3 · Sequences, functions and graphs

Sujet 4MA1 3 (numéro de spécification 2, Novembre 2017). Les lignes Fondamental 3.1 et 3.3 sont partagées avec Higher ; le bloc de notation fonctionnelle 3.2 et le bloc de calcul différentiel 3.4 sont réservés à Higher, et Higher 3.3 étend l'étude des graphiques aux cubiques, aux fonctions réciproques, aux courbes trigonométriques, aux transformations et aux intersections. Dans les épreuves Higher de juin 2024, cette section est la plus importante des six thèmes, (représentant environ un tiers de chaque épreuve) et elle permet de discriminer entre les notes A/A* : sommes de séries algébriques, fonctions composées, droites perpendiculaires, intersections droite–courbe et points stationnaires.

Indispensable pour le thème 3 (la fiche formules Higher ne donne que les règles des séries et du trapèze) :

Une règle terme à terme indique comment obtenir le terme suivant (ajouter 4 : 5, 9, 13, 17, … ; multiplier par 2 : 1, 2, 4, 8, …) ; une règle terme à position donne directement un terme à partir de son rang. Pour une suite arithmétique dont le premier terme est $a$ et la raison est $d$, le $n$e terme est $u_n = a + (n-1)d$ : pour 1, 3, 5, 7, … la règle est $2n - 1$, et « le terme n-ième est $4n + 3$ » génère 7, 11, 15, … Vérifiez une règle proposée sur deux positions avant de vous y fier.

Higher ajoute la somme d'une série arithmétique. En associant le premier avec le dernier, le deuxième avec l'avant-dernier, … on obtient $n/2$ paires égales dont la somme est $a + u_n$ :

Pour $4+7+10+13+\cdots$ : $a=4$, $d=3$, donc $S_{50} = 25\,(8 + 49 \times 3) = 25 \times 155 = 3875$. Recovering $a$ and $d$ à partir de deux termes, on utilise la règle du terme comme système d'équations simultanées : si $u_2 = 7$ et $u_5 = 19$, alors $3d = 12$, donc $d = 4$ et $a = 7 - 4 = 3$.

Exemple résolu (1HR juin 2024 Q23, adapté.) Trois termes consécutifs d'une suite arithmétique sont $4x-14$, $x+2$ et $7x-9$. Les termes consécutifs ont une différence commune, donc $(x+2)-(4x-14) = (7x-9)-(x+2)$, donnant $-3x + 16 = 6x - 11$, donc $x = 3$. Les termes sont $-2, 5, 12, \ldots$ : $a = -2$, $d = 7$. Alors $S_{40} = 20\left[2(-2) + 39 \times 7\right] = 20 × 269 = 5380$. Keep $a$, $d$ symbolique jusqu'à la substitution finale — l'algèbre, et non l'arithmétique, rapporte les points.

Une fonction associe à chaque entrée d'un ensemble exactement une sortie d'un autre : écrire $f(x) = \ldots$ ou $f{:}\ x \mapsto \ldots$ Le domaine est l'ensemble des entrées autorisées ; la image est l'ensemble des sorties. Exclure les entrées qui enfreignent la règle : pour $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ exclure $x = 2$ ; pour $f(x) = \sqrt{x}$ prendre $x \ge 0$.

La fonction composée $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$ applique d'abord $g$, puis $f$ — la sortie de $g$ doit être une entrée autorisée de $f$. La fonction réciproque $f^{-1}$ annule $f$, et n'existe que lorsque $f$ est bijective : pour $f(x) = \sqrt{x-2}$ (domaine $x \ge 2$, image $f \ge 0$), écrire $y = \sqrt{x-2}$ et élever au carré donne $x = y^2 + 2$, donc $f^{-1}(x) = x^2 + 2$ sur le domaine $x \ge 0$. Toujours vérifier $f^{-1}(f(x)) = x$.

Exemple résolu (2HR juin 2024 Q17, adapté). $f(x) = \dfrac{x}{2x-4}$ et $g(x) = 3x+1$ ; trouver $k$ sachant que $\mathrm{fg}(k) = 2$. D'abord $g(k) = 3k+1$, puis

donc $3k+1 = 12k-4$, ce qui donne $9k = 5$ et $k = \tfrac59$. (Raccourci utile à connaître : résoudre $f(x) = 2$ en premier donne $x = 8/3$, donc poser $g(k) = 8/3$ — même résultat avec moins d'algèbre.)

