1 · Numbers and the number system

4MA1 sujet 1 (spécification Problème 2, novembre 2017) représente le cœur numérique du diplôme : les lignes Fondamentales 1.1–1.11 s'étendent des entiers et des quatre règles aux fractions, décimales, indices, ensembles, pourcentages, rapport, bornes et notation scientifique jusqu'au travail quotidien sur les nombres ; le niveau Supérieur ajoute la conversion décimale périodique, racines carrées, ensembles algébriques, variations de pourcentage répétées et problèmes de bornes. Dans les épreuves de juin 2024, ce volet fournit des pourcentages inverses (2HR Q8), la notation scientifique (2HR Q9), les décimales périodiques démonstration (2HR Q18), multiplication à borne supérieure (2HR Q19), rationalisation des racines (famille 1HR Q17) et facteurs premiers avec régions de Venn (famille 1HR Q11).

Indispensable pour le sujet 1 :

Les nombres entiers couvrent les positifs, négatifs et zéro ; la valeur positionnelle nomme la valeur de chaque chiffre. Les nombres orientés apparaissent dans des contextes pratiques (température, dette, niveau de la mer) ; l'ordonnancement les place sur la droite numérique. Les quatre règles avec les négatifs : mêmes signes on additionne, différents signes on soustrait, deux négatifs font un positif. Parenthèses, puis puissances, puis division/multiplication, puis addition/soustraction (BIDMAS) : $3 + 4 \times 2^2 = 3 + 16 = 19$, tandis que $(3 + 4) \times 2 = 14$. Impair, pair, nombres premiers (exactement deux facteurs), facteurs et multiples classifient les nombres entiers ; facteurs communs et multiples communs mènent au PPCM et PSCF.

Fractions équivalentes se simplifient ou s'étendent : $\tfrac{8}{12} = \tfrac23$. Nombres mixtes et fractions ordinaires se convertissent par une division avec reste. Un dénominateur commun permet d'ordonner, comparer, additionner et soustrait : $\tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{4}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{7}{12}$. A fraction d'une quantité multiplie : $\tfrac34$ de 48 vaut 36 ; exprimer un nombre comme fraction d'un autre divise ($7$ en tant que fraction de $28$ est $\tfrac14$). La multiplication de fractions multiplie les numérateurs et les dénominateurs ; la division multiplie par le inverse — les fractions unitaires comme inverses multiplicatifs ($\tfrac13$ annule $3$). Décimales périodiques (Supérieur) se convertissent par algèbre : posons 100;

Décimales périodiques (Niveau supérieur) se convertissent par l'algèbre : posons $x = 0.306306\ldots$; ainsi $1000x = 306.306\ldots$ ; en soustrayant, $999x = 306$, donc $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$ (juin 2024 2HR Q18). Une décimale finie est une fraction dont le dénominateur est une puissance de dix.

La valeur positionnelle décimale s'étend aux dixièmes, centièmes, millièmes ; le tri compare d'abord les les chiffres de plus haute valeur d'abord. Carrés parfaits ($1, 4, 9, \ldots$), cubes parfaits ($1, 8, 27, \ldots$), leurs racines, et la notation指数 avec the multiplication and division laws for positive integer powers: $2^3 \times 2^4 = 2^7$ and $2^7 \div 2^3 = 2^4$. Every integer factors into primes: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ ; juin 2024 1HR Q11 décompose les grands nombres en facteurs premiers et lit prend la plus haute puissance de chaque facteur premier : pour $19600 = 2^4 \times 5^2 \times 7^2$ et PGCD prend la puissance la plus faible de chaque premier commun ; le PPCM prend la puissance la plus élevée de chaque nombre premier : pour $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ et $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$, PGCD $= 2^2 \cdot 3 = 12$ et PPCM $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$.

