2 · Equations, formulae and identities

4MA1 sujet 2 (version du programme 2, novembre 2017). Les lignes de niveau fondamental 2.1–2.4, 2.6–2.8 sont partagées avec le niveau supérieur ; la proportion (2.5) est réservée au niveau supérieur, et le niveau supérieur étend la manipulation aux indices fractionnaires, développements triples, fractions algébriques, mise au carré complète, démonstrations, paires linéaire-quadratique et inégalités quadratiques. Sur les épreuves de niveau supérieur de juin 2024, cette section conserve à nouveau ses marqueurs A/A* : une équation exponentielle, une démonstration sur décimales périodiques, une division de fractions algébriques, la complétion du carré avec un minimum transformé, ainsi qu'une inégalité quadratique.

À connaître absolument pour le sujet 2 (la fiche de formules Higher donne uniquement la formule quadratique) :

Les symboles représentent des nombres inconnus dans les équations ou des variables dans les expressions et formules; les expressions algébriques suivent les règles généralisées de l'arithmétique. Une équation demande qui fonctionnent comme entrées ; une identité est vraie pour toute entrée autorisée. Notation exponentielle couvre les puissances positives, négatives et nulles : $a^3 = a \times a \times a$, $a^0 = 1$, $a^{-1} = \tfrac1a$, et Higher ajoute des puissances fractionnaires : $x^{1/2} = \sqrt{x}$, $x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$, $x^{2/3} = (\sqrt[3]{x})^2$. Les lois des indices les combinent : $x^m \times x^n = x^{m+n}$, $x^m \div x^n = x^{m-n}$, $(x^m)^n = x^{mn}$ — multiplier signifie additionner les indices ; diviser signifie soustraire.

Worked example (2HR June 2024 Q7, adapted). $\dfrac{3^{n-2} \times 3^{n+5}}{3^{3n+10}} = 1$. Same base throughout, so the indices combine: $(n-2) + (n+5) - (3n+10) = 0$, qui est $-n - 7 = 0$. Par conséquent $n = -7$. Ne jamais multiplier les 3s — les bases sont identiques, seules les indices changent.

Substitution évalue les expressions (valeurs négatives et fractionnaires incluses) ; regroupement termes semblables, multiplication d'un seul terme sur une parenthèse, extraction de facteurs communs (factoriser $x^2 + 10x + 24 = (x+6)(x+4)$) et développement du produit de deux termes linéaires ($(x+8)(x-5) = x^2 + 3x - 40$) constituent l'outillage de base. Higher étend le développement à trois parenthèses : $(x+2)(x+3)(x-1) = (x^2+5x+6)(x-1) = x^3 + 4x^2 + x - 6$ — développer d'abord les deux, puis multiplier tout, et vérifier avec $x = 0$ (terme constant $-6$).

Utilisez des formules issues des mathématiques et d'autres contextes, convertissez des règles rédigées en symboles, et déduire des expressions à partir d'une situation. Changer de variable consiste appliquer la même opération à deux côtés jusqu'à ce que la lettre choisie soit isolée : de $A = \pi r^2$, $r = \sqrt{A/\pi}$ (racine positive — une longueur) ; de $v = u + at$, $t = \tfrac{v-u}{a}$.

Les cas de Higher placent la variable plus profondément dans la formule. De $V = \tfrac43 \pi r^3$ : multiplier par 3, diviser par $4\pi$, puis extraire la racine cubique : $r = \sqrt[3]{\tfrac{3V}{4\pi}}$. À partir de $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ : d'abord élever au carré — $T^2 = \tfrac{4\pi^2 l}{g}$ — donc $l = \tfrac{gT^2}{4\pi^2}$. Quand le sujet apparaît deux fois, regrouper ses termes avant la factorisation : $4a + 3 = 5(a - r)$ se développe en $4a + 3 = 5a - 5r$, donc $a = 5r + 3$. Vérifier chaque réarrangement en substituant des nombres dans les deux versions.

Proportion (Niveau supérieur) : $y \propto x^n$ signifie $y = kx^n$ pour une constante $k$ ; inverse proportion $y \propto 1/x^n$ signifie $y = k/x^n$. Si $y \propto x^3$ et $y = 24$ lorsque $x = 2$, alors $k = 3$, donc $y = 3x^3$ et $y = 81$ lorsque $x = 3$. Graphiquement, $y = kx$ est une droite passant par l'origine ; $y = k/x$ une hyperbole — l'algèbre et le graphique doivent indiquer la même histoire.