Les coordonnées cartésiennes nomment des points dans les quatre quadrants ; un point milieu fait la moyenne des coordonnées extrêmes : $M = \left(\tfrac{x_1+x_2}{2}, \tfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. La pente d'une droite est le changement en $y$ divisé par le changement en $x$ : passant par $(1,7)$ et $(2,9)$, la pente est $2$. Une droite $y = mx+c$ a une pente de $m$ et coupe l'axe $y$ au point $(0,c)$ — pour $y = 3x+5$, pente 3 et ordonnée à l'origine $(0,5)$. Cas particuliers : $x = k$ est verticale (aucune pente finie), $y = c$ est horizontale (pente 0). Les graphiques de conversion (devises, température) se lisent de la même manière.

L'interprétation de graphiques réels fait partie de ce bloc : sur un graphique distance–temps, la pente est la vitesse ; sur un graphique vitesse–temps, la pente est l'accélération et l'aire sous la courbe représente la distance parcourue. La pratique du tracé couvre le remplissage de tableaux de valeurs pour les droites (y compris les formes $ax + by = c$) et les quadratiques, en traçant une courbe lisse passant par les points tracés — jamais des segments de droite entre eux.

Droites parallèles ont une pente identique. Droites perpendiculaires ont des pentes dont le produit est $-1$ : perpendiculaire à $m$ est $-1/m$. La droite passant par $(x_1, y_1)$ avec pente $m$ est $y - y_1 = m(x - x_1)$.

Exemple résolu (2HR juin 2024 Q21, adapté). $ABCD$ est un carré avec $A(-5, 2)$ et $B(3, 5)$ ; trouver l'équation de $BC$ sous la forme $ax + by + c = 0$. Les côtés adjacents d'un carré sont perpendiculaires. La pente de $AB$ est $\tfrac{5-2}{3-(-5)} = \tfrac38$, donc la pente de $BC$ est $-\tfrac83$. Passant par $B(3,5)$ : $y - 5 = -\tfrac83(x-3)$, donc $3y - 15 = -8x + 24$, donnant $8x + 3y - 39 = 0$. Développer à la fin pour que $a$, $b$, $c$ soient des entiers, comme demandé.

Le niveau supérieur 3.3 exige la reconnaissance et le tracé de trois familles de courbes au-delà des quadratiques : cubiques $y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ (signes quelconques ; $y = x^3 - 4x$ monte–descend–monte), réciproques $y = A/x$, $y = A/x^2$, $y = A/x^3$ (deux branches, asymptotes, ne croisant jamais les axes) et les graphes trigonométriques $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$ pour des angles de toute taille en degrés — le sinus et le cosinus oscillent entre $-1$ et $1$ avec une période de 360° ; la tangente se répète toutes les 180° et présente des discontinuités à $90° + 180°n$. Un cercle centré à l'origine a $x^2 + y^2 = r^2$ — ce cercle est introduit dans ce cours comme la seconde courbe d'une intersection question.

Quatre transformations de $y = f(x)$ sont requises, pour les fonctions linéaires, quadratiques, sinus et cosinus :

Les fonctions intérieures agissent à l'envers sur $x$ et uniquement sur $x$. Pour $f(x) = x^2$ : $y = f(x-2)+5 = (x-2)^2 + 5$ moves the minimum from $(0,0)$ to $(2, 5)$; $y = f(2x) = 4x^2$ halves the les valeurs de $x$, rendant la parabole plus étroite, pas plus haute. Pour $y = \sin 2x$, la période est divisée par deux pour atteindre 180°. Lisez une transformation tracée sur le graphique (où est allé le point d'inflexion ?) et exprimez-la algébriquement — les deux sens sont évalués.

Gradients of curves: draw a tangent at the point and take its gradient as élévation/avance — c'est la ligne tracée, pas la courbe, qui est mesurée. Les pentes exactes des courbes nécessitent le calcul, (section suivante).

Intersections : les valeurs de $x$ où une droite linéaire $y_1$ rencontre une courbe non linéaire $y_2$ correspondent aux solutions de $y_2 - y_1 = 0$. Les points de rencontre entre $y = 2x+1$ et $y = x^2 + 3x - 2$ satisfont $x^2 + x - 3 = 0$ ; entre $y = 5$ et $y = x^3 - 3x^2 + 7$, résolvez $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$.

