6 · Statistics and probability

Sujet 4MA1 thème 6 (spécification Problème 2, novembre 2017). Le niveau fondamental 6.1–6.3 couvre la présentation des données, les moyennes avec estimations groupées et l'ensemble des outils probabilistes (échelle, espaces échantillonaux, diagrammes de Venn, compléments) ; le niveau supérieur ajoute des histogrammes avec classes inégales, classes, travail de fréquence cumulative avec médiane et étendue interquartile, et arbre diagrammes pour événements indépendants et conditionnels. Sur les copies de juin 2024, cette partie fournissait un histogramme à classes inégales (1HR Q16), un graphique de fréquence cumulative avec les lectures de quartiles (2HR Q11) et la question algébrique sans remise (1HR Q21).

Connaissances indispensables pour le sujet 6 :

Tabuler avant de dessiner : compter les effectifs dans un tableau de fréquences, conserver explicitement les limites de classe, puis choisir le diagramme — histogramme (catégories discrètes), diagramme circulaire (proportions), pictogramme ou polygone de fréquences pour des données groupées. L'interprétation fonctionne dans les deux sens : lire les valeurs sur un graphique donné et comparer des distributions (deux groupes sur les mêmes axes ; un axe tronqué trompeur est également une observation pertinente).

En niveau supérieur, dessiner des histogrammes avec des largeurs de classes inégales : la hauteur du rectangle la hauteur est la densité de fréquence $= \dfrac{\text{frequency}}{\text classe} largeur}}}$, donc l'aire représente la fréquence. Les classes de largeur égale constituent le cas particulier où seule la hauteur suffit.

Exemple résolu : 1HR de juin 2024 Q16, adapté. Les classes de largeurs 2, 3, 5, 10, 15 contiennent fréquences 5, 12, 18, 14, 9. Densités : $\tfrac52 = 2.5$, $\tfrac{12}3 = 4$, $\tfrac{18}5 = 3.6$, $\tfrac{14}{10} = 1.4$, $\tfrac9{15} = 0.6$ — le barème de correction de l'examen accepte des barres de largeur correcte dont les hauteurs sont dans ce rapport. Vérifiez vous-même : la dernière barre semble haute uniquement parce que sa largeur est 15 ; son aire est $0.6 \times 15 = 9$. ✓

La moyenne additionne et divise ; la médiane classe et prend le milieu ; la mode est la plus fréquente. Pour 3, 7, 8, 10, 12 : moyenne 8, médiane 8, étendue $12 - 3 = 9$. Pour des données groupées, estimer la moyenne avec les classes moyennes : multiplier chaque classe moyenne par sa fréquence, additionner, diviser par le total ; indiquer la classe modale (la classe ayant la densité de fréquence la plus élevée lorsque les largeurs diffèrent).

Exemple résolu : moyenne groupée. Temps $t$ (minutes) pour 25 étudiants :

$\sum fm = 20 + 105 + 225 + 175 = 525$ et $\sum f = 25$, donc la moyenne est environ $525 \div 25 = 21$ minutes. C'est seulement une estimation, car chaque étudiant est considéré comme étant au point milieu. La classe modale est $20 < t \le 30$. Diviser par 4 (le nombre de classes) au lieu de 25 est l'erreur habituelle.

Les quantiles mesurent l'écart avec les quartiles : classer les données, prendre la médiane, puis les médianes des moitiés inférieure et supérieure donnent $Q_1$ et $Q_3$; l'écart interquartile est $Q_3 - Q_1$ (résistant aux valeurs aberrantes, contrairement à l' étendue). Pour 4, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15 : la médiane est 9.5, la moitié inférieure 4, 6, 7, 9 donne $Q_1 = 6.5$, la moitié supérieure 10, 12, 14, 15 donne $Q_3 = 13$, donc l'EIQ est $13 - 6.5 = 6.5$.

Un tableau de fréquence cumulée ajoute les fréquences au fur et à mesure que les classes avancent ; tracer chaque total contre sa limite supérieure de classe et joindre par une courbe croissante régulière — l' ogive. Lecture : la médiane correspond à la valeur en $\tfrac n2$ sur la courbe ; les quartiles en $\tfrac n4$ et $\tfrac{3n}4$ ; l'IQR est leur différence ; les percentiles fonctionnent de la même façon, et « combien au-dessus de X » lit le total en X et soustrait de $n$.

Exemple résolu : famille HR de juin 2 Q2024 Q11, adapté. Les temps de travail des 60 travailleurs (heures par semaine) : fréquences cumulées 6, 17, 27, 42, 60 aux limites supérieures 10, 15, 20, 25, 30. La médiane se situe au 30e travailleur : entre 20 (27 travailleurs) et 25 (42), donc $20 + 5 \times \tfrac{30 - 27}{42 - 27} = 21$ heures. Les quartiles : le 15e travailleur donne $Q_1 = 10 + 5 \times \tfrac{15 - 6}{17 - 6} = 14.1$ ; le 45e donne $Q_3 = 25 + 5 \times \tfrac{45 - 42}{60 - 42} = 25.8$ ; EIQ $\approx 11.7$. Tracez les lignes de lecture sur le graphique — les points sont attribués aux lectures, pas seulement aux réponses.