Résoudre les équations linéaires avec l'inconnue de part et d'autre ou des deux côtés, à coefficients entiers ou fractionnaires coefficients — les étapes consistent toujours à développer, regrouper, diviser : $7(x+3) = 5x + 8$ donne $7x + 21 = 5x + 8$, donc $2x = -13$ et $x = -6.5$ ; la forme fractionnaire $\tfrac45 x + 3 = \tfrac23$ multiplie par 15 : $12x + 45 = 10$, donc $x = -\tfrac{35}{12}$. Poser des équations à partir de données données : les trois angles $a^\circ, (a+10)^\circ, (a+20)^\circ$ d'un triangle s'additionnent à 180, donc $3a + 30 = 180$ et $a = 50$. Vérifier par substitution, et garder des solutions cohérentes avec le contexte (un décompte ne peut pas être négatif ou fractionnaire).

Deux équations linéaires simultanées se résoluent exactement par élimination ou substitution : pour $2x + 3y = 17$ et $3x - 5y = 35$, triplez le premier et doublez le second : $6x + 9y = 51$, $6x - 10y = 70$ ; en soustrayant, on obtient $19y = -19$, donc $y = -1$ et $x = 10$. Vérifiez dans l'autre équation : $3(10) - 5(-1) = 35$. ✓ Graphiquement, chaque équation est une droite et la solution commune est leur point d'intersection.

*La solution est le point d'intersection : x = 7, y = 5 satisfait les deux équations

Une expression quadratique a la forme $ax^2 + bx + c$ avec $a \ne 0$. Foundation factorise $x^2 + bx + c$ ; Niveau supérieur factorise n'importe lequel : $6x^2 - 5x - 6 = (3x+2)(2x-3)$ — vérifier en développant ($6x^2 - 9x + 4x - 6$ ✓). Différence de deux carrés : $4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)$.

Fractions algébriques : factorisez d'abord, puis simplifiez les facteurs entiers, jamais des parties de termes. Simplifiez $\dfrac{x^2 + 3x - 10}{x^2 + x - 2} = \dfrac{(x+5)(x-2)}{(x+2)(x-1)}$ — aucune simplification ici (pas de facteur commun) ; mais $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \dfrac{x-2}{x+3}$. L'addition utilise un dénominateur commun ; diviser revient à multiplier par le réciproque.

Exemple résolu (2HR juin 2024 Q26, adapté). Écrivez $4 - (3x-5) \div \dfrac{3x^2 + x - 10}{4x - 1}$ comme une seule fraction. D'abord factorisez le quadratique : $3x^2 + x - 10 = (3x-5)(x+2)$. Diviser par une fraction inverse celle-ci, et le $(3x-5)$ s'annule :

Démonstrations (Niveau supérieur) utilisent l'algèbre, pas des exemples. La période décimale classique : posons $x = 0.306306\ldots$ ; alors $1000x = 306.306\ldots$, et en soustrayant, $999x = 306$, donc $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$. Indiquez ce que $x$ vaut, multipliez par une puissance de multipliez par 10 pour décaler un bloc récurent complet, soustrayez et simplifiez (juin 2024 2HR Q18).

Compléter le carré réécrit $ax^2 + bx + c = a(x + b')^2 + c'$ : la moitié du le coefficient de $x$ indique le décalage, à l'intérieur des parenthèses, avec son signe inversé. Le sommet sommet expose immédiatement le minimum (pour $a > 0$) : la courbe de $y = a(x+b')^2 + c'$ est $y = ax^2$ translaté de $(-b', c')$.

Exemple résolu (1HR juin 2024 Q20, adapté). (a) Écrivez $2x^2 - 11x + 9$ sous la forme $a(x+b)^2 + c$ : factorisez 2 à partir des termes $x$, la moitié de $-\tfrac{11}{2}$ est $-\tfrac{11}{4}$, donc

(b) La courbe de $y = f(x - 3)$ se déplace de $f$ trois unités vers la droite, donc le minimum passe de $\left(\tfrac{11}{4}, -\tfrac{49}{8}\right)$ to $\left(\tfrac{23}{4}, -\tfrac{49}{8}\right) = (5.75, -6.125)$. Inside the bracket acts on $x$, et l'autre sens.

Résoudre les équations quadratiques : par factorisation ($x^2 + x - 30 = (x+6)(x-5) = 0$ donne $x = -6$ ou $5$) ; par la formule quadratique $x = \tfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ lorsque la factorisation échoue — pour $2x^2 + 6x - 1 = 0$, $x = \tfrac{-6 \pm \sqrt{36+8}}{4} = \tfrac{-3 \pm \sqrt{11}}{2}$ ; ou par complétion du carré, ce qui résout et donne le sommet d'un coup. Établir des équations à partir du contexte (aire, Pythagore, style projectile $h = at^2 + bt + c$), conserver les réponses exactes sauf indication contraire, et rejeter les racines que le contexte interdit.

Symboles d'inégalité $<, >, \le, \ge$ (formes à double flèche comme $1 < x \le 5$ incluses) décrire des intervalles ; cercles ouverts et fermés sur une droite numérique marquent les valeurs exclues et incluses aux extrémités. Résoudre une inégalité linéaire imite les manipulations d'équation — sauf lors de la multiplication ou division par un nombre négatif, ce qui inverse le sens : $7 - x \le 5$ devient $-x \le -2$, donc $x \ge 2$.

