C.4 · Ondes stationnaires et résonance

Guide complet C.4 Ondes stationnaires et résonance, première évaluation 2025. Lisez directement dans le guide de physique, pages 48–49. Prérequis : C.1 (vocabulaire des oscillations) et C.3 (superposition).

Ce sont des exemples pédagogiques originaux, pas des mesures réelles ou des enquêtes évaluées par les apprenants.

Deux ondes identiques se propageant en sens opposés — généralement une onde et sa réflexion — se superposent pour former une onde stationnaire : le motif reste fixe tandis que le milieu oscille à l'intérieur. Là où elles s'annulent toujours, il y a un nœud (déplacement nul) ; là où elles se renforcent toujours, il y a un ventre (amplitude maximale). Deux points situés entre deux nœuds voisins oscillent en phase ; les points de part et d'autre d'un nœud sont en anti-phase — contrairement à une onde propagative, la phase ne progresse pas le long du milieu.

Les extrémités déterminent quelles longueurs d'onde peuvent s'y installer. Une extrémité fixe d'une corde (ou l'extrémité fermée d'un tuyau) doit être un nœud de déplacement ; une extrémité libre d'une corde (ou l'extrémité ouverte d'un tuyau) doit être un ventre. Les tuyaux sont décrits uniquement en termes de déplacement (les nœuds de pression ne sont pas requis, et aucune correction d'extrémité n'est nécessaire).

Le mode de fréquence la plus basse est le premier harmonique (les termes « fondamental » et « harmonique supérieur » ne sont pas utilisés dans ce cours). Déterminer la longueur d'onde et la fréquence du $n$e harmonique à partir de la longueur et de la vitesse de propagation constitue une compétence requise.

Vérification résolue (corde). Une corde de longueur 0.60 m transporte des ondes à 240 m/s. Premier harmonique : $\lambda_1 = 2L = 1.2\ \mathrm{m}$, $f_1 = v/2L = 240/1.2 = 200\ \mathrm{Hz}$ ; le deuxième harmonique double pour atteindre 400 Hz, le troisième pour atteindre 600 Hz.

Vérification corrigée (tuyau fermé–ouvert). Un tuyau fermé à une extrémité et ouvert à l’autre, de longueur 0.40 m, avec le son dans l’air à 340 m/s : $f_1 = v/4L = 340/1.6 = 213\ \mathrm{Hz}$ ; l’harmonique suivante est le troisième, $f_3 = 3f_1 = 638\ \mathrm{Hz}$ — les harmoniques pairs ne peuvent pas se former.

Vérification résolue (tuyau ouvert–ouvert). Le même tuyau ouvert aux deux extrémités : $f_1 = v/2L = 340/0.80 = 425\ \mathrm{Hz}$, une octave au-dessus de la première harmonique du tuyau fermé–ouvert, et chaque harmonique est autorisée.

Tout système élastique possède une fréquence propre — la fréquence à laquelle il oscille lorsqu’il est laissé seul. Si on l’excite par une force périodique, la réponse dépend de la fréquence d’excitation : lorsque la fréquence d’excitation approche de la fréquence propre, l’amplitude augmente brusquement — c’est la résonance. L’énergie arrive exactement à la vitesse que le système peut absorber, donc l’amplitude en résonance est limitée uniquement par la dissipation énergétique.

L’amortissement — l’élimination de l’énergie oscillatoire — modifie la réponse : il réduit l’amplitude maximale, décale légèrement le pic de résonance vers une fréquence inférieure à la fréquence propre, et l’élargit.

• Faible amortissement — un pic haut et étroit ; grande amplitude de résonance (une balançoire poussée doucement à sa fréquence propre).
• Amortissement critique — l’oscillation s’éteint en un temps minimal sans franchir la position d’équilibre ; le pic de résonance a pratiquement disparu (suspension automobile).
• Fort amortissement — retour lent et pesant ; le système répond très peu à n’importe quelle fréquence d’excitation (un ferme-porte lourd).

La résonance est souhaitable et exploitée (instruments de musique, accordage radio, IRM) et indésirable ou destructrice (pont de Tacoma Narrows, machinerie qui se désagrège, soldats cassant le pas sur un pont) — le guide demande d’en aborder les deux aspects.

1. Expliquez comment se forme une onde stationnaire et pourquoi les nœuds restent fixes tandis que le milieu entre eux bouge.
2. Deux points situés de part et d’autre d’un nœud, chacun à 0.15 m de celui-ci. Donnez leur différence de phase.
3. Une corde fixée aux deux extrémités mesure 0.75 m et transporte des ondes à 150 m/s. Calculez les fréquences du premier et du deuxième harmonique.
4. Expliquez pourquoi un tuyau fermé–ouvert ne produit que des harmoniques impairs.
5. Un tuyau de longueur 0.50 m est ouvert aux deux extrémités ; la vitesse du son est 340 m/s. Calculez la fréquence du premier harmonique et la longueur d’onde du deuxième harmonique.
6. Esquissez ou décrivez comment la courbe de résonance d’un système faiblement amorti évolue lorsque l’amortissement augmente.
7. Citez un effet utile et un effet destructeur de la résonance, avec la raison physique de chacun.

Réponses : 1 deux ondes identiques voyageant en sens opposés interfèrent ; au niveau d’un nœud leurs déplacements s’annulent toujours, donc il ne bouge jamais, tandis qu’entre les nœuds l’interférence oscille ; 2 en opposition de phase — 180° (π rad) d’écart ; 3 $f_1 = v/2L = 150/1.5 = 100\ \mathrm{Hz}$, $f_2 = 200\ \mathrm{Hz}$ ; 4 l’extrémité fermée doit être un nœud et l’extrémité ouverte un ventre d’onde, donc seul un nombre impair de quart-de-longueur d’onde s’adapte — les harmoniques pairs ne satisfont pas ces deux conditions simultanément ; 5 $f_1 = v/2L = 340/1.0 = 340\ \mathrm{Hz}$ ; $\lambda_2 = L = 0.50\ \mathrm{m}$ ; 6 le pic diminue, s’élargit et se décale légèrement sous la fréquence propre ; 7 utile — un circuit radio accordé sur la résonance sélectionne une seule station parmi beaucoup car il ne répond qu’aux fréquences proches de sa fréquence propre ; destructif — exciter à la fréquence propre injecte plus d’énergie qu’il n’en est dissipé, l’amplitude croît jusqu’à la rupture structurelle.