Mathématiques pures 1 : l'outil indispensable utilisé par toutes les unités suivantes
Mathématiques Pures 1 (P1) est la première unité obligatoire des programmes International AS et International A Level Mathematics, ainsi que de l'International A Level Pure Mathematics. Cette référence couvre chaque thème P1 dans la spécification Edexcel IAL (Question ⟨Issue⟩ 3, avril 2019) : algèbre et fonctions, géométrie analytique, trigonométrie, dérivation et intégration.
- Le papier P1 (WMA11/01) dure 1 heure 30 minutes et comprend 75 points, et vous devez répondre à toutes les questions. Les papers récents comportent dix questions valant de 5 à 11 point chacune.
- Une calculatrice est autorisée, mais pas une calculatrice capable d'algèbre symbolique, de dérivation symbolique ou d'intégration, ni de récupération de formules stockées.
- Le livret jaune Formules mathématiques et tableaux statistiques est fourni. Les formules de la tableau « À connaître » ci-dessous n'y figurent pas, donc apprenez-les par cœur.
- Donnez des réponses approchées avec 3 chiffres significatifs sauf indication contraire. Lorsqu'une question demande « de montrer toutes les étapes de votre raisonnement », une réponse obtenue uniquement avec la calculatrice ne rapporte aucun point.
Formules à connaître pour P1 (d'après les informations sur l'évaluation du programme) :
| Formule | Utilisation |
|---|---|
| $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ | racines de $ax^2 + bx + c = 0$ |
| $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ | loi des sinus |
| $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ | loi des cosinus |
| aire $= \tfrac{1}{2}ab\sin C$ | aire d'un triangle |
| longueur d'arc $s = r\theta$, aire de secteur $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$ | $\theta$ en radians |
| $\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ | règle de puissance pour la dérivation |
| $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1)$ | règle de puissance pour l'intégration |
Algèbre et fonctions
Puissances et racines carrées
Les lois des puissances s'appliquent à tous les exposants rationnels :
Les puissances fractionnaires sont des racines : $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, donc $a^{1/2} = \sqrt{a}$ et $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$. Une puissance négative signifie l'inverse : $a^{-1} = 1/a$. Les questions demandent généralement d'écrire la réponse sous la forme $kx^n$ avec les constantes $k$ et $n$ entièrement simplifiées.
Exemple résolu — trois manipulations d'indices (adapté de Edexcel IAL WMA11 juin 2025 Q1). Étant donné $p = \dfrac{x^4}{16}$ et $q = \dfrac{40}{3x}$, écrivez chaque expression sous la forme $kx^n$.
(a) $p^{\frac{1}{2}}$.
- Connu : $p = x^4/16$, et une puissance $\tfrac12$ signifie racine carrée.
$$p^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{x^4}{16}} = \frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{16}} = \frac{x^2}{4}$$
- Vérification : en élevant au carré la réponse, on obtient $(x^2/4)^2 = x^4/16 = p$.
(b) $(pq)^{-1}$.
- Connu : multiplier avant d'inverser, en utilisant $x^4 \cdot x^{-1} = x^3$.
$$pq = \frac{x^4}{16}\times\frac{40}{3x} = \frac{40x^3}{48} = \frac{5x^3}{6}$$$$(pq)^{-1} = \left(\frac{5x^3}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5}x^{-3}$$
- Vérification : $(pq)\times(pq)^{-1} = \frac{5x^3}{6}\times\frac{6}{5x^3} = 1$.
(c) $(pq)^2$.
- Vérification : $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $(x^3)^2 = x^6$, et les constantes sont déjà entièrement simplifiées.
Un nombre radical est une racine exacte telle que $\sqrt{2}$. Garder les réponses exactes sauf demande de décimales ; les examinateurs pénalisent les décimales arrondies là où un nombre radical est attendu. Pour rationaliser le dénominateur , multiplier le numérateur et le dénominateur par un terme qui élimine la racine :
Exemple résolu — rationalisation. Écrire $\dfrac{12}{1+\sqrt{2}}$ avec un dénominateur rationnel.