Exemple résolu (2HR Juin 2024 Q22, adapté). Trouvez où la droite $y = 3x - 1$ rencontre la courbe $x^2 + y^2 = y + 11$. Substituez l'équation de la droite dans celle de la courbe :

donnant $x = -\tfrac35$ ou $x = \tfrac32$, avec $y = 3x-1$ conduisant à $y = -\tfrac{14}{5}$ ou $y = \tfrac72$. Les points sont $\left(-\tfrac35, -\tfrac{14}{5}\right)$ et $\left(\tfrac32, \tfrac72\right)$ — substituez ces coordonnées dans l'autre équation pour vérifier : $\tfrac94 + \tfrac{49}{4} = \tfrac{58}{4} = 14.5 = \tfrac72 + 11$. ✓

La pente d'une courbe varie le long de celle-ci : un taux de variation variable. La différentiation donne exactement : pour les puissances entières de $x$,

Pour $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ : $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 16x - 12$. Un point stationnaire a $\dfrac{dy}{dx} = 0$ : ici $3x^2 - 16x - 12 = (3x+2)(x-6)$, donc $x = -\tfrac23$ ou $x = 6$. Distinguer un maximum d'un minimum à partir de la forme du graphique : un polynôme cubique avec coefficient $x^3$ positif monte–descend–monte... ici $y \to -\infty$ en tant que $x \to -\infty$, le point stationnaire de gauche $x = -\tfrac23$ est le maximum ($y = \tfrac{247}{27} \approx 9.1$) and the right one is the minimum ($y(6) = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$).

Exemple résolu (1HR juin 2024 Q19, adapté). $C$ a pour équation $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ et possède exactement deux points stationnaires $A$ et $B$ avec $x_A > x_B$ ; trouver $A$. Différencier et égaliser à zéro : $(3x+2)(x-6) = 0$, et la plus grande racine est $x = 6$. En substituant dans la courbe : $y = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$, donc $A = (6, -139)$. Les points sont attribués selon la chaîne — différencier (au moins deux termes corrects), égaliser à zéro, résoudre l'équation quadratique, substituer.

Cinématique : avec un déplacement $s$ en mètres après $t$ secondes, la vitesse est le taux de variation du déplacement et l'accélération le taux de variation de la vitesse : $v = \dfrac{ds}{dt}$, $\quad a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$. Pour $s = t^3 - 24t$ (mètres, $0 \le t \le 20$) : $v = 3t^2 - 24$ m/s et $a = 6t$ m/s². Le particule est instantanément au repos là où $v = 0$ : $t = \sqrt{8} = 2.83$ s (3 c.s.).

• Générer des suites à partir de règles terme-à-termes et position-à-position ; trouver la règle d'une suite d'entiers (F 3.1 A–B).
• Utiliser $u_n = a + (n-1)d$ pour les suites arithmétiques ; déterminer $a$ et $d$ à partir de deux termes quelconques (F 3.1 C, H 3.1 A–B).
• Calculer la somme d'une série arithmétique avec $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$, y compris les termes algébriques (H 3.1 C ; juin 2024 1HR Q23).
• Utiliser la notation $f(x)$ et $f{:}\,x\mapsto$ ; énoncer les domaines avec exclusions et les images (H 3.2 A–C).
• Construire $\mathrm{fg}(x)$ — $g$ en premier — et déterminer $f^{-1}$ sur un domaine injectif (H 3.2 D ; juin 2024 2HR Q17).
• Lire, tracer et interpréter des graphiques dans tous les quadrants : points milieux, graphiques de conversion, graphiques distance/vitesse-temps, tableaux de valeurs (F 3.3 A–I).
• Pentes issues de deux points ; $y = mx + c$ ; équations de droites parallèles et perpendiculaires passant par un point (F 3.3 G–H, H 3.3 F–G ; juin 2024 2HR Q21).
• Reconnaître et esquisser des fonctions cubiques, des courbes réciproques, $\sin/\cos/\tan$, et le cercle centré à l'origine $x^2+y^2=r^2$ (H 3.3 A).
• Appliquer et lire les quatre transformations $f(x)+a$, $f(x+a)$, $af(x)$, $f(ax)$ (H 3.3 B–C).
• Estimer la pente d'une courbe en traçant une tangente (H 3.3 D).
• Résoudre les intersections linéaire-non-linéaire via $y_2 - y_1 = 0$ et vérifier par substitution (H 3.3 E ; juin 2024 2HR Q22).
• Dériver des puissances entières ; trouver les points stationnaires ; classifier max/min selon la forme du graphique (H 3.4 A–D ; juin 2024 1HR Q19).
• Appliquer le calcul différentiel au mouvement : $v = ds/dt$, $a = dv/dt$, et « au repos » signifie $v = 0$ (H 3.4 E).

Notes sur les limites : les suites géométriques et la somme vers l'infini sont exclues à ce niveau (aucun suite géométrique dans 4MA1 3.1) ; la dérivation est limitée aux puissances entières de $x$ — chaîne, produit et quotient sont exclues ; la mesure radianne est exclue (degrés partout). Les candidats Foundation répondent uniquement à 3.1 et 3.3. Les exemples résolus ci-dessus sont adaptés de la paire Higher de juin 2024 révisée (voir les preuves d'évaluation du méta) ; toutes les autres questions des fiches sont originales.