La probabilité mesure la vraisemblance sur l'échelle 0 (impossible) à 1 (certain). Un modèle théorique compte les issues également possibles ; une expérience estime à partir de fréquence : $P(\text{event}) \approx \tfrac{\text{times it happened}}{\text{trials}}$ (estimations basées sur des données précédemment collectées incluses). L'espace échantillonnal répertorie toutes les issues — pour deux événements successifs, une grille ou une liste systématique ; la probabilité d'un événement compte les cases favorables. La règle du complémentaire : la probabilité compte les cases favorables. La règle du complément : $P(A') = 1 - P(A)$ — souvent le chemin rapide (questions « au moins un »).

Diagrammes de Venn : zones pour chaque ensemble et leur intersection ; les probabilités remplissent les zones et s'additionnent à 1, avec $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Exemple : 30 étudiants, 18 aiment le cricket ($C$), 15 le tennis ($T$), 7 les deux : $P(C \cup T) = \tfrac{18 + 15 - 7}{30} = \tfrac{26}{30}$, and $P(\text{neither}) = 1 - \tfrac{26}{30} = \tfrac{2}{15}$.

Diagrammes en arbre : multiplier le long des branches et additionner entre les issues. AVEC remplacement, les branches se répètent — les événements sont indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. SANS remplacement, le dénominateur de la deuxième branche diminue d'une unité et son numérateur diminue selon le premier résultat : les tirages sont dépendants, et le développement montre les fractions changeantes.

Exemple résolu : famille HR de juin 1 Q2024 Q21, adapté. Un sac contient 5 rouges, 6 bleus et 9 verts ; deux sont prélevés sans remplacement. $P(\text{un rouge et un bleu, dans soit l'ordre) = \tfrac{5}{20} × \tfrac{6}{19} + \tfrac{6}{20} × \tfrac{5}{19} = \tfrac{60}{380} = \tfrac{3}{19}$. La version du sujet utilise la même mécanique avec une inconnue $x$ et résout l'équation quadratique résultante (résultats vérifiés : $x = 11$, probabilité finale $\tfrac7{75}$) : égaliser l'expression à deux chemins à la probabilité donnée, développer, résoudre et rejeter la racine interdite par le contexte.

Deux sont prélevés sans remise, et $n$. Trouver 6. Deux sont tirés sans remise, et $P(\text{both orange}) = \tfrac13$. Trouver $n$.

Le nombre de bonbons ne peut pas être négatif, donc $n = 10$. Vérification : $\tfrac{6}{10} \times \tfrac{5}{9} = \tfrac{30}{90} = \tfrac13$. ✓

Probabilité conditionnelle réduit l'univers : $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ — sur un arbre, la deuxième branche sachant que la première s'est produite. Avec le sac ci-dessus, $P(\text{blue second} \mid \text{red first}) = \tfrac{6}{19}$ se lit directement sur la branche.

• Tableaux et présentation des données ; interpréter les graphiques et comparer les distributions (F 6.1 A–C).
• Tracer des histogrammes à largeurs inégales via la densité de fréquence ; l'aire est la fréquence (H 6.1 A ; juin 2024 1HR Q16).
• Moyenne, médiane, mode, étendue ; moyenne groupée via les classes moyennes ; classe modale (F 6.2 B–D).
• Quartiles et IQR pour des données discrètes par position (H 6.2 B–C).
• Construire des courbes de fréquences cumulées à partir de tableaux ; lire les médianes, quartiles, IQR et percentiles avec des lignes de lecture tracées (H 6.1 B–C, H 6.2 A, D ; juin 2024 2HR Q11).
• Échelle de probabilité ; estimations théoriques et expérimentales ; espaces échantillonaux et dénombrement systématique pour deux événements ; diagrammes de Venn avec la règle d'addition ; compléments (F 6.3 A–H).
• Diagrammes en arbre : multiplier le long, additionner entre ; avec remise (indépendant) ou sans ; probabilité conditionnelle lue depuis les branches ; configurations algébriques aboutissant à des équations quadratiques (H 6.3 A–D ; juin 2024 1HR Q21 famille).

Notes aux limites : les histogrammes utilisent la densité de fréquence (et non la fréquence) lorsque les largeurs diffèrent ; les conventions des quartiles ici sont positionnelles (médianes des moitiés inférieure et supérieure de données) ; la valeur attendue et la notation ensembliste formelle relèvent d'études ultérieures. Les candidats du niveau fondamental ne traitent que les lignes 6.1–6.3 du niveau fondamental. Les exemples corrigés sont adaptés à partir des examens de juin 2024 revus ou originaux ; les questions de la feuille sont originales sauf indication contraire.