- Connaisant : $(1+\sqrt2)(\sqrt2-1) = \sqrt2 - 1 + 2 - \sqrt2 = 1$, donc multipliez par $\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}$.
$$\frac{12}{1+\sqrt2}\times\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1} = \frac{12(\sqrt2-1)}{(1+\sqrt2)(\sqrt2-1)} = 12(\sqrt2 - 1) = 12\sqrt2 - 12$$
- Vérification par calculatrice : $12/(1+1.4142\ldots) = 4.9706\ldots$ et $12\sqrt2 - 12 = 4.9706\ldots$ ✓
Quadratiques : discriminant et complétion du carré
Une fonction quadratique a la forme $y = ax^2 + bx + c$ ; son graphe est une parabole ouverte vers le haut ($a>0$) ou vers le bas ($a<0$). Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ compte le nombre de racines :
- $\Delta > 0$ : deux racines réelles distinctes — la courbe coupe l'axe $x$ en deux points ;
- $\Delta = 0$ : une racine double — la courbe touche l'axe $x$ ;
- $\Delta < 0$ : aucune racine réelle — la courbe ne rencontre jamais l'axe $x$.
Compléter le carré réécrit $ax^2+bx+c$ sous la forme $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$, ce qui permet de lire directement le point de retournement $\left(-\dfrac{b}{2a},\, c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$. Résoudre les équations quadratiques par factorisation, la formule, le complétion du carré ou une calculatrice — mais les questions demandant de « montrer toutes les étapes » excluent l'usage exclusif d'une calculatrice. Les questions sur les « étapes » rejettent tout travail basé uniquement sur la calculatrice.
Exemple résolu — une quadratique cachée (adapté de l'Edexcel IAL WMA11 juin 2025 Q10). L'équation $(k-1)x^6 + 4x^3 + (k-4) = 0$, où $k$ est une constante.
(a) Pour $k = 4.5$, trouvez les solutions exactes.
- Pourquoi substituer : $k = 4.5$, c'est donc une équation quadratique en $3.5x^6 + 4x^3 + 0.5 = 0$. Substituer 2 :
$$7x^6 + 8x^3 + 1 = 0$$
- Pourquoi substituer : $x^6 = (x^3)^2$, c'est donc une équation quadratique en $x^3$. Substituez $z = x^3$ :
$$7z^2 + 8z + 1 = 0 \implies (7z+1)(z+1) = 0 \implies z = -\tfrac{1}{7} \ \text{ or } z = -1$$
- Revenez à $x$ : $x^3 = -\tfrac17$ ou $x^3 = -1$, donc
$$x = -\sqrt[3]{\tfrac{1}{7}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{7}} = -\frac{\sqrt[3]{49}}{7} \qquad \text{or} \qquad x = -1$$
- Vérification : $z=-1$ donne $7-8+1 = 0$ ✓ ; $z=-\tfrac17$ donne $7\cdot\tfrac{1}{49} - \tfrac87 + 1 = \tfrac17 - \tfrac87 + 1 = 0$ ✓
(b) Trouvez l'ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles l'équation n'a aucune racine réelle.
- Connu : traiter l'équation comme une quadratique en $x^3$ avec $a = k-1$, $b = 4$, $c = k-4$. Aucune racine réelle
réelle nécessite un discriminant négatif :
$$b^2 - 4ac = 16 - 4(k-1)(k-4) = 16 - 4(k^2 - 5k + 4) = -4k^2 + 20k = 4k(5-k)$$$$4k(5-k) < 0 \implies k < 0 \ \text{or}\ k > 5$$
- Vérification : à $k = -1$ : $4(-1)(6) = -24 < 0$ ✓ ; à $k = 6$ : $4(6)(-1) = -24 < 0$ ✓ ; à $k = 3$ : $4(3)(2) = 24 > 0$ ✓ (deux racines réelles).
Équations et inégalités simultanées
Résoudre des équations simultanées analytiquement par substitution : réarranger l' équation linéaire, substituer dans l'autre, résoudre, puis substituer à nouveau. Une droite coupant une courbe donne un polynôme du second degré dont les racines sont les coordonnées x d'intersection $x$ — c'est l'« interprétation géométrique des solutions algébriques » que le programme exige.
Exemple résolu — droite rencontrant une courbe cubique au carré (adapté de Edexcel IAL WMA11 juin 2025 Q7). $C_1$ : $y = 0.2x^2(x-4)$ et $C_2$ : $y = 1.2x(8-x)$ se coupent lorsque
- Développer les deux côtés : $0.2x^3 - 0.8x^2 = 9.6x - 1.2x^2$.
- Regrouper les termes : $0.2x^3 + 0.4x^2 - 9.6x = 0$, puis diviser par $0.2$ : $x^3 + 2x^2 - 48x = 0$.