Un racinal est une racine irrationnelle exacte comme $\sqrt2$. Simplifier en extrayant des carrés : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$, en utilisant $\sqrt{ab} = \sqrt a\, \sqrt b$. Adding needs like surds: $3\sqrt2 + 5\sqrt2 = 8\sqrt2$, but $\sqrt2 + \sqrt3$ ne se simplifie pas.

Rationaliser le dénominateur élimine la racine en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué — une différence de deux carrés l'élimine exactement. Cas résolu : $\dfrac{5}{3 - \sqrt2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{(3 - \sqrt2)(3 + \sqrt2)} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{9 - 2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{7}$; and $\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. Juin 2024 1HR Q17 famille rationalise un dénominateur construit à partir de $2 - \sqrt3$ vers une réponse de la famille $\tfrac{7(2 + \sqrt3)}{4}$ — since $(2 - \sqrt3)(2 + \sqrt3) = 1$, le multiplicateur $(2 + \sqrt3)$ élimine exactement le radical.

Un ensemble est une collection d'éléments : $A = \{2, 4, 6, 8\}$. Notation : $\cup$ (union, dans chaque ensemble), $\cap$ (intersection, dans les deux), $\in$ et $\notin$ (appartenance). L'ensemble universel $\mathcal{E}$ contient tout ce qui est discuté ; l'ensemble vide $\emptyset$ n'a aucun élément ; le complémentaire $A'$ contient tout ce qui est dans $\mathcal{E}$ hors $A$. Venn diagrammes** dessiner les régions — au niveau supérieur avec des ensembles algébriques, sous-ensembles ($B \subset A$ : chaque élément de $B$ appartient à $A$), le dénombrement $n(A)$, et applications pratiques (sondages, régions de facteurs premiers). Juin 2024 1HR Q11 famille place les facteurs premiers de deux nombres dans un diagramme de Venn à deux ensembles et lit des produits tels que $AB$, $A^2$ et $B^2$ à partir de régions combinées — le PGCD est le produit de l'intersection, le PPCM est le produit de tout.

Le pourcentage signifie parties par 100 : $35\% = 0.35 = \tfrac{7}{20}$. Les pourcentages agissent comme multiplicateurs : augmenter de $12\%$ signifie $\times 1.12$ ; diminuer de $20\%$ signifie $\times 0.8$. Le pourcentage inverse divise la valeur finale par le multiplicateur — Juin 2024 2HR Q8 : un réfrigérateur vendu 6225 roupies après une réduction de $17\%$ coûtait initialement $\tfrac{6225}{0.83} = 7500$ roupies. Les intérêts composés et l'amortissement s'appliquent en répétant le multiplicateur : $A = P\left(1 \pm \tfrac{r}{100}\right)^n$ — £2000 à 3% composés pendant 4 ans croît jusqu'à $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$ ; une voiture valant £12000 s'amortissant de 15% par an pendant 3 ans chute jusqu'à $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

Rapport compare des parties : simplifier en divisant par ($45 : 60 = 3 : 4$) ; partager selon $\tfrac{\text{parts}}{\text{total}} \times \text{amount}$ — £350 partagé selon le rapport $2 : 5$ donne $\tfrac27 \times 350 = £100$ et $\tfrac57 \times 350 = £250$. Proportion met à l'échelle au sein ou entre quantités : la méthode d'unité trouve une unité premier (7 stylos coûtent £4.20, donc un stylo coûte £0.60 et 12 stylos coûtent £7.20) ; quantités en proportion directe échelle de la même manière ($y = kx$). Les problèmes verbaux mélangent le rapport avec des fractions et des pourcentages — gardez les unités explicites et vérifiez la réponse. est logique.