Inégalités quadratiques (Niveau supérieur) nécessitent les valeurs critiques, puis le signe de la parabole entre elles : une fonction quadratique positive est au-dessus de zéro en dehors de ses racines.

Exemple résolu (2HR juin 2024 Q20, adapté). Résoudre $6x^2 - 7x - 20 > 0$. Factoriser : $(3x + 4)(2x - 5) > 0$, donc les valeurs critiques sont $x = -\tfrac43$ et $x = \tfrac52$. La parabole s'ouvre vers le haut — positive en dehors des racines — donc $x < -\tfrac43$ ou $x > \tfrac52$, marqués sur la droite numérique par des cercles ouverts (ces valeurs elles-mêmes donnent $0$, pas $> 0$). Tracer d'abord la parabole ; c'est le graphique qui détermine l'intérieur versus l'extérieur.

Paires linéaire-quadratique (Niveau supérieur) : substituer l'équation linéaire dans l'équation quadratique. Pour $y = 2x - 11$ avec $x^2 + y^2 = 25$ : $x^2 + (2x-11)^2 = 25$ donne $5x^2 - 44x + 96 = 0$, and by formula $x = \tfrac{44 ± \sqrt{1936 − 1920}}{10} = \tfrac{44 ± 4}{10} = 4.8$ or $4$, giving $(4.8, -1.4)$ and $(4, -3)$ ; les deux satisfont le cercle. Pour $y = 11x - 2$ avec $y = 5x^2$ : $5x^2 - 11x + 2 = (5x - 1)(x - 2) = 0$, donc $\left(\tfrac15, 0.2\right)$ et $(2, 20)$. Conserver les deux solutions sauf si le contexte en élimine une.

Régions (F 2.8 D–E, cas difficiles Niveau supérieur) : sur une grille cartésienne, chaque inégalité linéaire délimite un demi-plan ; tester un point par frontière (l'origine est pratique sauf une inégalité délimite un demi-plan ; tester un point par frontière (l'origine est pratique sauf si elle se trouve sur une frontière), puis hachez la région satisfaisant chaque condition — par exemple $x \ge 0$, $y \ge 1$, $x + y \le 5$ donne l'intérieur d'un triangle de sommets $(0,1)$, $(0,5)$, $(4,1)$.

• Utiliser les symboles, les lois des indices (entiers, puis fractionnaires/négatifs/zero — Niveau supérieur) et combiner les indices sur une même base (F 2.1, H 2.1; Juin 2024 2HR Q7).
• Remplacez, regroupez les termes, développez les parenthèses simples et doubles — et Supérieur, les triples — factorisez les facteurs communs et les polynômes du second degré (F 2.2, H 2.2 A–B).
• Déduisez, utilisez et réarrangez des formules, y compris le changement de sujet à deux reprises et les cas d'exposants ; posez et résolvez les proportions directes/inverses (F 2.3, H 2.3, H 2.5).
• Résolvez les équations linéaires à partir de données et les paires exactes simultanées par élimination, en interprétant la paire comme des droites sécantes (F 2.4, F/H 2.6).
• Manipulez les fractions algébriques : factorisez, simplifiez, trouvez un dénominateur commun, inversez pour diviser (H 2.2 C; Juin 2024 2HR Q26).
• Établissez des preuves algébriques, y compris les conversions de décimales périodiques (H 2.2 E; Juin 2024 2HR Q18).
• Complétez le carré, lisez la forme sommet et résolvez les polynômes du second degré par factorisation, formule ou complétion du carré — y compris à partir d'un contexte (H 2.2 D, H 2.7 A–C; Juin 2024 1HR Q20).
• Résolvez les inégalités linéaires et quadratiques avec des ensembles de solutions sur une droite numérique ; identifiez les régions bornées à partir d'inégalités linéaires (F 2.8, H 2.8; Juin 2024 2HR Q20).
• Résolvez les paires simultanées linéaires-quadratiques par substitution, en conservant les deux points (H 2.7 D).

Notes de frontière : le discriminant comme outil nommé et le théorème du facteur sont hors programme pour 4MA1 liste — la résolution utilise la factorisation, la formule ou la complétion du carré ; **racine carrée la rationalisation apparaît au niveau Supérieur (rationaliser $\tfrac{7}{4(2-\sqrt3)}$-style dénominateurs en multipliant le numérateur et le dénominateur par la conjugée, p. ex. pour $\tfrac{14+7\sqrt3}{4}$). Fondamental rencontre 2.1–2.4, 2.6–2.8 uniquement. Les exemples résolus ci-dessus sont adaptés de la paire Supérieure de juin 2024 (voir les preuves d'évaluation dans les métadonnées) ; les questions de la feuille sont originales sauf si étiquetées.