- Factoriser : $x(x^2 + 2x - 48) = x(x+8)(x-6) = 0$, donc $x = 0, -8, 6$.
- Substituer à nouveau dans $C_2$ : $(0, 0)$, $(-8, -153.6)$, $(6, 14.4)$.
- Vérifier avec $C_1$ : $0.2(-8)^2(-12) = 0.2\cdot64\cdot(-12) = -153.6$ ✓ et $0.2(36)(2) = 14.4$ ✓
Inégalités suivent la même algèbre, mais la réponse est un intervalle :
- Résoudre $ax + b > cx + d$ en regroupant $x$ (le sens de l'inégalité subsiste lors de l'addition/soustraction, et subsiste en divisant par un nombre positif ; diviser par un négatif inverse le sens).
- Résoudre $px^2 + qx + r \le 0$ par graphique : la solution est là où la parabole est sur ou sous l' axe, entre les racines.
- Les inégalités « courbe sous droite » telles que $px^2+qx+r < ax+b$ signifient : où la hauteur de la courbe est-elle inférieure à celle de la droite ? Trouver d'abord les intersections.
- Lors du croquis de la région solution, utilisez une ligne pointillée pour les limites strictes $<$ ou $>$ et une ligne pleine pour $\le$ ou $\ge$.
Exemple résolu. Résoudre $x^2 < 3x + 10$.
- Réorganisez : $x^2 - 3x - 10 < 0$, et factorisez : $(x-5)(x+2) < 0$.
- La parabole $y = (x-5)(x+2)$ s'ouvre vers le haut, elle est donc négative entre ses racines :
$$-2 < x < 5$$
- Vérification : $x = 0$ donne $0 < 10$ ✓ ; $x = 6$ donne $36 < 28$ ✗ (correctement exclu).
Polynômes : développement et factorisation
Développez les parenthèses et regroupez les termes semblables ; factorisez en extrayant les facteurs communs et par regroupement. Les polynômes de degré trois se factorisent entièrement dès qu'une racine est repérée : $x^3 + 4x^2 + 3x = x(x^2+4x+3) = x(x+1)(x+3)$. La notation $f(x)$ nomme la fonction, donc $f(2)$ signifie « substituer $x = 2$ ».
Croquis de graphiques et transformations
Faites un croquis (sans tracer de points) de ces familles : quadratiques et simples polynômes de degré trois tels que $y = x^3 - 4x$ ; fonctions réciproques $y = \dfrac{k}{x}$ et $y = \dfrac{k}{x^2}$ ($x \ne 0$), qui possèdent une asymptote — une ligne vers laquelle la courbe tend sans jamais la toucher ; et les graphiques trigonométriques ci-dessous. marquez les intersections avec les axes et les points d'inflexion.
Les intersections répondent aux équations : les courbes $y = f(x)$ et $y = g(x)$ se rencontrent là où $f(x) = g(x)$.
Une seule transformation à la fois, appliquée à $y = f(x)$ :
| Nouvelle équation | Ce qu'elle fait au graphique |
|---|---|
| $y = a f(x)$ | étirement parallèle à l'axe des $y$, facteur d'échelle $a$ |
| $y = f(x) + a$ | translation de $\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}$ (déplace vers le haut de $a$) |
| $y = f(x + a)$ | translation de $\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}$ (déplace vers la gauche de $a$) |
| $y = f(ax)$ | étirement parallèle à l'axe des $x$, facteur d'échelle $\dfrac{1}{a}$ |
Exemple résolu — décrire deux transformations (adapté de Edexcel IAL WMA11 juin 2025 Q9).
- $y = \sqrt{2x}$ à partir de $y = \sqrt{x}\,$ : écrire $\sqrt{2x} = f(2x)$, c'est donc un allongement parallèle à l'axe des $x$ avec un facteur d'échelle de $\tfrac12$**.
- $y = 12 - \sqrt{x}$ à partir de $y = -\sqrt{x}\,$ : écrire $12 - \sqrt x = -\sqrt x + 12$, une translation de $\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix}$ (vers le haut de 12).
- Vérifier avec un point : $y=\sqrt x$ passe par $(4, 2)$ ; après la première transformation, la courbe passe par $(2, 2)$ (moitié de $x$), et $y = \sqrt{2\times2} = 2$ ✓. Après la seconde, $y = -\sqrt{4} + 12 = 10$, donc $(4, 10)$ se trouve dessus ✓.