Arrondir les entiers à des puissances de dix et les décimaux aux chiffres significatifs ou aux décimales : lieux : $3.4617 \to 3.5$ (2 c.a.) et $3.46$ (2 c.d.). Une valeur précise comporte des bornes — arrondi à 19 à l'unité près signifie $18.5 \le v < 19.5$ — la borne supérieure borne** 19.5 et borne inférieure 18.5. L'estimation arrondit chaque nombre à 1 s.f. premier : $\tfrac{4.12 \times 29.8}{0.187} \approx \tfrac{4 \times 30}{0.2} = 600$. Problèmes de bornes (Supérieur) choisissent les extrêmes que la question nécessite — juin 2024 2HR Q19 : distance $=$ vitesse $\times$ temps avec vitesse $19$ km/h arrondie au nombre entier le plus proche (donc UB $19.5$) and time $1.5$ h to 1 d.p. (so UB $1.55$): the upper bound of the distance est $19.5 \times 1.55 = 30.2$ km (3 c.s.).

Notation scientifique écrit $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$ : $604000 = 6.04 \times 10^5$ and $0.00007 = 7 \times 10^{-5}$ (juin 2024 2HR Q9). Les exposants s'additionnent et soustrait entre les multiplications et divisions de nombres en notation scientifique, et le touche $\times 10^{\wedge}$ de la calculatrice conserve le calcul exact.

Nombres de la vie quotidienne — argent, horaires, relevés — utilisent les mêmes opérations avec des unités attachées. Unités standard : masse (kg, g), longueur (km, m, cm, mm), aire, volume, temps (secondes à années, horloges 12 et 24-heures), et les conversions entre elles ($1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2$; $1\ \text{litre} = 1000\ \text{cm}^3$). A une calculatrice scientifique applique correctement l'ordre des opérations — mais l'arrondi prématuré perd en précision : conservez toute la précision tout au long du calcul et arrondissez uniquement le résultat final, selon la précision demandée.

• Nombres entiers, ordonnancement, nombres orientés, quatre règles, BIDMAS, impair, pair, premier, facteurs et multiples (F 1.1 A–H).
• Fractions équivalentes, nombres mixtes, dénominateurs communs, fraction d'une quantité, inverses, conversions FPD (F 1.2 A–H).
• N décimaux périodiques vers fractions par algèbre (H 1.3 A ; juin 2024 2HR Q18).
• Décimaux : valeur positionnelle, ordonnancement, décimaux terminés comme fractions (F 1.3 A–E).
• Carrés, cubes, racines, lois des indices, factorisation première, PGCD et PPCM (F 1.4 A–E ; juin 2024 1HR Q11 famille).
• Racines irrationnelles : simplification, addition de racines similaires, rationalisation avec conjugués (H 1.4 A–B ; juin 2024 1HR Q17 famille).
• Ensembles : notation, universel/vide/complément, diagrammes de Venn ; ensembles Supérieurs, n(A), ensembles algébriques et pratiques (F 1.5 A–E, H 1.5 A–D).
• Pourcentages : multiplicateurs, pourcentage d'un nombre, augmentation/diminution, inverse, intérêts composés et dépréciation (F 1.6 A–G, H 1.6 A–B ; juin 2024 2HR Q8).
• Rapport sous forme la plus simple, partage, proportion directe, problèmes contextuels (F 1.7 A–E).
• Arrondi aux puissances de dix, c.s. et v.d. ; identification des bornes et problèmes de bornes choisissant les extrêmes appropriés ; estimation par 1 c.s. (F 1.8 A–D, H 1.8 A ; juin 2024 2HR Q19).
• Conversions et arithmétique en notation scientifique (F 1.9 A, H 1.9 A ; juin 2024 2HR Q9).
• Nombres de la vie quotidienne, unités standards et conversions, calculs de temps, rigueur avec la calculatrice (F 1.10 A–C, F 1.11 A).

Notes frontalières : indices fractionnaires, négatifs et zéro au-delà des lois de multiplication et division laws belong to topic 2; proportion graphs belong to topics 2 and 4; compound les grandeurs (vitesse, densité, pression) relèvent du sujet 4. Les candidats de niveau fondamental répondent aux lignes de niveau fondamental uniquement. Les exemples résolus sont adaptés des épreuves de juin 2024 révisées ou originaux ; les questions de feuille sont originales sauf si elles sont étiquetées.