}{dt}$ if · si $\tfrac{dx}{dt}$ is larger. · Vous pouvez omettre $\tfrac{dy}{dt}$ si $\tfrac{dx}{dt}$ est plus grand.
Both derivatives are needed for the diagonal motion. · Les deux dérivées sont nécessaires pour le mouvement diagonal.
The limits are $t$-values (the time interval), and both $\tfrac{dx}{dt}$ and $\tfrac{dy}{dt}$ appear, each squared under the root. Don't use $x$-limits, and don't forget one of the two derivatives. This is the same "speed integral" as distance traveled — not a signed quantity, so no absolute values needed (the root is already $\ge0$).
Les limites sont des valeurs $t$ (l'intervalle de temps), et les deux $\tfrac{dx}{dt}$ et $\tfrac{dy}{dt}$ apparaissent, chacun mis au carré sous la racine. N'utilisez pas les limites $x$, et n'oubliez pas l'une des deux dérivées. C'est la même « intégrale de vitesse » que la distance parcourue — ce n'est pas une quantité signée, donc aucune valeur absolue n'est nécessaire (la racine est déjà $\ge0$).
Find the length of $x=t^2,\ y=t^3$ for $0\le t\le 1$.
- $\tfrac{dx}{dt}=2t$, $\tfrac{dy}{dt}=3t^2$; sum of squares $=4t^2+9t^4=t^2(4+9t^2)$.
- $L=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{t^2(4+9t^2)}\,dt=\int_0^1 t\sqrt{4+9t^2}\,dt$.
- $u$-sub $u=4+9t^2$: $=\tfrac{1}{27}\big(13^{3/2}-8\big)\approx1.44$.
Trouvez la longueur d'arc de $x=t^2,\ y=t^3$ pour $0\le t\le 1$.
- $\tfrac{dx}{dt}=2t$, $\tfrac{dy}{dt}=3t^2$ ; somme des carrés $=4t^2+9t^4=t^2(4+9t^2)$.
- $L=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{t^2(4+9t^2)}\,dt=\int_0^1 t\sqrt{4+9t^2}\,dt$.
- Sous-$u$ de $u=4+9t^2$ : $=\tfrac{1}{27}\big(13^{3/2}-8\big)\approx1.44$.
The arc length of a parametric curve is $L=\int_a^b\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$ over the $t$-interval. The integrand is the point's speed, so this is the integral of speed = distance traveled. Square both component derivatives under one root.
La longueur d'arc d'une courbe paramétrique est $L=\int_a^b\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$ sur l'intervalle $t$. L'intégrande est la vitesse du point, c'est donc l'intégrale de la vitesse = distance parcourue. Mettez au carré les deux dérivées des composantes sous une seule racine.