Géométrie analytique dans le plan (x, y)
Une droite passant par $(x_1, y_1)$ avec une pente de $m$ a pour équation $y - y_1 = m(x - x_1)$ ; la forme $ax + by + c = 0$ cache la pente dans $-\dfrac{a}{b}$. Deux points donnent la pente : $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- Les droites parallèles partagent leur pente : $m_1 = m_2$.
- Les droites perpendiculaires ont des pentes dont le produit est $-1$ : $m_1 m_2 = -1$.
Exemple résolu — perpendiculaire passant par l'origine (adapté de Edexcel IAL WMA11 juin 2025 Q5). La droite $l_1$ a pour équation $x - 2y + 25 = 0$ ; $l_2$ passe par l'origine et est perpendiculaire à $l_1$.
(a) Équation de $l_2$.
- Connu : réarranger $l_1$ : $2y = x + 25$, donc $y = \tfrac12 x + \tfrac{25}{2}$ et $m_1 = \tfrac12$.
- Pourquoi : les gradients perpendiculaires ont un produit de $-1$, donc $m_2 = -1 \div \tfrac12 = -2$.
$$y - 0 = -2(x - 0) \implies y = -2x$$
(b) $l_1$ et $l_2$ se coupent en $P$.
- Remplacer $y = -2x$ dans $x - 2y + 25 = 0$ :
$$x - 2(-2x) + 25 = 0 \implies 5x + 25 = 0 \implies x = -5, \quad y = -2(-5) = 10$$
- $P = (-5, 10)$. Vérifier dans $l_1$ : $-5 - 20 + 25 = 0$ ✓
(c) Distance minimale de $l_1$ à l'origine, sous forme de racine simplifiée.
- La distance minimale est $|OP|$ le long de la perpendiculaire :
$$|OP| = \sqrt{(-5-0)^2 + (10-0)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$
- Vérification : $\sqrt{125} = \sqrt{25\times5} = 5\sqrt5 \approx 11.18$ ✓
Trigonométrie
La loi des sinus, la loi des cosinus et l'aire d'un triangle
Dans le triangle $ABC$ avec des côtés $a, b, c$ opposés aux angles $A, B, C$ :
Utiliser la loi des sinus pour les couples (côté, angle opposé) ; la loi des cosinus lorsqu'aucun couple n'est opposé. La loi des sinus présente un cas ambigu : $\sin\theta = \sin(180° - \theta)$, donc un angle et son supplément peuvent tous deux convenir — vérifier ce que permet le schéma.
Mesure radienne, longueur d'arc et aire de secteur
Un radian est l'angle au centre sous-tendu par un arc dont la longueur est égale au rayon ; $180° = \pi$ radians. Avec $\theta$ en radians :
La longueur d'arc est $s = r\theta$ et l'aire du secteur est $\tfrac{1}{2}r^2\theta$.
Un secteur majeur est la plus grande portion du cercle : angle $2\pi - \theta$ lorsque l'angle mineur est $\theta$.
Exemple résolu — un grand secteur et un triangle (adapté de Edexcel IAL WMA11 juin 2025 Q6). Une aire d'atterrissage correspond au grand secteur $AOB$ d'un cercle de centre $O$ relié à triangle $AOC$ : $AO = OB = 15$ m, $BC = 2$ m, $CBO$ est une ligne droite, et l'angle $ACO = 0.6$ radians.
(a) Montrer que l'angle mesure $COA = 1.847$ radians, arrondi à 3 décimale.
- Connaisant : $OC = OB + BC = 15 + 2 = 17$ m ; dans le triangle $AOC$, le côté $AO = 15$ est opposé à l'angle donné angle $0.6$, et le côté $OC = 17$ est opposé à l'angle $CAO$.
- Règle des sinus (citer d'abord) :
$$\frac{\sin CAO}{17} = \frac{\sin 0.6}{15} \implies \sin CAO = \frac{17\sin 0.6}{15} = 0.6399\ldots \implies CAO = 0.6944\ldots$$$$COA = \pi - 0.6 - 0.6944\ldots = 1.8471\ldots = 1.847 \ (3\,\mathrm{d.p.})$$
- Vérification : la somme des angles vaut $\pi$ : $0.6 + 0.6944 + 1.8471 \approx 3.1416$ ✓
(b) Aire totale du plateau.
- Angle du secteur majeur : $2\pi - 1.847 = 4.436$ radians.
$$\text{sector} = \tfrac12 r^2\theta = \tfrac12 \times 15^2 \times 4.436 = 499.1\ \text{m}^2 \ (\text{awrt } 499)$$$$\text{triangle} = \tfrac12 ab\sin C = \tfrac12 \times 15 \times 17 \times \sin 1.847 = 122.7\ \text{m}^2$$$$\text{total} = 499.1 + 122.7 = 622\ \text{m}^2 \ (3\ \text{s.f.})$$
- Vérification : $\sin 1.847 = \sin(\pi - 1.847) = \sin 1.2946 = 0.962$ ✓
(c) Périmètre du plateau.
- La frontière est l'arc majeur $AB$ ainsi que les côtés $AC$ et $BC$.
$$\text{arc} = r\theta = 15 \times 4.436 = 66.5\ \text{m}$$
- Formule des cosinus pour $AC$ (à citer d'abord) :
$$AC^2 = 15^2 + 17^2 - 2(15)(17)\cos 1.847 = 225 + 289 + 139.1 = 653.1 \implies AC = 25.6\ \text{m}$$$$\text{perimeter} = 66.5 + 25.6 + 2 = 94.1\ \text{m} \ (3\ \text{s.f.})$$
- Vérification : $\cos 1.847 < 0$ (l'angle est obtus), donc le terme $-2bc\cos A$ s'ajoute ✓
Graphes des fonctions sinus, cosinus et tangente
$y = \sin x$ et $y = \cos x$ se répètent tous les $2\pi$ ($360°$) ; $y = \tan x$ se répète tous les $\pi$ ($180°$) avec des asymptotes en $x = 90° + 180°n$. Connaître les symétries : $\cos$ est paire, $\sin(180° - x) = \sin x$, et $\tan x = \sin x / \cos x$. Des courbes telles que $y = 3\sin x$, $y = \sin 2x$ et $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ découlent des règles de transformation au-dessus. Résoudre des équations graphiquement en comptant les intersections dans un intervalle donné.
Exemple résolu — comptage des solutions (adapté de Edexcel IAL WMA11 juin 2025 Q4). Pour $y = 4\cos x$ avec $x$ en degrés : combien de solutions $5 + 4\cos x = 1$ a-t-elle pour $-720° < x \le 720°$?
- Réarranger : $4\cos x = -4$, donc $\cos x = -1$, ce qui donne $x = 180° + 360°n$.
- Dans $-720° < x \le 720°$ : $x = -540°, -180°, 180°, 540°$ — 4 solutions.
- Vérification : $\cos(\pm180°) = -1$ ✓, et $5 + 4(-1) = 1$ ✓. L'intervalle est semi-ouvert, donc $x = -720°$ (où $\cos = 1$) est correctement exclu.
Dérivation
La dérivée $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$ est la pente de la tangente à $y = f(x)$ en un point — la limite des pentes des cordes lorsque les deux points se rejoignent. C'est le taux de variation de $y$ par rapport à $x$. La dérivée seconde $f''(x)$ différencie à nouveau. (La règle de la chaîne n'est pas requise en P1.)
Différenciez terme à terme avec la règle de puissance, en développant d'abord les produits et en séparant les fractions :
Exemple résolu — condition de pente sur une courbe (adapté de Edexcel IAL WMA11 juin 2025 Q2). $C$ : $y = 2x^{5/2} - 4x + 3$ ; le point $P$ sur $C$ a une coordonnée $x$ de $2^k$ et la pente à $P$ est 16. Trouvez $k$.
- Différencier (les puissances diminuent de un) : $\dfrac{dy}{dx} = 2\cdot\tfrac52 x^{3/2} - 4 = 5x^{3/2} - 4$.
- Définissez le gradient à 16 en $x = 2^k$ :
$$5(2^k)^{3/2} - 4 = 16 \implies (2^k)^{3/2} = 4 = 2^2 \implies 2^{3k/2} = 2^2 \implies \tfrac{3k}{2} = 2 \implies k = \tfrac{4}{3}$$
- Vérification : $2^{4/3} = 2.5198\ldots$ et $5(2.5198)^{3/2} - 4 = 5(4.0) - 4 = 16$ ✓
Exemple résolu — tangente, normale et dérivée seconde (adapté d'Edexcel IAL WMA11 juin 2025 Q8). Une courbe a $f'(x) = 3\sqrt{x} + kx^2$ et passe par $P(4, 12)$ ; la tangente en $P$ est $y = 10x + c$.
(a) Montrez que $k = \tfrac14$ et trouvez $c$.
- Données : le gradient de la tangente vaut $f'(4)$ :
$$f'(4) = 3\sqrt{4} + 16k = 6 + 16k = 10 \implies k = \tfrac14$$
- La tangente passe par $(4, 12)$ : $12 = 10(4) + c \implies c = -28$.
- Vérification : $f'(4) = 6 + 16\cdot\tfrac14 = 10$ ✓ et $10(4) - 28 = 12$ ✓
(b) Trouvez $f''(x)$ en $P$.
- Vérification : $\tfrac{3}{2\sqrt4} = \tfrac34$ ✓
Intégration
Intégration annule la dérivation : si $\dfrac{dy}{dx} = x^n$ ($n \neq -1$), alors
Exemple résolu — développer avant d'intégrer (adapté de Edexcel IAL WMA11 juin 2025 Q3). Trouvez $\displaystyle\int \frac{(x+3)^2}{3\sqrt{x}}\,dx$.
- Développez le numérateur : $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ ; le dénominateur est $3x^{1/2}$.
- Divisez terme par terme (puissances de $x$ soustraites) :
$$\frac{x^2}{3x^{1/2}} = \tfrac13 x^{3/2} \qquad \frac{6x}{3x^{1/2}} = 2x^{1/2} \qquad \frac{9}{3x^{1/2}} = 3x^{-1/2}$$
- Intégrez chaque terme (puissance augmentée d'un, divisée par la nouvelle puissance) :
$$\int \left(\tfrac13 x^{3/2} + 2x^{1/2} + 3x^{-1/2}\right) dx = \tfrac13\cdot\tfrac{2}{5}x^{5/2} + 2\cdot\tfrac23 x^{3/2} + 3\cdot 2x^{1/2} + c$$$$= \frac{2}{15}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + 6\sqrt{x} + c$$
- Vérifier par dérivation : $\tfrac{2}{15}\cdot\tfrac52 x^{3/2} = \tfrac13 x^{3/2}$ ✓, $\tfrac43\cdot\tfrac32 = 2$ ✓, $6\cdot\tfrac12 = 3$ ✓ — l'intégrande est exactement retrouvé.
Exemple résolu — récupérer $f(x)$ à partir de $f'(x)$ et d'un point (adapté d'Edexcel IAL WMA11 juin 2025 Q8, suite). Avec $k = \tfrac14$, donc $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac14 x^2$, et $P(4, 12)$ sur la courbe :
- Substituer $P$ : $2(4)^{3/2} + \tfrac{64}{12} + d = 12$, et $4^{3/2} = 8$ :
$$16 + \tfrac{16}{3} + d = 12 \implies d = -\tfrac{28}{3} \implies f(x) = 2x^{3/2} + \frac{x^3}{12} - \frac{28}{3}$$
- Vérifier : $f(4) = 16 + \tfrac{16}{3} - \tfrac{28}{3} = 16 - 4 = 12$ ✓, et en dérivant la réponse on obtient $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac{x^2}{4}$, donc $f'(4) = 6 + 4 = 10$ ✓ (la pente de la tangente de plus haut).
Liste de contrôle avant de considérer cette unité comme acquise
- Manipuler $a^{m/n}$, les puissances négatives et les racines carrées avec précision, et rationnaliser les dénominateurs.
- Lire $b^2-4ac$ de trois manières, compléter le carré, et résoudre les quadratiques cachées par substitution.
- Résoudre des systèmes linéaires-quadratiques par substitution et les interpréter comme des intersections.
- Résoudre et tracer des inégalités linéaires et quadratiques avec des limites pointillées ou pleines correctes.
- Tracer des cubiques, des réciproques (avec asymptotes) et des courbes transformées, en nommant la direction, le type et le facteur d'échelle de chaque transformation unique.
- Écrire les équations de droites sous les deux formes ; utiliser $m_1m_2 = -1$ pour les perpendiculaires.
- Citer la loi des sinus, la loi des cosinus et $\tfrac12 ab\sin C$ ; gérer le cas ambigu et les grands secteurs en radians.
- Compter les solutions trigonométriques sur un intervalle avant de les lister.
- Différenciez et intégrez le terme $x^n$ terme par terme, après développement ; ajoutez toujours une constante $+c$.
- Transformez $f'(x)$ plus un point en $f(x)$, et vérifiez en substituant le point dans l'équation.